5.3.2事件之间的关系与运算

5.3.2事件之间的关系与运算TOC\o"13"\h\z\u题型1事件的包含与相等 3题型2事件运算的含义 7题型3事件的和（并）与积（交） 10题型4互斥事件与对立事件 14题型5计算互斥事件、对立事件等的概率问题 17知识点一.事件的关系定义记法图示包含关系一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或B“包含A”）A⊆B或相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”记作A=B.A=B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点A=B互斥事件给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，AB=∅或A∩B=∅对立事件给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件AA∩A=∅,知识点二.事件的运算定义记法图示事件A与事件B的并事件（和事件）事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中A∪B(或A+B)事件A与事件B的交事件（积事件）事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中A∩B(或AB)注意：（1）包含关系①不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件，即C⊇∅（C为任一事件）.②事件A也包含于事件A，即A⊆A.③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生.④A⊆B也可用充分必要的语言表述为∶A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件.（2）相等关系①两个相等事件总是同时发生或同时不发生.②所谓事件A=B，就是说事件A，B是同一事件.③在验证两个事件是否相等时，常用到相等事件的定义.④A=B⟺A⊆B且B⊆A，A=B也可用充分必要的语言表述为∶A发生是B发生的充要条件·（3）和事件①按照定义可知，事件A+B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生.②不难看出，A⊆（A+B）且B⊆（A+B），因此P（A）≤P（A+B）且P（B）≤P（A+B），而且，直观上可知P（A+B）与P（A）+P（B）的大小关系为P（A+B）≤P（A）+P（B）.（4）积事件①按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生.②P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).互斥与对立的理解①事件A与事件B互斥:表示事件A与事件B不可能同时发生，即A与B两个事件同时发生的概率为0.②用集合的观点来看，A是A在Ω中的补集，如果B=A，则称A与B相互对立.知识点三.事件概率的计算1.互斥事件的概率加法公式当A与B互斥（即AB=∅）时，有P（A+B）=P（A）+P（B）。推广∶一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P（An）。2.对立事件的概率公式每次随机试验，在事件A与A中，有一个发生，而且只有一个发生。注意到必然事件的概率为1，因此P（A）+P（A）=1。变形P（A）=1P（A）。注意：在应用互斥事件概率加法公式时，一定要注意其前提是涉及的事件是互斥事件。实际上，对于事件A，B有P（A+B）≤P（A）+P（B），只有当事件A，B互斥时，等号才成立。知识点四.事件的混合运算1.（AB）+（AB）表示AB与AB的和，实际意义是∶A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，也可以理解为A与B中恰有一个发生。2.事件的混合运算律：求积运算的优先级高于求和运算，因此（AB）+（AB）可简写为AB+AB。题型1事件的包含与相等【方法总结】判断事件间关系的方法（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的.（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.【例题1】（2020下·高一课时练习）同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（

）A．M⊆N B．M⊇N C．M=N D．M<N【答案】A【解析】列出事件N包含的结果再分析与事件M的关系即可.【详解】事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有M⊆N.故选：A.【点睛】本题主要考查了事件的包含关系,属于基础题型.【变式11】1．（2023下·高一课时练习）掷一枚骰子，观察其向上的点数，可能得到以下事件：A=“出现1点”；B=“出现2点”；D=“出现4点”；E=“出现5点”；G=“出现的点数不大于1”；H=“出现的点数小于5”；I=“出现奇数点”；J=“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系：（1）BH；（2）DJ；（3）EI；（4）AG.【答案】⊆⊆⊆＝【分析】易知“出现的点数小于5”包含出现2点，即B⊆H；“出现偶数点”包括出现4点，即D⊆J；“出现奇数点”包括出现5点，即E⊆I；“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况，即A=G.【详解】（1）因为“出现的点数小于5”包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H.（2）“出现偶数点”包括出现2点，出现4点，出现6点三种情况，所以事件D发生时，事件J必然发生，故D⊆J，（3）“出现奇数点”包括出现1点，出现3点，出现5点三种情况，所以事件E发生时，事件I必然发生，故E⊆I.（4）“出现的点数不大于1”只包括出现1点一种情况，即事件A与事件G相等，故A=G.故答案为：⊆，⊆，⊆，＝【变式11】2．（2023·高一课时练习）抛掷两枚硬币，事件A：至少有一个正面朝上，事件B：两个正面朝上，则事件A、B的关系是.【答案】B⊂A【分析】列举出事件A发生的不同结果以及事件B发生的不同结果，从而可得答案.【详解】事件A：至少有一个正面朝上，事件A发生的不同结果是：（正，反），（反，正），（正，正）；事件B：：两个正面朝上，事件B发生的不同结果是：（正，正）；所以，事件A、B的关系是B⊂A.故答案为：B⊂A.【变式11】3．（2023下·全国·高一专题练习）在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1={出现1点}，事件C2={出现2点}，事件C3={出现3点}，事件C4={出现4点}，事件C5={出现5点}，事件C6={出现6点}，事件【答案】答案见解析【分析】根据事件的包含关系和相等关系的概念，即可得到答案.【详解】因为事件C1，C2，C3，C所以C1⊆D3，C2所以事件D3包含事件C1，C2，C同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，事件D2包含事件C4，C5事件F包含事件C2，C4，事件G包含事件C1，C3，因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，所以事件C1与事件D1相等，即【变式11】4．（2022上·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（

）A．事件A发生一定导致事件C发生B．事件B发生一定导致事件C发生C．事件A发生不一定导致事件C发生D．事件C发生不一定导致事件B发生【答案】D【分析】根据事件A，B，C的包含关系逐一判断各个选项即可．【详解】解：由已知可得A⊆C，又因为A⊆B，B⊆C，如图事件A，B，C用集合表示：则选项A，B正确，事件C⊆故选：D．题型2事件运算的含义【例题2】（2022·广东·执信中学高一阶段练习）甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（

）A．E∪F B．E∩F C．E∩F D．E【答案】B【分析】根据并联电路可得答案.【详解】因为甲、乙两个元件构成一并联电路，所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事件为E∩故选：B【变式21】1．（2022·辽宁朝阳·）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i=0、1、2、3.那么A．全部击中 B．至少击中1发C．至少击中2发 D．以上均不正确【答案】B【分析】利用并事件的定义可得出结论.【详解】A=A1∪A2∪A3所表示的含义是A1、故选：B.【变式21】2．（多选）（2022·广东·普宁市华美实验学校高一阶段练习）(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是（

）A．A⊆C B．A∩B＝∅C．A∪B＝C D．B∩C＝∅【答案】ABC【分析】写出事件A,【详解】A={出现点数为1,3,5}，B={出现2点}，所以A⊆C，A∩B=∅所以选项A、B、C正确，选项D不正确．故选：ABC.【变式21】3．（2023·全国·高一随堂练习）设A，B是同一试验的两个不同事件，用它们表示下列各事件：(1)仅A发生；(2)A，B都发生；(3)A，B均不发生；(4)A，B恰有一个发生；(5)A，B至少有一个发生.【答案】(1)A(2)AB(3)A(4)A(5)A【分析】（1）根据事件的表示方法求解即可；（2）根据事件的表示方法求解即可；（3）根据事件的表示方法求解即可；（4）根据事件的表示方法求解即可；（5）根据事件的表示方法求解即可.【详解】（1）仅A发生时表示为AB（2）A，B都发生时表示为AB.（3）A，B均不发生时表示为AB（4）A，B恰有一个发生时表示为AB（5）A，B至少有一个发生时表示为AB【变式21】4．（2022·吉林·长春十一高高一阶段练习）掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件A=“点数为奇数”，事件B=“点数大于4”，则事件A．“点数为3” B．“点数为4”C．“点数为5” D．“点数为6”【答案】C【分析】根据题意分别列举事件A,【详解】由题意，可知A=1,3,5，B即事件A∩故选：C题型3事件的和（并）与积（交）【例题3】（2023上·四川凉山·高二宁南中学校联考期中）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（

）A．A⊆D B．B∩D=∅ C．A∪B=B∪D D．A∪C=D【答案】C【分析】根据试验的过程，分析出事件A、B、C、D分别表示的含义，然后对选项分别判断即可.【详解】根据题意可得：事件A表示表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”；事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故A⊆D，所以选项A正确；事件B和事件D是对立事件，故B∩D=∅，所以选项B正确；事件A∪B表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件B∪D表示“两次都未投中”、“两次都投中”或“恰有一次投中”，故选项C错误；事件A∪C表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故A∪C=D，所以选项D正确；故选：C.【变式31】1．（2023上·新疆·高二八一中学校考期中）连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同}，事件B={两次出现的点数之和为4}，事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D={两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件C∩D，A∪B；(2)若事件E=1,3【答案】(1)C∩D=1,5,(2)E=B∪C【分析】（1）由随机事件，求出样本点，然后求解即可；（2）由事件E，结合已知事件A、B、C、D求解即可.【详解】（1）由题意得，事件A=1,1事件B=1,3事件C=1,5事件D=1,5则C∩D=1,5,5,1（2）由（1）知，事件B=1,3,2,2因为E=1,3所以E=B∪C.【变式31】2．（2023·全国·高一随堂练习）设某随机试验的样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，事件A={2,3,4}，B={3,4,5}，C={5,6,7}(1)A∪B；(2)A∩B；(3)A∩(4)A∩(B∩C【答案】(1){2,3,4,5}；(2){3,4}；(3){0,1,6,7,8,9,10}；(4){2,3,4}．【分析】（1）根据事件并的定义求解；（2）根据事件交的定义求解；（3）根据事件的补（对立事件）和交的定义求解；（4）根据事件的补（对立事件）和交的定义求解；【详解】（1）由已知A∪B={2,3,4,5}；（2）由题意A∩B={3,4}；（3）由已知A={0，1所以A（4）由已知B∩C={5}，B∩C={0,1,2,3,4,6,7,8,9,10}所以A∩B∩C【变式31】3.2023·全国·高一随堂练习）盒中有标号1~3的同样白球各1个，标号1~2的同样黑球各1个，从中倒出3个，观察结果，写出样本空间.(1)用集合A表示事件“3个都是白球”；(2)用集合B表示事件“至少2个白球”；(3)用集合C表示事件“至少1个白球”；(4)计算A∪B，A∩B，A\B，C\B（其中A\B表示属于集合A，且不属于集合B），并解释它们的含义.【答案】(1)A={abc}；(2)B={abc，abe，abf，ace，acf，bce，bcf}；(3)C={abc，abe，abf，ace，acf，aef，bce，bcf，bef，cef}；(4)答案见解析.【分析】（1）（2）（3）记标号1~3的白球为a，b，c，标号1~2的黑球为e，f，分别写出各个事件所包含的基本事件，从而可得出答案.（4）根据和事件、积事件及给定事件的定义，逐一分析写出每个事件的含义，可得答案．【详解】（1）记标号1~3的白球为a，b，c，标号1~2的黑球为e，f，则样本空间Ω={abc，abe，abf，ace，acf，aef，bce，bcf，bef，cef}所以A={abc}.（2）由（1）得B={abc，abe，abf，ace，acf，bce，bcf}.（3）由（1）得C={abc，abe，abf，ace，acf，aef，bce，bcf，bef，cef}.（4）A∪B=B=“至少2个白球”，A∩B=A=“3个都是白球”，A\B=∅=“不可能事件”，C\B={aef,bef,cef}=“1个白球”．【变式31】4．（2022·江西·上高二中）某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，13，n，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34A．12 B．23 C．3【答案】C【分析】根据题中条件求出m×n的值，然后再根据至少进入一个社团的概率求出【详解】由题知三个社团都能进入的概率为124即m×又因为至少进入一个社团的概率为34即一个社团都没能进入的概率为1-3即1-m整理得m+故选：C.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率计算问题，属于基础题.题型4互斥事件与对立事件【方法总结】互斥事件与对立事件的区别与联系区别∶两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况∶①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生.而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个.（2）联系∶互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.2.从集合的角度理解互斥事件与对立事件（1）几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.（2）事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.【例题4】（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件A=“取出的牌有两张6”，事件B=“取出的牌至少有一张黑桃”，事件C=“取出的牌有一张大王”，事件D=“取出的牌有一张红桃6”，则（

）A．事件A与事件D互斥 B．事件B与事件C互斥C．事件B与事件D互斥 D．事件A与事件C互斥【答案】D【分析】根据互斥事件的定义作出判断.【详解】ABC选项，因为事件A与事件D，事件B与事件C，事件B与事件D都可以同时发生，所以A，B，C错误.D选项，因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王，所以事件A与事件C互斥.故选：D【变式41】1．（2023上·四川宜宾·高二四川省兴文第二中学校校考阶段练习）已知事件M表示“3粒种子全部发芽”，事件N表示“3粒种子都不发芽”，则M和N（

）A．是对立事件 B．不是互斥事件C．互斥但不是对立事件 D．是不可能事件【答案】C【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解即可.【详解】事件M表示“3粒种子全部发芽”，事件N表示“3粒种子都不发芽”，所以事件M和事件N不会同时发生，是互斥事件，因为3粒种子可能只发芽1粒，所以事件M和事件N可以都不发生，则M和N不是对立事件.故选：C【变式41】2.（2023·全国·高一随堂练习）A,B都不是不可能事件，也都不是必然事件，如果A，B是互斥事件，那么（

），并说明理由．A．事件A与B必不互斥 B．A∪C．A与B可能互斥 D．A∪B是必然事件【答案】B【分析】根据互斥事件、必然事件的定义判断．【详解】A，B是互斥事件，当A,B对立时，事件A与B也对立，一定互斥，A错；A，B是互斥事件，则A∩B是不可能事件，因此A∪A，B是互斥事件，则A⊂B，A与BA，B是互斥事件，A∪B不一定是必然事件，如从1,2,3,4,5,6中任取一个数，事件A是“取的数是1”，事件B是“取的数是2”，A,B互斥，但A∪B也可能不发生，不是必然事件，D错．故选：B．【变式41】3．（2023·全国·高一随堂练习）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为1，2）的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个随机事件是（

），并说明理由．A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．【详解】A，“都是白球”这个事件发生时，事件“至少有1个白球”也发生了，因此不互斥；B，任取2球一红一白时，事件“至少有1个白球”与“至少有1个红球”同时发生，因此不互斥；C，“恰有1个白球”，“恰有2个白球”这两个事件不可能同时发生，但当两个球都是红球时，它们都不发生，因此它们互斥且不对立；D，“至少有1个白球”与“都是红球”不可能同时发生，但必有一个会发生，因此它们是对立的，故选：C．【变式41】4．（2023上·广西南宁·高二校考阶段练习）在一个不透明的盒子中，放有除颜色外完全相同的2个白球和3个红球，摇匀后，从中任意取出两个球，下列说法与“取出的两个球都是白球”是互斥但不是对立的事件是（

）A．取出两球同色 B．取出的两球异色C．取出的两球至少有一个红球 D．取出的两球至少一个白球【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐项判断即可得解.【详解】记事件A=“取出的两个球都是白球”，事件B=“取出的两个球是1个白球和1个红球”，事件C=“取出的两个球都是红球”，可知事件A,B,C两两互斥，且样本空间Ω=A+B+C对于选项A：因为A+C=“取出两球同色”，即事件“取出两球同色”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故A错误；对于选项B：因为B=“取出的两球异色”，即事件A,B互斥且不对立，故B正确；对于选项C：因为B+C=“取出的两球至少有一个红球”，可知事件A与事件B+C为对立事件，故C错误；对于选项D：因为A+B=“取出的两球至少一个白球”，即事件“取出的两球至少一个白球”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故D错误；故选：B.题型5计算互斥事件、对立事件等的概率问题【例题5】（多选）（2022·江苏·南京市第一中学）（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，1C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为1D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，