新教材数学高中必修一课时素养评价5-4-1第1课时函数奇偶性的概念

课时素养评价二十五函数奇偶性的概念(15分钟35分)1.函数f(x)=QUOTEx的图象关于 ()A.y轴对称 B.直线y=x对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称【解析】选C.函数f(x)=QUOTEx是奇函数,其图象关于坐标原点对称.2.下列各图中,表示以x为自变量的奇函数的图象是 ()【解析】选B.A,D不是函数;C是偶函数.3.已知f(x)=x5+ax3+bx8,且f(2)=10,则f(2)等于 ()A.26 B.18 C.10 D.10【解析】选A.令g(x)=x5+ax3+bx,函数f(x)的定义域为R.因为对于任意x∈R,都有x∈R,且g(x)=g(x),所以g(x)为奇函数.又因为f(x)=g(x)8,所以f(2)=g(2)8=10⇒g(2)=18.所以g(2)=18.所以f(2)=g(2)8=188=26.4.若f(x)=(ax+1)(xa)为偶函数,且函数y=f(x)在x∈(0,+∞)上是增函数,则实数a的值为 ()A.±1 B.1 C.1 D.0【解析】选C.因为f(x)=(ax+1)(xa)=ax2+(1a2)xa为偶函数,所以1a2=0.所以a=±1.当a=1时,f(x)=x21,在(0,+∞)上是增函数,满足条件;当a=1时,f(x)=x2+1,在(0,+∞)上单调递减,不满足条件.5.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+QUOTE,则f(1)=________.

【解析】当x>0时f(x)=x2+QUOTE,所以f(1)=1+1=2.又f(x)为奇函数,所以f(1)=2.答案:26.(2020·南京高一检测)设函数f(x)=x24|x|+3,(x∈[4,4]).(1)求证:f(x)是偶函数;(2)画出函数y=|f(x)|的图象,指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;(不需要证明)(3)求函数|f(x)|的值域.【解析】(1)函数的定义域关于原点对称,f(x)=(x)24|x|+3=x24|x|+3=f(x),则f(x)是偶函数.(2)由f(x)=x24|x|+3>0得|x|>3或|x|<1,即y=|f(x)|=QUOTE则对应的图象如图:由图象知函数的增区间为[3,2],[1,0],[1,2],[3,4],减区间为[4,3),(2,1),(0,1),(2,3).(3)当x=0或x=4或x=4时,函数|f(x)|取得最大值为|f(0)|=3,函数的最小值为0,即函数|f(x)|的值域为[0,3].(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是 ()A.(a,f(a)) B.(a,f(a))C.(a,f(a)) D.(a,f(a))【解析】选B.因为f(x)为奇函数,所以f(a)=f(a),所以点(a,f(a))在函数y=f(x)的图象上.2.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(1)= ()A.3 B.1 C.1 D.3【解析】选D.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x1,所以f(1)=f(1)=(21+2×11)=3.3.已知函数f(x)=ax3+bx+QUOTE+5,满足f(3)=2,则f(3)的值为 ()A.8 B.8 C.10 D.10【解析】选A.因为f(x)=ax3+bx+QUOTE+5,所以f(x)=ax3bxQUOTE+5,即f(x)+f(x)=10.所以f(3)+f(3)=10,又f(3)=2,所以f(3)=8.4.(多选题)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为 ()A.y=x B.y=x2C.y=QUOTE D.y=x|x|【解析】选AD.A项,函数y=x既是奇函数又是减函数;B项,y=x2是偶函数,故B项错误;C项,函数y=QUOTE是奇函数,但是y=QUOTE在(∞,0)或(0,+∞)上是减函数,在定义域上不具有单调性,故C项错误;D项,函数y=x|x|可化为y=QUOTE其图象如图:故y=x|x|既是奇函数又是减函数,故D项正确.【光速解题】分别判断4个选择项的奇偶性,排除B,再判断A、C、D的单调性,排除C.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+mx+1,若f(2)=3f(1),则m=________.

【解析】因为x>0时,f(x)=x2+mx+1,所以f(2)=5+2m,f(1)=2+m,又f(1)=f(1)=2m,所以5+2m=3(2m),所以m=QUOTE.答案:QUOTE6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(2)=________,f(0)=________.

【解析】由题意知f(2)=f(2)=(22+1)=5,f(0)=0.答案:50三、解答题7.(10分)(2020·南京高一检测)已知函数f(x)=x+QUOTE(a∈R,x≠0).(1)讨论f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)根据题意,对于函数f(x)=x+QUOTE,若a=0,则f(x)=x,易得f(x)为奇函数,若a≠0,则f(x)=x+QUOTE,其定义域为{x|x≠0},f(x)=x+QUOTE,有f(x)≠f(x)且f(x)≠f(x),f(x)为非奇非偶函数;(2)根据题意,当x≥1,则有f(x)=x+QUOTE,设1≤x1<x2,则f(x1)f(x2)=QUOTEQ