专题16组合7种常见考法归类（原卷版）

专题16组合7种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、组合的概念及判断考点二、组合数公式的应用考点三、分组分配问题考点四、隔板法的应用考点五、实际问题中的组合计数问题考点六、代数中的组合计数问题考点七、几何组合计数问题一、组合1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。3、对组合概念的两点说明：（1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出；（2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。二、组合数与组合数公式1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。2、组合数公式：（，且）注：组合数公式的推导：（1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？．（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．3、组合数的性质：（1）；（2）；（3）规定三、排列与组合的相同点与不同点1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素”2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。1、组合问题的2类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．2、分组、分配问题的求解策略（1）对不同元素的分配问题①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．（2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．考点剖析考点一、组合的概念及判断1．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（

）A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长2．（2023下·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线C．集合的含有三个元素的子集有多少个D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法3．（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．()（2）从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为.()（3）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，求有多少种不同的选法是组合问题．()（4）把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且必须分完，求有多少种分法是排列问题.()考点二、组合数公式的应用4．（2024上·辽宁·高二校联考期末）（

）A．120 B．119 C．110 D．1095．（2024上·吉林·高二校联考期末）计算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．5406．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）（1）已知，计算：；（2）解方程：．7．（2023上·高二课时练习）解关于正整数x的方程：(1)；(2)．8．（2023上·高二课时练习）观察下列等式及其所示的规律：，，，并据此化简，其中n为正整数．9．（2023·全国·高二随堂练习）求证：．10．（2023上·高二课时练习）求证：.11．（2023上·高二课时练习）m是自然数，n为正整数，且，求证：．考点三、分组分配问题12．（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（

）A．24 B．36 C．60 D．9613．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？14．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）把6个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，若每个盒子中至少有1个小球，则不同放法的种数为（

）A．540 B．630 C．1080 D．126015．（2023上·山西忻州·高三校联考阶段练习）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（

）A．54种 B．45种 C．36种 D．18种16．（2024·重庆·统考一模）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（

）A．50 B．36 C．26 D．1417．（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期中）北山中学在学校“236”发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展．现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为（

）A．72 B．108 C．180 D．21618．（2021下·内蒙古赤峰·高二校考期中）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（

）A．140 B．150 C．200 D．22019．（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A，B，C，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（

）A．180种 B．240种 C．480种 D．540种20．（2024上·吉林·高二校联考期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（

）A．18 B．150 C．36 D．5421．（2023下·高二校考单元测试）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法?(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分为三份，每份2本；(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本.22．（2023上·高二课时练习）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．考点四、隔板法的应用23．（2023上·全国·高三专题练习）试求不定方程的非负整数解的组数．24．（2023·全国·高三专题练习）（1）求方程的非负整数解的组数；（2）某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数.25．（2022·全国·高三专题练习）将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？考点五、实际问题中的组合计数问题26．（2024上·上海·高二校考期末）某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；(2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．27．（2023上·甘肃白银·高二校考期末）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男､女生各有一名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答）(1)至少有一名队长参加该活动；(2)至多有两名女生参加该活动.28．（2024·全国·高三专题练习）某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?(3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?(4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?29．（2023下·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考阶段练习）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？30．（2023上·高二课时练习）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取4件产品．(1)求恰好含1件二等品的概率；(2)求至少含有1件二等品的概率．（以上结果均精确到0.01）考点六、代数中的组合计数问题31．（2023上·高二课时练习）用1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，从中随机地取一个，求取到的数为奇数的概率．32．（2023上·高二单元测试）已知集合.(1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？33．（2023下·高二单元测试）已知三个条件：①偶数；②能被5整除的数；③比7630大的数．从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：用0～9这10个数字组成无重复数字的四位数，求其中____________的个数．34．（2023下·广东梅州·高二统考期中）从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中.(1)若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？(2)若填入的5个数字中有1和3，且区域，，中有奇数，试问不同的填法有多少种？35．（2023下·北京大兴·高二校考阶段练习）（每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？(3)若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？考点七、几何组合计数问题36．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内有任意三点都不共线的四点，直线，在直线上，过以上八点中若干点可做多少几何图形？显然可以从构成直线、三角形、四面体等考虑．37．（2023上·全国·高三专题练习）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？38．（2023上·高二课时练习）如图，在的两边、上分别有5个点和6个点（都不同于点O），这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？39．（2023上·高二课时练习）平面上的6个点A、B、C、D、E、F中的任意3个点都不在同一条直线上，写出所有以其中3个点为顶点的三角形．40．（2023上·高二课时练习）圆上有10个不同的点，以其中任意3个点为顶点，可以组成多少个不同的三角形？过关检测一、单选题1．（2023上·江西·高二校联考阶段练习）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种2．（2023上·甘肃白银·高二校考期末）某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（

）A．12 B．16 C．18 D．243．（2024上·北京昌平·高二统考期末）为了迎接在杭州举行的第十九届亚运会，学校开展了“争做运动达人，喜迎杭州亚运”活动.现从某班的4名男生和3名女生中选出3人参加活动，则这3人中既有男生又有女生的选法种数为（

）A．20 B．30 C．35 D．604．（2024上·河北张家口·高三统考期末）我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为（

）A． B． C． D．5．（2023上·四川成都·高二校联考期末）有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为（

）A． B． C． D．6．（2024上·青海西宁·高三统考期末）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（

）A．216 B．228 C．384 D．4867．（2024上·青海西宁·高三统考期末）三名学生各自在篮球、羽毛球、乒乓球三个运动项目中任选一个参加，则三个项目都有学生参加的概率为（

）A． B． C． D．8．（2024上·江苏常州·高二常州市第一中学期末）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（）A．120 B．204C．168 D．216二、多选题9．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）6本不同的画册要分给甲､乙､丙三人，每人最少一本，则下列说法正确的为（

）A．甲分得4本，则不同的分法有30种B．甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则不同的分法有60种C．每人2本，则不同的分法有540种D．甲至少分得3本，则不同的分法有150种10．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（

）A．“取出的鞋不成双”的概率等于B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C．“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于D．“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于11．（2024上·山西·高三期末）某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（

）A．共有90种安排方法B．甲连续两天值班的安排方法有30种C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种12．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）带有编号、、、、的五个球，则（

）A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法C．将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法三、填空题13．（2024上·山东潍坊·高三统考期末）无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为.14．（2024上·上海·高二上海市控江中学校考期末）空间内7个点，若其中有且只有4点共面，但无3点共线，可组成个四面体15．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检､引导运动员入场､赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案.（用数字作答）16．（2024上·山东淄博·高三统考期末）将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有种．17．（2024上·辽宁大连·高二统考期末）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有种．（用数字作答）18．（2024上·上海·高二统考期末）在正方体八个顶点中任取两点，则这两个点所确定的直线与正方体的每个面都相交的概率是.19．（2024上·广东潮州·高三统考期末）将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有种．（用数字作答）20．（2024上·上海·高二校考期末）一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生.从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为.21．（2024上·上海·高二校考期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳