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文档简介

第7讲函数迭代与函数方程 知识方法扫描一、函数方程=1\*GB3①含有未知函数的等式叫作函数方程，使这个等式成立的未知函数就是函数方程的解．=2\*GB3②函数方程的常见问题主要有：（1）已知函数方程，求函数值．（2）已知函数方程，讨论函数的性质．（3）求解函数方程．二、函数方程的一般解法=1\*GB3①观察函数特有的性质函数有一些特殊的性质，比如单调性、奇偶性、周期性等，利用这些性质对其进行观察判断后可以帮助解决问题．有时候还需要用两边夹的方法来确定函数值（即函数在某点的值既不小于某个数，又不大于该数，从而就是该数）．=2\*GB3②代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数．由于代换后的函数未必与原函数等价，所以应当将所得解代人原函数方程进行检验．=3\*GB3③赋值法对于某些函数方程，特别是自变量的取值为整数的函数方程，有时要将方程中的自变量多次代换成具体的数，以便解决问题．对于自变量取值为有理数的函数，常常要先确定自变量为整数时的函数值，然后再利用有理数为两个整数的商来确定有理数的函数值．=4\*GB3④待定系数法当已知函数方程的解为多项式函数时，可以考虑用多项式的条件（比较系数和次数）和多项式根的性质来寻求适合方程的多项式函数．=5\*GB3⑤递推法数列中使用的递推方法经常用来求解函数在离散点（比如整点）处的值．三、函数迭代一般地，设是一个函数，，记，，，，，，称函数为的次迭代，并称为的迭代指数．一些简单函数的次迭代如下：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则．典型例题剖析例1已知对任意的，都有，试求函数的解析式．例2已知，，求．例3设函数满足：，且对任意的，，有，求．例4（1）设，证明：存在，使得能被2000整除．（2）已知，求的表达式．同步训练一、填空题1．已知是偶函数，奇函数，并且，，则．2．设满足等式，则的值域是．3．已知定义在上的函数满足：（1）；（2）当时，；（3）对任意的实数，均有．则．4．已知定义在上的函数，满足对任意，，都有成立，则．5．记，的代数式为，它满足：（1）；（2）；（3）；（4）．则．6．设函数，满足，且对任意，都有，则．7．已知对每一个实数和函数满足．若，则满足的正整数对共有个8．已知函数，，且，则．二、解答题9．函数满足：对任意，，，2，求．10．设函数定义于闭区间，满足，，且对任意，，都有，其中常数满足，求的值．11．试求所有的函数，使得对任意，，都有12．求出所有的函数，使得对于所有，，都能被整除．13．设是定义在正整数集上且取正整数值的严格递增函数，，当，互素时，有，证明：对一切正整数，．14．已知满足条件

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