2022-2023学年八年级数学知识点串讲（苏科版）：反比例函数图像及性质（解析版）

专题06反比例函数图像及性质

选择题（共9小题）

1.（2022秋•崇川区期中）下列关系式中，y是X的反比例函数的是（）

A∙>,=∣B-尸，C.）=一|D.）,=+

【分析】根据反比例函数的定义判断即可.

【解答】解：A.y=j,是正比例函数，故A不符合题意；

B.y=/是二次函数，故B不符合题意；

C.y=-*y是X的反比例函数，故C符合题意；

D.y=∖,y不是X的反比例函数，故D不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键.

2.（2022春•东海县期末）反比例函数'的图象分布在第二、四象限，则”的取值范

围是（）

A.-3B∙”>-3C.a≤^3D.a>~3

【分析】直接利用反比例函数图象分布在第二、四象限，进而得出α+3<0,进而得出答

案.

【解答】解：；反比例函数y=喑的图象分布在第二、四象限，

.∙.a+3<0,

解得：“<^3.

故选：A.

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题

关键.

3.（2022春•吴江区期末）下列函数中，变量y是X的反比例函数的是（）

X33

A.y=3B.y=FRc.y=-D.y=3x

【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式y=（（七0）,即可判定各函数的

类型是否符合题意.

【解答】解：A、为正比例函数，不符合题意；

B、y与x+1成反比例，不符合题意；

C、符合反比例函数的定义，符合题意；

D、为正比例函数，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式y=［（原0）,是

解决此类问题的关键.

4.（2022春•亭湖区校级期中）一次函数y="-Z与反比例函数y=5在同一直角坐标系内

的图象大致为（）

【分析】根据一次函数的性质，反比例函数的性质，分情况讨论：当k<0时；当k>0

时，即可得.

【解答】解：当GVO时，一次函数的图象过一、二、四象限，反比例函数图象分别在第

二、四象限；

当火>0时，一次函数的图象过一、三、四象限，反比例函数图象分别在第一、三象限.

故选：D.

【点评】本题考查/一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，解题的关键是

掌握这些知识点.

5.（2023春•惠山区校级期中）已知反比例函数表达式为y=-p则下列说法正确的是（）

A.函数图象位于第一、三象限

B.点（2,3）在该函数图象上

C.当XVO时，y随X的增大而增大

D.当y≥-2时，x≥3

【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、；反比例函数表达式为y=-（中，％=-6<0,.∙.函数图象的两个分支

分别位于第二四象限，原说法错误，不符合题意；

B、∙.∙2x3=6我-6,...点（2,3）不在该函数图象上，原说法错误，不符合题意；

C、当x<0时∙，函数图象位于第二象限，），随X的增大而增大，正确，符合题意；

D、当-2WyVO时，x≥3,原说法错误，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题

的关键.

6.（2022秋•射阳县校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y=H+l与&为常

数且厚0）的图象大致是（）

【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断.

【解答】解：当2>0时，则-*<0,一次函数y=履+1图象经过第一、二、三象限，反

比例函数图象在第:、四象限，所以A选项正确，C选项错误；

当kVO时，一次函数y=fcv+l图象经过第一、二，四象限，所以B、D选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y=[（⅛≠0）为双曲线，当k>0时，

图象分布在第一、三象限；当k<0时，图象分布在第二、四象限.也考查了一次函数图

象.

7.（2021春•工业园区校级期末）若反比例函数），=&『的图象在第二，四象限，则〃？的

取值范围是（）

11

A./H>2B.m‹2C.m>2D.m<2

【分析】对于反比例函数），=[（⅛≠0）,（1）k>0,反比例函数图象在一、三象限；（2）k

<0,反比例函数图象在第二、四象限内.

【解答】解：∙.∙反比例函数y=驾i的图象在第二、四象限.

Λ2m-1<0,

ΛmV*.

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，应注意y=1中k的取值.

8.(2022春•靖江市校级期末)下列函数y=-8x,y=5χ-I,y=~,.y=^-(x>0),y=--(x

XAXX

<0)中，y随X的增大而减小的()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据函数的图象，研究函数的性质，解决问题.

【解答】解：Ty=-8x中，k=-8<0,

∙∙.y随X增大而减小；

,.'y=5x-1中，⅛=5>0,

随X增大而增大；

∙.j,=9中，⅛=6>0,

在一、三象限内，y随X增大而减小.

7∙v=⅛(χ>°),

当x>0,y随X增大而减小，

1

Vy=-ʌ(x<0)中，k=-1<0,

当x<0,y随X增大而增大；

故选：C.

【点评】本题综合考查一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性(单调性)，是•道

难度中等的题目.

9.(2022春•靖江市期末)如图，在直角坐标系中，点A在函数y=J(x>0)的图象上,

的图象交于点

ABLX轴于点B,AB的垂直平分线与)，轴交于点C,与函数)=[(x>0)

D,连结AC,CB,BD,DA,若四边形ACBD的面积等于2百则k的值为()

A.4√3B.2√3C.4D.√3

kk

【分析】设AL,，可求出D⑵,-),由于对角线垂直，所以面积=对角线乘积

的一半即可.

kk

【解答】解：设AQ,可求出D⑵,

VABɪCD,

.'.S四边城ACBD=^AB∙CD=*×2a×：=2V3.

解得⅛=2√3.

故选：B.

【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，

解题的关键是设出点A和点D的坐标.

二.填空题（共8小题）

10.（2022春•淮安期末）反比例函数y=[的图象分布在第一、三象限内，则A的取值范围

是k>Q.

【分析】根据反比例函数y=（（&是常数，原0）的图象在第一，三象限，即可得出k

>0.

【解答】解：∙.∙反比例函数的图象在一、三象限，

：.k>0,

故答案为：k>0.

【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k>0时，图象是位于一、三象限；

（2）k<0时，，图象是位于二、四象限.

II.（2022春•无锡期末）若反比例函数）'=（帆+1）--而的图象在第二、四象限，机的值

>¾—V3■

【分析】首先根据反比例函数定义可得2-"[2=-1,且山+1邦，求出〃?的值，再根据图

象在第二、四象限可得m+l<0,进而确定m的值.

【解答】解：由题意得：2-,”2=7,且翔，

解得：〃1=±√5,

∙.∙图象在第二、四象限，

.*.w+1<0»

解得：相<-1,

.*.m=一百，

故答案为：—V5.

【点评】此题主要考查了反比例函数的定义以及性质，重点是将一般式y=1（A≠0）转

化为y=fc√∣（原0）的形式.

12.（2022春•海州区期末）已知在反比例函数丁=个图象的每个象限内，），随X增大而增

大，则常数k的取值范围是⅛<∣.

【分析】根据反比例函数的性质列出关于火的不等式，求出人的取值范围即可.

【解答】解：∙.♦在反比例函数y=学图象的每个象限内，)，随X增大而增大，

：.2k-1<0,解得¢0

故答案为：ZV；.

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键.

13.(2022春•靖江市校级期末)对于反比例函数尸一,，当0<x%(40)时产-1恒成

立，则“的取值范围为0<把2.

【分析】由反比例函数的解析式求得当y=-1时，x=2,然后根据反比例函数的性质即

可得出“的取值范围.

【解答】解：反比例函数尸一(中，k=-2<0,

二当x>0时，y随X的增大而增大，

当y=-1时，x=2,

ɔ

：对于反比例函数)=-p当0<Λ≤Λ(α>0)时)w-1恒成立，

Λ0<α<2,

故答案为：0<αW2.

【点评】本题考查/反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例

函数的性质是解题的关键.

14.(2022春•高新区校级期末)若反比例函数y=(m+l)χ3→nz的图象在第二、四象限，加

的值为-2.

【分析】由反比例函数的定义可知3r*2=-由反比例函数图象在第二、四象限可知

"i+l<0.

【解答】解：=(m+I)X3-而是反比例函数，

Λ3-rr?--1.

解得：m-±2.

；函数图象在第二、四象限，

Λ∕π+l<0,解得：m<-\.

•»m=-2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查的是反比例函数的定义和性质，掌握反比例函数的定义和性质是

解题的关键.

15.(2023春•苏州期中)若反比例函数y=(,〃+2)朋与的图象在第一、三象限，则修的

值为4.

【分析】根据反比例函数的图象与性质可得到关于〃?的不等式，解不等式即可求得”的

取值范围.

【解答】解：•••反比例函数)，=("7+2)N"「5的图象在第一、三象限，

Λ∣∕π∣-5=-1,

解得：∕π=4或nι=-4,

*∙*m+2≠0，

.*.ιn≠-2,

.*.m=±4.

・・・图象在第一三象限，故〃?=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确地求得〃?的值是解题的关键.

16.(2022春•工业园区期中)直线y=%x+h与双曲线y=勺在同一平面直角坐标系中的图

象如图所示，则关于X的不等式”>%x+。的解集为x<-2或0<x<3.

X

【分析】先根据图象得出两函数的交点的横坐标，根据交点的横坐标结合图象即可得出

答案.

【解答】解：：直线v=kιx+b与双曲线V=”在同一平面直角坐标系中的图象的交点的

横坐标是-2和3,

k,

关于Λ的不等式/>k∖x+b的解集是x<-2或OVx<3,

X

故答案为：x<-2或0<x<3.

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的观察图

形的能力和理解能力，题目比较好，用J'数形结合思想.

17.(2022秋•大丰区期末)如图，曲线AB是抛物线)，=-f+4x+2的一部分(其中A是抛

物线与y轴的交点，B是抛物线顶点)，曲线BC是双曲线y=((Λ≠0)的一部分，A、C

两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线，若点P

(2023,“)和Q(X,〃)是波浪线上的点，则机+〃的最大值为11.

【分析】由抛物线求出点A,点B,由点B求出双曲线再求出C,得到6个单位一循

环，求出小、〃的最大值即可求解.

【解答】解：Y点A在抛物线y=-X2+4X+2上，

♦二令元=O,则y=2,

.∖A(0,2),

又丁点B是抛物线y=-X2+4X÷2的顶点，

Λy=-(χ-2)2+6,

ΛB(2,6),

；点B在双曲线y=］上，

Λ⅛=x)j=2×6=12,

.∙.双曲线解析式为y=苧，

二点C(6,2),2023=337×6+l,

所以点P的纵坐标和x=2时的纵坐标相等，

当X—I时，y=5,

所以∕M=5,

；波浪线的最高点为二次函数顶点，

所以〃的最大值为6,

所以m+n最大值为11.

故答案为：II.

【点评】本题考查反比例函数的性质，二次函数的性质，明确题意，利用数形结合是解

决本题的关键.

三.解答题(共9小题)

18.若反比例函数)，=?黑的图象经过第二、四象限，求函数的解析式.

【分析】根据反比例函数的定义，可以得到"P-24=1,而图象经过第二、四象限，则

比例系数是负数，据此即可求解.

τ∏2—24=1

√，

(2m+KO

解得：m=-5.

则函数的解析式是：y=-t

【点评】对于反比例函数y=（（A≠0）,（1）k>0,反比例函数图象在一、三象限；（2）

⅛<0,反比例函数图象在第二、四象限内.

19.（2020春•南京期末）我们已经学习过反比例函数），=3的图象和性质，请你回顾研究它

的过程，运用所学知识对函数），=-当的图象和性质进行探索，并解决下列问题：

①在第三象限内，y随X的增大而增小；

②图象的两个分支分别位于第三、四象限；

（3）写出不等式一专+4>0的解集.

【分析】（1）对于函数的图象，无论X取非零实数时，『的值总小于零，可得图

xz

象；

（2）可以从函数的增减性方面进行说明，也可以从函数图象位于的象限说明；函数图象

关于y轴成轴对称图形；

（3）先求出），=-4时X的值，再根据图形确定不等式一马+4>0的解集.

【解答】解：（1）•••函数y=—5。，

1

.∙.函数y=-∙⅛的图象是：C

XΔ

故答案为：C.

（2）该函数的性质：

①在第三象限内，y随X的增大而增小，

②图象的两个分支分别位于第三、四象限；

故答案为：在第三象限内，y随X的增大而增小，图象的两个分支分别位于第三、四象

限；

（3）当y=-4时，一土=-4,

解得：X=±∣.

根据函数的图象和性质得，不等式一妥+4>0的解集是：χV∙4或X*.

【点评】本题考查函数的意义以及反比例函数的图象和性质，特别注意利用图象得出性

质，再利用性质解决问题.

20.（2020春•江都区期末）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式--画函数图象

——利用函数图象研究函数性质——利用图象解决问题”的学习过程.我们可以借鉴这种

方法探究函数），=白的图象性质.

（1）补充表格，并画出函数的图象.

①列表：

X...-3-1O235...

y…-1-2-441...

②描点并连线，画图.

（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征：当x>l时，y随X的增大而减小，

当x<l时，y随X的增大而减小；

（3）函数y=W的图象是由函数V=2的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为

JX-IJX

（1,0）；

（4）根据上述经验，猜一猜函数N=占+2的图象大致位置，结合图象直接写出γ>3

时，X的取值范围

.L.

.

.

.

P.

.

.

.

.

∙r

.

.

•».•

.

.

6

【分析】（1）①利用函数解析式求值即可.

②利用描点法画出函数图象即可.

（2）根据图象解答问题即可.

（3）根据图象解答问题即可.

（4）根据平移的性质解决问题即可.

【解答】解：（1）①x=3时,

②图象如图所示：

（2）当x>l时，），随X的增大而减小，当x<l时，y随X的增大而减小.

故答案为：当x>l时，y随X的增大而减小，当x<l时，），随X的增大而减小.

（3）函数y=工的图象是由函数y=⅛l勺图象向右平移1个单位得到.），=£•的对称中

/X—1jX-X—1

心为（1,0）.

故答案为（1,0）

（4）数产占+2的图象是由尸白的图象向上平移2个得到，y≥3时，l<x≤5∙

故答案为1<烂5.

【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

21∙（2021春•高港区期末）请根据学习函数的经验，将下列探究函数尸告图象与性质的

过程补充完整：

（1）函数y=告的自变量X的取值范围是"1

请写出其中，〃、n的值；m-->n="；

（2）下表列出了y与X的几组对应值,⅛

Z2

X-2-101n234

2

y1m-1-22111

323

（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函

数的图象.

（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：当x>1时，y随X的增大而减小（答

案不唯一）；

（2）把X=-1,y=2分别代入函数解析式，即可得到,〃、”的值;

（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；

（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；

（5）观察图象即可求得.

【解答】解：（1）Vx-l≠0,

Λx≠l,

故答案为Λ≠h

（2）当X=-I时，y=⅛=r⅛4=-r

当y=2时，则2=告，解得X=^,

(4)由图象可得，当x>l时，y随X的增大而减小(答案不唯一),

故答案为当x>l时，y随X的增大而减小(答案不唯一)；

(5)由图象可知，——>-1时X的取值范围为x<0或x>l.

故答案为：XVO或x>l.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，数

形结合是解题的关键.

22.(2020秋•崇川区校级期中)已知y=yι+*,yι与(X-I)成正比例，户与(X+1)成反

比例，当X=O时，y=-3,当X=I时，y=-1.

(I)求y的表达式；

(2)求当X=—时y的值.

【分析】(1)先根据题意得出yι=%(X-1),)2=M⅞,根据y=y1+y2,当χ=0时，y

=-3,当x=l04,y=-1得出x、y的函数关系式即可；

(2)把X=—3弋入(1)中的函数关系式，求出y的值即可.

【解答】解：(1)・小与(X-I)成正比例，”与(x+l)成反比例，

∙∙y∖=k∖(X-1)，)？=

∙.∙y=yι+)%当X=O时，y=-3,当X=I时，y=-1.

•∙k2~~-2,k∖~~∖f

2_11

(2)当x=—2，y=x-1—

x+l-2+k-T

【点评】本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出y与X的函数

关系式是解答此题的关键.

23.已知反比例函数y=?,(Z为常数，k≠l).

(1)若点A(1,2)在这个函数的图象上，求人的值；

(2)若在这个函数图象的每一分支上，y随X的增大而增大，求k的取值范围：

(3)若Z=13,试判断点B(3,4),C(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明理由.

【分析】(1)把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；

(2)根据反比例函数图象的性质得到：G-IVO,由此求得我的取值范围；

(3)把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证.

【解答】解：(1)；点A(1,2)在这个函数的图象上，

：.k-1=1×2,

解得％=3；

(2)•；在函数y="图象的每一支上，y随X的增大而增大，

：.k-KO,

解得％<1；

(3)点C不在这个函数的图象上，理由如下：

F=I3,有％-1=12,

二反比例函数的解析式为)，=竽.

将点B的坐标代入y=ɪ,可知点B的坐标满足函数关系式，

，点B在函数)，=芋的图象上，

将点C的坐标代入)，=?,由5#竽，可知点C的坐标不满足函数关系式，

点C不在函数)，=竽的图象上.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式.注意：反比

例函数的增减性只指在同一象限内.

24.(2022春•镇平县期中)已知反比例函数y=-⅛勺图象经过A(2,-4).

①求人的值.

②这个函数的图象在哪几个象限？y随X的增大怎样变化？

③画出函数的图象.

④点B(-2,4),C(-1,5)在这个函数的图象上吗？

【分析】①将已知点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k值；

②根据确定的k的符号判断其所在的象限和增减性；

③利用描点作图法作出图象即可；

④满足函数关系式即在，否则不在.

【解答】解：①；反比例函数产子的图象经过点A(2,-4),

Λl-k=2×(-4)--8；

解得:火=9；

②Yk=-8<0,

•••图象位于二、四象限，在每个象限内)，随X的增大而增大；

③图象为:

-1x5=-5≠-8,

ΛB（-2,4）在反比例函数的图象上，C（-1,5）不在反比例函数的图象上.

【点评】本题考查了反比例函数的图象及性质，解题的关键是正确的求得反比例函数的

解析式，难度不大.

112

25.我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如=3+1同样的,

τ3r3

我们也可以把某些分式写成类似的形式，如一—=-------=--------=3+-----.这

x-1x-1x-1X-I

种方法我们称为“分离常数法”.

X-3CL

⑴如果V+有’求常数〃的值;

（2）利用分离常数法，解决下面的问题:

——3TTL

当，〃取哪些整数时，分式——的值是整数？

7∏-1

（3）我们知道一次函数y=χ-1的图象可以看成是由正比例函数y=x的图象向下平移1

个单位长度得到，函数），=磊的图象可以看成是由反比例函数y=I的图象向左平移1

个单位长度得到.那么请你分析说明函数y=却的图象是由哪个反比例函数的图象经

过怎样的变换得到？

【分析】（1）依据定义进行判断即可;

（2）首先将原式变形为-