2022-2023学年七年级数学知识点串讲（北师大版）：全等三角形证明方法：倍长中线（解析版）

专题05全等三角形证明方法一一倍长中线

基本模型：

(1)条件：如图，在“45C中，Ar)为，ABC的中线，

作法：延长A。至点£使得DE=AD,连接BE,

结论：①，ADC"EDB；②AC=£3；@AC//EB.

E

(2)条件：如图，在-ABC中，A尸为,ABC的中线，

作法：过点C作CE,AE于点E,过点3作BDJ_AE交Ab的延长线于点O,

结论：①.CEF出BDF；②BD=CE;③BD〃CE.

(3)条件：如图，在一ABC中，。为BC的中点，M为AB边上任意一点,

作法：延长MD至点M使得MD=DN,连接CN,

结论：①一BMg-CND；②BM=CN；③BM〃CN.

例题精讲：

例1.如图，_ABe中，AB=6,AC=4,。是3C的中点，的取值范围为

【详解】解：延长到E,使OE=AZ),连接5E,

BD=CD

<NBDE=NADC,

DE=AD

：..EBD^ACZJ(SAS),

：.BE=AC,

'：AB-6，AC-4,

.∙.2<AE<10,

.∙.KAZX5.

故答案为：IVAD<5.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，理解倍长中线法，证明..E瓦)也一ACD

是解题的关键.

例2.证明：直角三角形斜边中线的长度等于斜边的一半.

如图，。是A3的中点，NAc6=90°,求证：2CD=A8.

A

【答案】见解析

【详解】解：延长CD到E,使DE=CD,连接BE,

：。是AB的中点，

二BD=AD,

在.3ED与CACD中，

BD=AD

<NBDE=NADC,

DE=CD

：..ACD(SAS),

：.ED=CD,ZA=ZDBE,AC=BE,

：.AC//BE,

'：NACB=90。，

.∙.NeSE=90。，

在与CEBC中，

AC=BE

<NACB=NEBC,

BC=BC

.,.一Ae的一EBC(SAS),

.,.AB=CE=2CD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，理解倍长中线法，证明BE*-ACD

是解题的关键.

例3.已知CZ)=AB,ZBDA=ZBAD,AE是AABD的中线，求证：NC=ZBAE.

【答案】见解析

【详解】证明：延长AE到F,使石尸=AE,连接。尸,

,.∙AE是，的中线，

∙'∙BE-ED，

在，ABE与AEDE中

BE=ED

<ZAEB=NDEF,

AE=EF

.∙..ABE"FDE(SAS),

；.AB=DF,ΛBAE=ΛEFD,

,：NAZ)B是右ADC的外角，

；•ΛDAC+ZACD=ZADB=ZBAD,

ΛZBAE+ZEADZBAD,ZBAE=ZEFD,

AEFD+ZEAD=ZDAC+ZACD,

：.ZADFZADC,

■:CD-AB,CD-DF，

在.AO尸与中

AD=AD

<ZADF=ZADC,

FD=DC

ΛADF^ADC(SAS),

K=NAFD=NBAE.

"F

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明两个三角形全等.

例4.如图，A。是CABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且。ELDF求证：BE+CF>EF.

【答案】见解析

【详解】证明：延长尸。至G,使得GD=FD,连接SG,EG,

；在OFC和QG5中，

DF=DG

<ZCDF=ZBDG,

DC=DB

.jOHT^dDGB(SAS)，

：.BG=CF,

Y在瓦方和EOG中

DF=DG

<NFDE=NGDE=90°,

DE=DE

：«EDFAEDG(SAS),

.∙.EF=EG,

在LBEG中,两边之和大于第三边，

BG+BE^>EG，

又•：EF=EG,BG=CF,

：.BE+CF>EF.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知正确作出辅助线延长ED至G,使得Go=FD

是解题关键.

例5.【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

例4如图13213,在AABC中，D是边BC的中

点，过点C画直线CE,使CE"AB,交AD的延长线

于点E,求证：AD=ED

证明'.'CE/AB(已知)

.,.ZABD=ZECD,ZB.W=ZCED(两直线平

行，内错角相等).

在AABD与AECD中，

`:ZABD=ZECDIZBAD=ZCED(ETIE),

BD=CD(已知5,

/.∆ABD^∆ECD(A.A.S),

.'..W=ED(全等三角形的对应边相等).

(1)【方法应用】如图①，在c48C中，AB=8,AC=5,则BC边上的中线AO长度的取值范围

是_____________

(2)【猜想证明】如图②，在四边形ABCz)中，A5〃CD,点E是BC的中点，若AE是/84。的平分

线，试猜想线段A3、AD,。。之间的数量关系，并证明你的猜想;

(3)【拓展延伸】如图③，已知AB〃CV,点E是BC的中点，点。在线段AE上，ZEDF=ZBAE,

若AB=5,CF=2,直接写出线段。尸的长.

A

C

【详解】解：(1)延长A£＞到E,使DE=A£),连接BE,

图①

,.∙A。是BC边上的中线,

."∙BD-CD，

在，E班)与A4CD中,

BD=CD

<NBDE=NADC,

DE=AD

：.EBD^ACZJ(SAS),

：.BE=AC=5，

在，ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

Λ8-5<AE<8+5,

313

Λ-<AZ><-,

22

313

故答案为：-<AD<-.

22

(2)结论：AD=AB+DC.

理由：如图②中，延长AE,。。交于点F,

C'B

∖/图②

A

,.∙AB//CD,

.".ZBAF=NF,

在,ASE与AECE中，

NAEB=NFEC

<NBAE=NF,

BE=CE

：..FCE(AAS),

.∙∙CF=AB,

'：AE是NBA。的平分线，

二ABAF=ΛFAD,

.∙.ZFAD=AF,

AD=DF,

•：DC+CF=DF,

：.AB+DC-AD.

(3)如图③，延长AE交Cb的延长线于点G,

∙,.CE=BE>

AB//CF,

：*ZBAE=NG,

在，AEB与CGEC中，

NBAE=NG

<ZAEB=ZGEC,

BE=CE

：..AEB乡GEC(AAS),

：.AB=GC>

-：AEDF=ZBAE,

：.ZFDG=ZG,

：.FD=FG,

：.ABDF+CF,

∙.∙A8=5,CF=2,

.∙.DF=AB-CF=3.

【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分

线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

例6._ABC中，AS=AC,以BC为边,在BC右侧作等边二BCD.如图，E为。C延长线上一点，连

接AE、BE,G为AC的中点，连接5G、EG,AE=DE,证明：BGlEG.

【答案】见解析

【详解】证明：连接AO,延长BG至点R使户G=BG,连接AE,FE,

VAB^AC,BD=DC,

二是线段BC的垂直平分线.

.∙.DHlBC.

Y_BC。是等边三角形，

.∙.ZCDA=-NBDC=L60。=30°.

22

：AE=DE,

：.NEW=NCa4=30°.

在__3GC和二EGA中,

CG=AG

<ZCGB=ZAGF,

BG=FG

Λ.BGC^.FGA(SAS).

：.BC=AF,ZCBG=ZAFG.

：.AF//CB.

∙.∙AD±BC,

：.FAA.AD.

：.NMD=90°.

.∙.ZFAE=ZFAD-ZEAD=60°.

VBC=AF,BD=BC,

：.AF=BD.

在，AFE和,∙DBE中，

AF=BD

<ZFAE=NBDC=60°,

AE=DE

.∙..AFE名DBE(SAS).

：.FE=BE.

•：FG=BG,

：.BG±EG.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的性质,

等腰三角形的性质，延长BG至点尸，使FG=BG,连接AE,FE,构造全等三角形是利用线段中点解

答问题常用的辅助线.

专练过关：

1.(1)如图1,AO是SABC的中线，延长AO至点E,使ED=Ar),连接CE.

①证明UABOgECD；

②若A8=5,AC=3,设AD=X,可得X的取值范围是；

(2)如图2,在qABC中，。是BC边上的中点，DE1.DF,DE交AB于点E,。产交AC于点凡

连接石口，求证：BE+CF>EF.

【答案】(1)l<x<4;(2)见解析

【详解】(1)①证明：YA。是CABC的中线,

/.BD-DC,

在，ADB与,EZ)C中，

BD=CD

<ZADB=NCDE,

AD=DE

：..Ar)的二EOC(SAS),

②解：由①知，_ADB^^EDC,

，CE-AB—5,

YDE=AD,AD=x,

.∙.AE=2AD=Ix,

在-AeE中，AC—3,

根据三角形的三边关系得，5-3<2x<5+3,

.∙.l<x<4,

故答案为：IVX<4；

(2)证明：如图2,延长E£>,使得DH=DF,连接3”，EH,

•：DH=DF,DEYDF,

即AEDF=AEDH=90o,DE=DE,

：.DEFQDEH(SAS),

：.EF=EH,

•••。是BC边上的中点，

.*.BD=CD,

VDH=DF,/BDH=/CDF,

：.BDHaCDF(SAS),

.∙.CF=BH,

'：BE+BH>EH,

：.BE+CF>EF.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边

关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键.

2.如图，在,一ABC中，ZABC=45°,AM_LBC于点M,点。在AM匕且JDM=Cl1,尸是BC的

中点，连接尸。并延长，在ED的延长线上有一点E,连接CE,且CE=C4,NBfw=36°,求NE的

度数.

【答案】ZE=36°

【详解】解：：NABC=45°,AMIBC,

：.ZBMD=ZAMC,BMAM,

在，BΛQ和「AMC中，

DM=CM

<NBMD=ZAMC,

BM^AM

.∙..BMD^AMC(SAS),

如图，延长EE到点G,使得FG=砂，连接8G.

•：_BMD^AMC,

：.BD=AC>

又,：CE=CA,

：.BD=CE,

在.8FG和-CFE中，

BF=CF

<ZBFG=ZEFC,

FG=FE

.∙.BbGACFE(SAS),

：.BG=CE,NG=NCEF,

BD=CE=BG,

：.ABDF=ZG=/CEF.

：.NBDF=NCEF,

：.NE=36°.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉“倍长中线”模型添

加辅助线，构造全等三角形.

3.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，点E是BC的中点，点4在。E上，且ZBAE=NCDE.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明

的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB=S,

必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明.

①如图1,延长。E到点F,使EF=DE,连接8b；

②如图2,分别过点氏C作3E,CGlDE,垂足分别为点F,G.

(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明.

【答案】见解析

【详解】证明：(1)①如图1,延长DE到点尸，使跖=DE,连接8户,

点E是BC的中点，

：.BE=CE,

在，庇厂和CC团中，

BE=CE

<NBEF=NCED,

EF=ED

.∙.BEF会.CED(SAS),

：.BF=CD,ZF=ZCDE,

,：ΛBAE=ZCDE,

：.ZfiAE=ZF,

.".AB—BF,

AB—CD；

②如图2,分别过点以C作5bJ_DE,CGlDE,垂足分别为点F,G,

：.NF=ZCGE=ZCGD=90°,

；点E是BC的中点，

.∙.BE=CE,

在，8所和二CEG中，

"=NCGE=90°

<ZBEF=ZCEG,

BE=CE

：..8砂区CEG(AAS),

.∙.BF=CG,

在A84E和COG中，

'/BAE=NCDE

<ZF=NCGD=90°,

BF=CG

：..BAFm.CDG(AAS),

."∙AB—CD；

(2)如图3,过C点作C交。E的延长线于点

则NBAE=NEMC,

YE是BC中点，

BE=CE,

在，&LE和,CME中，

NBAE=NCME

<NBEA=NCEM,

BE=CE

：..BAE咨CME(AAS),

ΛCM=AB,ZBAE^ZM,

•：ZBAE=NEDC,

：.ZM=ZEDC,

：.CM=CD,

.∙.AB=CD.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造

出全等三角形是解本题的关键.

4.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1,在二ABC中，AB=8,AC=6,D是

BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AO到E,使DE=4),请补充完整证明

“一ADCAEDB”的推理过程.

(1)求证：ADC^EDB

证明：；延长AO到点E,使DE=AD

在，ADC和，JEZ汨中4)=。石(已作)

ZADC=ZEDB()

CD=BD(中点定义)

：.-ADCAEDB()

(2)探究得出AO的取值范围是；

【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已

知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,.ABC中，/8=90°,AB=2,A。是ABC的中线，CELBC,CE=4,且NAJDE=90°,

求AE的长.

【答案】（1）对顶角相等，SAS；（2）KAZX7；（3）AE=6

【详解】解：（1）证明：延长到点E,使DE=AD

在工AOC和，EDB中,

AD=DE（已作）

ZADC=NEDB（对顶角相等）

CD=BD（中点定义）

：._ADCaEDB(SAS)

故答案为：对顶角相等，SAS；

(2)♦:ADC综EDB,

：.BE=AC=6,

8-6<AE<8+6,

.∙.1<A£X7,

故答案为：1<ADV7;

(3)延长A。交EC的延长线于凡

VAB±BC,EF±BC,

：.ZABD=ZFCD,

在，A5。和.FCD中，

ZBD=NFCD

<BD=CD,

ZADB=ZFDC

：.■.FCD(ASA),

ΛCF=AB=I,AD=DF,

•：ZAz)E=90°,

.∙.AE=EF,

'：EF=CE+CF=CE+AB=4+2^6,

，AE—6.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

5.（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在一ABC中，AB=I2,AC=8,

求8C边上的中线A。的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）,

①延长Az）到M,使得DW=AO；

②连接,通过三角形全等把AB、AC、2AO转化在/A&0中；

③利用三角形的三边关系可得A"的取值范围为AB—3MVAΛ∕VA5+BM,从而得到AO的取值范围

是；

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

（2）请你写出图2中AC与创/的数量关系和位置关系，并加以证明.

（3）深入思考：如图3,AO是二ABC的中线，AB=AE,AC^AF,ZBAEZCAF^90°,请直

接利用（2）的结论，试判断线段AO与环的数量关系，并加以证明.

E

图1图2图3

【答案】(I)2<ATX10;(2)AC〃3M且AC=BM：(3)EF=2AD,理由见解析

【详解】解：(1)延长AZ)到点M,使ZW=AD,连接

：AO是8C边上的中线，

：.BD=CD，

在，MDB和,ADC中，

BD=CD

<NBDM=ZCDA,

DM-AD

：._MDBRADC(SAS),

BM—AC—6，

在，ABM中，

AB-BM<AM<AB+BM,

.∙.12-8<AM<12+8,4<AM<20,

.∙.2<AZX10,

故答案为：2V4X10；

(2)AC//BM,且AC=BM,

理由是：由(1)知，.MDB^ADC,

：.AM=ACAD,AC=BM,

：.AC//BM；

(3)EF=2AD,

理由：如图2,延长Ao到M,使得。M=A。，连接BM,

图2

由(1)知，空Az)C(SAS),

：.AC^BM,

,：AC^AF,

：.BMAF,

由(2)知：AC//BM,

，NBAC+ZABM=180°,

∙.∙ZBAE=ZFAC=90°,

：.ZMC+ZE4F=180°,

：.ZABM=ZEAF,

在，ABM和E4E中，

AB=EA

<ZABM=NEAF,

BM=AF

：..EAF(SAS),

：.AM=EF,

'：AD=DM,

.'.AM^2AD,

'：AM=EF,

：.EF=2AD,

即：EF=2AD.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题

的关键.

6.如图,在LABC中,F为BC中点,分别以AB、AC为底边向外作等腰三角形，ABD和等腰三角形^ACE,

记NΛD3=α,ZAEC=β.

(1)若α=∕7=9O°,如图，求证：DF=EF,DFLEFi

(2)当ɑ,尸不等于90°时，若DhEF,

①在图中补全图形；

②试判断α,£的数量关系，并证明.

【答案】（I）见解析；（2）见解析；（3）a+β=∖SQo,理由见解析；

【详解】（1）证明：延长。/到点H,使得DF=HF,连接C”、EH、DE,如下图,

DF=HF

<NBFD=NCFH,

BF=CF

：.BDFaCHFSAS),

：.BD=CH,/DBF=/HCF,

•：..ABD和_ACE是等腰直角三角形，ZADB=ZAEC=90°,

ΛAD=BD,AE=CE,ADAB=ZDBA=ZEAC=ZACE=45°,

ΛAD=CH,ZDAE=90°+ABAC,

.ZHCE