高等数学(2017高教五版)课件复合函数微分法(工科类)

一、复合函数的求导法那么二、复合函数的全微分但凡学过一些微积分的人,没有一个会对复合函数微分法的重要性产生疑心.可以毫不夸张地说,谁不懂得复合微分法,谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.§2复合函数微分法数学分析

第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容设函数(1)定义在平面的区域D上,(2)定义在xy平面的区域上.那么可构成复合函数:(3)其中(1)为内函数,(2)为外函数,(s,t)为自变量.§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分复合函数的求导法那么后退前进目录退出函数假设(x,y)为中间变量,定理17.3下面将讨论复合函数F的可微性.在点可微,且关于s与t的偏导数分别为则复合函数在点可微，(4)公式(4)也称为链式法那么.§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分在点可微，若函数(6)证由假设在点可微,于是(5)

(7)其中时又由在点可微,故有其中时，定义:当时,§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分并可补充现把(5),(6)两式代入(7)式，得到整理后又得(8)§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分并求得z关于s和t的偏导数公式(4)．

从而

以及于是在(9),(10)两式中,当时,有其中§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分都连续，即当时，故由

(8)

式推知复合函数

(3)

可微，能轻易省略的,否那么上述复合求导公式就不一定成立．例如注

如果只是求复合函数关于s或t的偏导数,因为以或除(7)式两边,然后让或但是对外函数的可微性假设是不§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分须具有关于s或t的偏导数就够了.到相应的结果.只则上述定理中也能得为内函数，由§1习题6已知但若以为外函数,§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分在点(0,0)不可微.那么得到以t为自变量的复合函数这说明：在使用链式法那么时,必须注意外函数可微这个条件.关于自变量的偏导数为§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分函数组多元函数的复合求导一般比较复杂，必须要区分哪些是中间变量，哪些是自变量，法那么求出正确的结果.可以按照各变量间的复合关系,画如图那样的树形图.首先从因变量z向中间变量x,y画两个分枝,别从中间变量x,y向自变量s,t画分枝,分枝上写上对应的偏导数.§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分这样才能正确使用链式为了便于记忆，然后再分并在每个§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分偏导数相乘，然后再将这些乘积相加即得类似地,考察从z到t的路径,得解所讨论的复合函数以(u,v)为中间变量,(x,y)为自变量,并满足定理17.5的条件.

§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分因此由根据链式法那么得到§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分例2因此有§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分于是§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分解复合后仅是自变量t的一元函数．例3注上面第一个等式中，左边的是作为一元函数的复合函数对t求导数(又称“全导数”);是外函数(是u,v,t的三元函数)对t求偏导.注意区分．

§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分于是右边的例4用多元复合微分法计算以下一元函数的导数:§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分那么有§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分由此可见，以前用“对数求导法”求一元函数导数的问题,如今可用多元复合函数的链式法那么来计算.解令§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分而实用的写法(省去了引入中间变量):说明上面的解法是通过引进中间变量后,借助链式法那么而求得的;§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分上述过程还有一种比较简洁§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分证明:在极坐标系里f只是r的函数．为此设证此题是要证明:经极坐标变换后,f满足例7设在上的可微函数满足方程§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分是的函数．从而在上的极坐标系里与无关,于是只§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分分为(11)如果作为中间变量,又是自变量的可微函数则由定理17.5知道,复合函数是可微的,其全微分为§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分复合函数的全微分将(13)式代入(12)式,得到与(11)式完全相同的结果,§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分

(12)(13)这就是多元函数的一阶(全)微分形式不变性.利用微分形式不变性,能更有条理地计算复合函数的全微分．(11)§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分各自独立取值;作为中间变量时,当因此§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分例8利用微分形式不变性计并由此得到§2复合函数微分法复合函数的求导法那么复合函数的全微分1.在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一个结果: