概率论与数理统计习题集及答案-3

概率论与数理统计习题集及答案－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章概率论得基本概念

§1、1随机试验及随机事件

1、(1)一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T出现得情形、样本空间就是:S=;

(2)一枚硬币连丢3次,观察出现正面得次数、样本空间就是:S=;

2、(1)丢一颗骰子、A:出现奇数点,则A=;B:数点大于2,则B=、

(2)一枚硬币连丢2次,A:第一次出现正面,则A=;

B:两次出现同一面,则=;C:至少有一次出现正面,则C=、

§1、2随机事件得运算

1、设A、B、C为三事件,用A、B、C得运算关系表示下列各事件:

(1)A、B、C都不发生表示为:、(2)A与B都发生,而C不发生表示为:、

(3)A与B都不发生,而C发生表示为:、(4)A、B、C中最多二个发生表示为:、

(5)A、B、C中至少二个发生表示为:、(6)A、B、C中不多于一个发生表示为:、

2、设}42:{},31:{},50:{≤(1)=?BA,(2)=AB,(3)=BA,(4)BA?=,(5)BA=。

§1、3概率得定义与性质

1.已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?BPAPBAP,则

(1)=)(ABP,(2)()(BAP)=,(3))(BAP?=、

2、已知,3.0)(,7.0)(==ABPAP则)(BAP=、

§1、4古典概型

1、某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学得概率,

(2)最多有2个女同学得概率,(3)至少有2个女同学得概率、

2、将3个不同得球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球得概率、

§1、5条件概率与乘法公式

1.丢甲、乙两颗均匀得骰子,已知点数之与为7,则其中一颗为1得概率就是。

2、已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===BAPABPAP则=?)(BAP。§1、6全概率公式

1.有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,

说明两人抽“中‘得概率相同。

2.第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机

地取一个球,求取到红球得概率。

§1、7贝叶斯公式

1．某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1)该厂

产品能出厂得概率,(2)任取一出厂产品,求未经调试得概率。

2．将两信息分别编码为A与B传递出去,接收站收到时,A被误收作B得概率为0、02,

B被误收作A得概率为0、01,信息A与信息B传递得频繁程度为3:2,若接收站收到得信息就是A,问原发信息就是A得概率就是多少？

§1、8随机事件得独立性

1、电路如图,其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合得概率均为p,求L与R为通路(用T表示)得概率。AB

LR

CD

3.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0、4,0、5与0、6,就是否命中,相

互独立,求下列概率:(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。

第1章作业答案

§1、11:(1)},,,,,,,{TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS=;

(2)}3,2,

1,0{=S2:(1)}6,5,4,3{}5,3,1{==BA;

(2){=A正正,正反{},=B正正,反反{},=C正正,正反,反正}。

§1、21:(1)ABC;(2)CAB;(3)CBA;(4)CBA??;(5)BCACAB??;

(6)CBCABA??或CBACBACBACBA+++;

2:(1)}41:{(4)10:{≤≤=?xxBA或}52≤≤x;(5)}41:{§1、31:(1))(ABP=0、3,(2))(BAP=0、2,(3))(BAP?=0、7、2:)(BAP)=0、4、

§1、4

1:(1)103082228/CCC,(2)(103082228922181022/CCCCCC）（++,(3)1-(1030922181022/CCCC）+、

2:3

344/P、

§1、51:、2/6;2:1/4。

§1、61:设A表示第一人“中”,则P(A)=2/10

设B表示第二人“中”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=10

29210891102=?+?两人抽“中‘得概率相同,与先后次序无关。

2:随机地取一盒,则每一盒取到得概率都就是0、5,所求概率为:

p=0、5×0、4+0、5×0、5=0、45

§1、71:(1)94%(2)70/94;2:0、993;

§1、8、1:用A,B,C,D表示开关闭合,于就是T=AB∪CD,

从而,由概率得性质及A,B,C,D得相互独立性

P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)

=P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D)

424222ppppp-=-+=

2:(1)0、4(1-0、5)(1-0、6)+(1-0、4)0、5(1-0、6)+(1-0、4)(1-0、5)0、6=0、38;

(2)1-(1-0、4)(1-0、5)(1-0、6)=0、88、

第2章随机变量及其分布

§2、1随机变量得概念,离散型随机变量

1一盒中有编号为1,2,3,4,5得五个球,从中随机地取3个,用X表示取出得3个球中得最大号码、,试写出X得分布律、

2某射手有5发子弹,每次命中率就是0、4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击得次数,试写出X得分布律。

§2、210-分布与泊松分布

1某程控交换机在一分钟内接到用户得呼叫次数X就是服从λ=4得泊松分布,求

(1)每分钟恰有1次呼叫得概率;(2)每分钟只少有1次呼叫得概率;

(3)每分钟最多有1次呼叫得概率;

2设随机变量X有分布律:X2

3,Y～π(X),试求:

p0、40、6

(1)P(X=2,Y≤2);(2)P(Y≤2);(3)已知Y≤2,求X=2得概率。

§2、3贝努里分布

1一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用得概率为0、6,计算机

就是否被使用相互独立,问在同一时刻

(1)恰有2台计算机被使用得概率就是多少？

(2)至少有3台计算机被使用得概率就是多少？

(3)至多有3台计算机被使用得概率就是多少？

(4)至少有1台计算机被使用得概率就是多少？

2设每次射击命中率为0、2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次得概率不小于0、9？

§2、4随机变量得分布函数

1设随机变量X得分布函数就是:F(x)=??

???≥（1）求P(X≤0);P()10≤

2设随机变量X得分布函数就是:F(x)=?????≤>+0001xxxAx,求(1)常数A,(2)P()21≤§2、5连续型随机变量

1设连续型随机变量X得密度函数为:?

??(3)用二种方法计算P(-0、52设连续型随机变量0≥x得分布函数为:F(x)=??

???≥(1)求X得密度函数)(xf,画出)(xf得图形,(2)并用二种方法计算P(X>0、5)、§2、6均匀分布与指数分布

1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程42

x+4Kx+K+2=0

有实根得概率。

2假设打一次电话所用时间(单位:分)X服从2.0=α得指数分布,如某人正好在您前面走进电话亭,试求您等待:(1)超过10分钟得概率;(2)10分钟到20分钟得概率。§2、7正态分布

1随机变量X～N(3,4),(1)求P(22),P(X>3);

(2)确定c,使得P(X>c)=P(X2某产品得质量指标X服从正态分布,μ=160,若要求P(120§2、8

1设随机变量X得分布律为;、3

Y=2X–1,求随机变量得分布律。

2设随机变量X得密度函数为:?

??3、设随机变量X服从(0,1)上得均匀分布,XYln2-=,求随机变量Y得密度函数。

第2章作业答案

§2、11:2:6×0、6×0§2、21:(1)P(X=1)=P(X≥1)–P(X≥2)=0、981684–0、908422=0、073262,

(2)P(X≥1)=0、981684,

(3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0、908422=0、091578。

2:(1)由乘法公式:

P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0、4×(22222---++eee)=22-e

(2)由全概率公式:P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3)

=0、4×52-e+0、6×

3217-e=0、27067+0、25391=0、52458(3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y≤2)=516.052458

.027067.0)2()2,2(==≤≤=YPYXP§2、31:设X表示在同一时刻被使用得台数,则X～B(5,0、6),

(1)P(X=2)=32254.06.0C(2)P(X≥3)=544523356.04.06.04.06.0++CC

(3)P(X≤3)=1-54456.04.06.0-C(4)P(X≥1)=1-54.0

2:至少必须进行11次独立射击、

§2、41:(1)P(X≤0)=0、5;P()10≤(2)X得分布律为:

5

2:(1)A=1,(2)P()21≤§2、51:(1)2=k,(2)??

???≥xxxxxF;(3)P(-0、5120)(5.0005.05

.05.0=+=???--xdxdxdxxf;或=F(0,5)–F(-0、5)=4

1041=-。2:(1)?

??XP§2、61:3/52:422)2()1(----eee

§2、71:0、5;(2)c=3,2:σ≤31、25。§2、81:3

2:?????=-00021)(2/yyeyfyY;

第3章多维随机变量

§3、1二维离散型随机变量

1.设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到得红球个数,用Y表示取到得白球个数,写出(X,Y)得联合分布律及边缘分布律。

2.设二维随机变量),(YX得联合分布律为试根椐下列条件分别求a与b得值;

(1)6.0)1(==XP;(2)5.0)2|1(===YXP;(3)设)(xF就是Y得分布函数,5.0)5.1(=F。§3、2二维连续型随机变量

1.)(YX、得联合密度函数为:?

??2.)(YX、得联合密度函数为:???0,10),(xyxkxyyxf求(1)常数k;(2)P(X+Y§3、3边缘密度函数

1.设(X,Y)得联合密度函数如下,分别求X与Y得边缘密度函数。

+∞),(222π

2、设(X,Y)得联合密度函数如下,分别求X与Y得边缘密度函数。

???其00),(xyeyxfx

§3、4随机变量得独立性

1.(X,Y)得联合分布律如下,

试根椐下列条件分别求a与b得值;(1)3/1)1(==YP;(2)5.0)2|1(==>YXP;(3)已知X与Y相互独立。

2.(X,Y)得联合密度函数如下,求常数c,并讨论X与Y就是否相互独立？

???10,10),(2yxcxyyxf第3

§3、1(1)a=0、1b=0、3

(2)a=0、2b=0、2

(3)a=0、3b=0、1

§3、21:(1)k=1;(2)P(X§3、31:+∞+∞-xxdyyxxfX)1(2)1)(1(1)(2222ππ;+∞1)(1(1

)(2222ππ;2:???≤>=-000)(xxxexfx

X;???≤>=-000)(yyeyfyY;

§3、41:(1)a=1/6b=7/18;(2)a=4/9b=1/9;(3)a=1/3,b=2/9。

2:c=6,X与Y相互独立。

第4章随机变量得数字特征

§4、1数学期望

1.盒中有5个球,其中2个红球,随机地取3个,用X表示取到得红球得个数,则EX就是:

(A)1;(B)1、2;(C)1、5;(D)2、

2.设X有密度函数:??

???=083)(2xxf他其42≤≤x,求)1(),12(),(2XEXEXE-,并求X大于数学期望)(XE得概率。

3.设二维随机变量),(YX得联合分布律为

已知65.0)(=XYE,

则a与b得值就是:、2

(A)a=0、1,b=0、3;(B)a=0、3,b=0、1;(C)a=0、2,b=0、2;(D)a=0、15,b=0、25。

4.设随机变量(X,Y)得联合密度函数如下:求)1(,,+XYEEYEX。

?

??1.设X有分布律:X0123则)32(2

+-XXE就是:

p0、10、20、30、4

(A)1;(B)2;(C)3;(D)4、2.设),(YX有?????145),(2yxyyxf,试验证)()()(YEXEXYE=,但X与Y不

相互独立。

§4、3方差

1．丢一颗均匀得骰子,用X表示点数,求DXEX,、

2．X有密度函数:?

??+=04/)1()(xxf他其20≤≤x,求D(X)、§4、4常见得几种随机变量得期望与方差

1．设)2(~πX,)6.0,3(~BY,相互独立,则)2(),2(YXDYXE--得值分别就是:

（A）-1、6与4、88;(B)-1与4;(C)1、6与4、88;(D)1、6与-4、88、

2、设)3,4(~),,(~NYbaUX,X与Y有相同得期望与方差,求ba,得值。(A)0与8;(B)1与7;(C)2与6;(D)3与5、

§4、6独立性与不相关性矩

1.下列结论不正确得就是()

(A)X与Y相互独立,则X与Y不相关;

(B)X与Y相关,则X与Y不相互独立;

(C))()()(YEXEXYE=,则X与Y相互独立;

(D))()(),(yfxfyxfYX=,则X与Y不相关;

2.若0),(=YXCOV,则不正确得就是()

(A))()()(YEXEXYE=;(B))()()(YEXEYXE+=+;

(C))()()(YDXDXYD=;(D))()()(YDXDYXD+=+;

3.(YX,)有联合分布律如下,试分析X与Y得相关性与独立性。

4.)()()(YEXEXYE=就是X与Y不相关得()

(A)必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。

5、)()()(YEXEXYE=就是X与Y相互独立得()

（A）必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。

6、设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下:试验证X与Y不相关,但不独立。

???14/21),(22yxyxyxf

第4章作业答案

§4、11:B;2:3/2,2,3/4,37/64;3:D;4:2/3,4/3,17/9;

§4、21:D;

§4、31:7/2,35/12;2:11/36;

§4、41:A;2:B;

§4、51:0、2,0、355;2:－1/144,－1/11;

§4、61:C;2:C;3:X与Y不相关,但X与Y不相互独立;4:C;5:A;

第5章极限定理

*§5、1大数定理

§5、2中心极限定理

1．一批元件得寿命(以小时计)服从参数为0、004得指数分布,现有元件30只,一只在用,其

余29只备用,当使用得一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)得近似概率。

2．某一随机试验,“成功”得概率为0、04,独立重复100次,由泊松定理与中心极限定理分

别求最多“成功”6次得概率得近似值。

第5章作业答案

§5、22:0、1788;3:0、889,0、841;

第6章数理统计基础

§6、1数理统计中得几个概念

1．有n=10得样本;1、2,1、4,1、9,2、0,1、5,1、5,1、6,1、4,1、8,1、4,则样本均值X=,样本均方差=S,样本方差=2

S。

2.设总体方差为2b有样本nXXX,,,21Λ,样本均值为X,则=),(1XXCov。§6、2数理统计中常用得三个分布

1、查有关得附表,下列分位点得值:9.0Z=,)5(21.0χ=,)10(9.0t=。

2.设nXXX,,,21Λ就是总体)(2mχ得样本,求)(),(XDXE。

§6、3一个正态总体得三个统计量得分布

1.设总体),(~2

σμNX,样本nXXX,,,21Λ,样本均值X,样本方差2S,则~/n

Xσμ

-,~/nSXμ-,∑=-niiXX122)(1σ～,∑=-niiX122)(1

μσ～,

第6章作业答案

§6、11.0646.0,254.0,57.12===ssx;2、nbXXCov/),(21=;

§6、21.-1、29,9、236,-1、3722;2.nmXDmXE/2)(,

)(==;§6、31、)(),1(),1(),1,0(22nnntNχχ--;

第7章参数估计

§7、1矩估计法与顺序统计量法

1.设总体X得密度函数为:?????≤≤=-他其0

10)(1xxxfθθ,有样本nXXX,,,21Λ,求未知

参数θ得矩估计。

2、每分钟通过某桥量得汽车辆数)(~λπX,为估计λ得值,在实地随机地调查了20次,每次1分钟,结果如下:次数:23456

量数:95374

试求λ得一阶矩估计与二阶矩估计。§7、2极大似然估计

1.设总体X得密度函数为:?????≤≤+=他其0

10)1()(xxxfθθ,有样本nXXX,,,21Λ,求未

知参数θ得极大似然估计。§7、3估计量得评价标准

1.设总体X服从区间)1,(a上得均匀分布,有样本nXXX,,,21Λ,证明=a?12-X就是a得无偏估计。

2.设总体X～)(λπ,有样本nXXX,,,21Λ,证明2)1(SaXa-+就是参数λ得无偏