空间向量与立体几何-学习.探究.诊断(选修2-1)

第三章空间向量与立体几何测试十一空间向量及其运算AⅠ学习目标1．会进行空间向量的加法、减法、数乘运算．2．会利用空间向量基本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解．3．会进行空间向量数量积的运算，并会求简单的向量夹角．Ⅱ基础性训练一、选择题1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＝()(A) (B)(C) (D)2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若，则下列式子中与相等的是()(A) (B)(C) (D)3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量是()(A)有相同起点的向量 (B)等长的向量(C)共面向量 (D)不共面向量4．已知空间的基底{i，j，k}，向量a＝i＋2j＋3k，b＝－2i＋j＋k，c＝－i＋mj－nk，若向量c与向量a，b共面，则实数m＋n＝()(A)1 (B)－1 (C)7 (D)－75．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则()(A)1 (B)0 (C)3 (D)－3二、填空题6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，化简______.7．已知向量i，j，k不共面，且向量a＝mi＋5j－k，b＝3i＋j＋rk，若a∥b，则实数m＝______，r＝______.8．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，所有的棱长均为2，且，则,＞＝_______；异面直线AB与CC1所成的角的大小为______.9．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，且a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝______．10．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，所有棱长均为1，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AB⊥AD，则AC1的长度为______三、解答题11．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，，E为A1D1中点，用基底{a，b，c}表示下列向量(1)；(2)在图中画出化简后的向量．12．已知向量a＝2i＋j＋3k,b＝－i－j＋2k，c＝5i＋3j＋4k，求证向量a，b，c共面．13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E为CC1(1)求；(2)求．Ⅲ拓展性训练14．如图，点A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心，求证：．(注：重心是三角形三条中线的交点，且CG∶GE＝2∶1)第三章空间向量与立体几何测试十一空间向量及其运算A1．D2．C．3．C∵共面．4．Bc＝a＋b＝－i＋3j＋4k＝－i＋mj－nk，m＝3，n＝－4，m＋n＝－1．5．C．6．．7．，．8．120°；60°．9．－2．10．＝1＋1＋1＋0＋2cos60°＋2cos60°＝5．11．(1)；．(2)．12．解：设c＝ma＋nb，则5i＋3j＋4k＝m(2i＋j＋3k)＋n(－i－j＋2k)＝(2m－n)i＋(m－n)j＋(3m＋2n)，解得，所以c＝2a－b，所以向量a，b，c共面．13．．．14．证明∵∴．测试十二空间向量及其运算BⅠ学习目标1．会进行向量直角坐标的加减，数乘，数量积的运算．2．掌握用直角坐标表示向量垂直，平行的条件．3．会利用向量的直角坐标表示计算向量的长度和两个向量的夹角．Ⅱ基础性训练一、选择题1．a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a＋6b－8c(A)(14，－3，3) (B)(14，－3，35)(C)(14，－3，－12) (D)(－14，3，－3)2．下列各组向量中不平行的是()(A)a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4) (B)c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)(C)e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0) (D)g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)3．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝()(A)2 (B)－2 (C) (D)4．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是()(A)和 (B)(C)和 (D)5．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角余弦为，则λ等于()(A)2 (B)－2 (C)－2或 (D)2或二、填空题6．已知点A(3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B的坐标为______，｜｜＝______．7．已知3(2，－3，1)－3x＝(－1，2，3)，则向量x＝______．8．若向量a＝(2，1，－2)，b＝(6，－3，2)，则cos<a，b>＝______．9．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k10．若空间三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)共线，则p＝______，q＝______．三、解答题11．已知向量a＝(1，－1，2)，b＝(－2，1，－1)，c＝(2，－2，1)，求(1)(a＋c)·a；(2)｜a－2b＋c｜；(3)cos〈a＋b，c〉．12．已知向量a＝(2，－1，0)，b＝(1，2，－1)，(1)求满足m⊥a且m⊥b的所有向量m．(2)若，求向量m．13．已知向量a＝(－2，1，－2)，b＝(1，2，－1)，c＝(x，5，2)，若c与向量a，b共面，求实数x的值．14．直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A1(1)求的坐标及BN的长；(2)求的值；(3)求证：A1B⊥C1M测试十二空间向量及其运算B1．A2．Db＝－2aa∥b；d＝－3cd∥c；而零向量与任何向量都平行．3．C4．A5．C或6．(5，1，6)，7．8．9．10．p＝3，q＝211．；12．所以m＝(a，2a，5a)(a∈(2)，得a＝±2，所以m＝(2，4，10)或m＝(－2，－4，－10)．13．因为c与向量a，b共面，所以设c＝ma＋nb(m，n∈R)(x，5，2)＝m(－2，1，－2)＋n(1，2，－1)，，所以14．(1)解：依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴．(2)解：A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴，∴∴(3)证明：∵C1(0，0，2)，，∴∴∴A1B⊥C1M．测试十三直线的方向向量与直线的向量方程Ⅰ学习目标1．会写出直线的向量参数方程以及利用它确定直线上点的坐标．2．会用向量共线定理处理四点共面问题．3．会利用直线的方向向量和向量共线定理证明线线平行、线面平行，线线垂直、线面垂直．4．会利用向量求两条异面直线所成的角．Ⅱ基础性训练一、选择题1．向量=（1，2，0），=（－1，0，6）点C为线段AB的中点，则点C的坐标为()(A)(0，2，6) (B)(－2，－2，6) (C)(0，1，3) (D)(－1，－1，3)2．已知点A(2，－2，4)，B(－1，5，－1)，若,则点C的坐标为()(A) (B) (C) (D)3．下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是()(A) (B)(C)0 (D)04．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1(A) (B) (C) (D)5．已知A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC内的点是()(A)(2，3，1) (B)(1，－1，2) (C)(1，2，1) (D)(1，0，3)二、填空题6．已知点A(1，2，0)，B(－2，1，3)，若点P(x，y，z)为直线AB上任意一点，则直线AB的向量参数方程为(x，y，z)＝______，若时，点P的坐标为______.7．已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若有确定的点与A，B,C三点共面，则λ＝______．8．若直线l1∥l2，且它们的方向向量分别为a＝(2，y，－6)，b＝(－3，6，z)，则实数y＋z＝______9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M是DC的中点，点N在CC1上，且D1M⊥AN，则10．正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则A1C与BC三、解答题11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1(1)求异面直线AC1与CB1所成角的大小；(2)证明：BC1⊥AB1．12．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E，F分别是AB，PC的中点．求证：EF⊥平面PCD．13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1AC⊥BC，点D是AB的中点．(1)求证：AC1∥平面CDB1；(2)求异面直线AC1与B1D所成的角的大小．14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点，求证：MN∥平面BB1D1D测试十三直线的方向向量与直线的向量方程1．C2．B3．C．4．B如图，建立空间直角坐标系D－xyz,，,．5．D所以向量共面，点(1，0，3)在平面ABC内．6．(x，y，z)＝(1，2，0)＋t(－3，－1，3)；(－5，0，6)，此时t＝2．7．；因为．8．5．9．1．10．如图，建立空间直角坐标系O－xyz，则,11．解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz则A(1，0，0)，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)(1)，，异面直线AC1与CB1所成角为60°．(2)，得，所以BC1⊥AB1．12．证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2，则：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，∵E为AB的中点，F为PC的中点，∴E(1，0，0)，F(1，1，1),∵∴EF⊥CD．∵＝0∴EF⊥PD．因为PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．13．解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz，设AC＝BC＝CC1＝2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，D(1，1，0)．(1)设BC1与B1C的交点为E，则E(0，1，1)∵，∴,∴DE∥AC1．∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．(2)设异面直线AC1与B1D所成的角为，=(－2，0，2)，=(1，－1，－2)，，所以＝30°异面直线AC1与B1D所成的角为30°14．设则，因为MN平面BB1D1D，所以MN∥平面BB1D1D．测试十四平面的法向量和平面的向量表示Ⅰ学习目标1．会求平面的法向量．2．会利用平面的法向量证明两个平面平行和垂直问题．Ⅱ基础性训练一、选择题1．过点A(2，－5，1)且与向量a＝(－3，2，1)垂直的向量()(A)有且只有一个 (B)只有两个且方向相反(C)有无数个且共线 (D)有无数个且共面2．设平面内两个向量的坐标分别为(1，2，1)，(－1，1，2)，则下列向量中是平面的法向量的是()(A)(－1，－2，5) (B)(－1，1，－1) (C)(1，1，1) (D)(1，－1，－1)3．已知空间中三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，若向量a分别与都垂直，且，则a＝()(A)(1，1，1) (B)(1，－1，1)(C)(－1，1，1) (D)(－1，－1，－1)或(1，1，1)4．已知⊥，平面与平面的法向量分别为m＝(1，－2，3)，n＝(2，3λ，4)，则λ＝()(A) (B) (C) (D)5．平面的法向量为m，若向量，则直线AB与平面的位置关系为()(A)AB (B)AB∥ (C)AB或AB∥ (D)不确定二、填空题6．已知∥，平面与平面的法向量分别为m，n，且m＝(1，－2，5)，n＝(－3，6，z)，则z＝______．7．如图，在正三棱锥S－ABC中，点O是△ABC的中心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是______，平面SAD的一个法向量可以是______．8．若A(0，2，1)，B(1，1，0)，C(－2，1，2)是平面内的三点，设平面的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝______．9．如图AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上非A，B的任意一点，则图中直角三角形共有______个．三、解答题10．正方体ABCD－A1B1C1D1(1)在图中找出平面ABCD，平面ADD1A1，平面BDD1B1(2)以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出(1)中三个法向量的坐标．11．如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD＝2．AB＝4，E，F分别为CD,PB的中点．求平面AEF的一个法向量的坐标．12．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E，F，M，N分另是A1D1，D1D，BC，BB1求证：平面EFC1∥平面AMN．13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M，N分别是DC，CC1，求证：平面PA1A⊥平面MN测试十四平面的法向量和平面的向量表示1．D2．B3．D4．C5．C6．－157．8．x∶y∶z＝2∶－1∶39．4个，△PAC，△PAB，△ABC，△PBC10．解：(1)由正方体可得：DD1⊥平面ABCD，AB⊥平面ADD1A1平面ABCD的一个法向量为，平面ADD1A1的一个法向量为，连接AC，AC⊥BD，AC⊥BB1，得AC⊥平面BB1D1D，平面BDD1B1的一个法向量为．(2)如图，建立空间直角坐标系D－xyz，可得D1(0，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)．11．如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AD＝2，可得A(0，2，0)，B(4，2，0)，C(4，0，0)，P(0，0，2)，E(2，0，0)，F(2，1，1)．平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，，，令x＝1，得y＝1，z＝－1，m＝(1，1，－1)．12．如图，建立空间直角坐标系D－xyz，可得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，C1(0，2，4)，E(1，0，4)，F(0，0，2)，M(1，2，0)，N(2，2，2)．平面EFC1的一个法向量为m＝(x，y，z)，,，所以，令y＝1，得x＝2，z＝－1，m＝(2，1，－1)．设平面AMN的一个法向量为n＝(a，b，c)．，所以．令b＝1，得a＝2，c＝－1，n＝(2，1，－1)．因为m＝n，所以平面EFC1∥平面AMN．13．如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝2，可得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1，2，0)．平面PA1A的一个法向量为m＝(x，y，z)，，令x＝1，得y＝2，m＝(1，2，0)，同理，平面AMN的一个法向量为n＝(a，b，c)，，所以．令b＝1，得a＝－2，c＝－2，n＝(－2，1，－2)．因为m·n＝0，所以m⊥n，所以平面PA1A⊥平面MND测试十五直线与平面的夹角、二面角Ⅰ学习目标1．会利用定义求直线与平面的夹角，二面角．2．会利用平面的法向量求直线与平面的夹角，二面角．3．会根据所给的几何体，合理的建立空间直角坐标系解决相关角度问题．Ⅱ基础性训练一、选择题1．若直线l与平面成角为，直线a在平面内，且直线l与直线a异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是()(A) (B) (C) (D)2．已知二面角－l－的大小为，异面直线a，b分别垂直于平面，，则异面直线a，b所成角的大小为()(A) (B) (C) (D)3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与平面BDD1B1(A) (B) (C) (D)4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1中点，平面A1EC与平面ABCD(A) (B) (C) (D)5．ABCD为正方形，E是AB中点，将△DAE和△CBE折起，使得AE与BE重合，记A，B重合后的点为P，则二面角D－PE－C的大小为()(A) (B) (C) (D)二、填空题6．设n1，n2分别为一个二面角的两个半平面的法向量，若，则此二面角的大小为______.7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，P是棱CC1上一点，CP＝m，且直线AP与平面BB1D1D所成的角的正弦值为，则m＝______．8．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______．9．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是______．10．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1三、解答题11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF12．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为AB中点，求二面角A1－EC－B

13．正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，D是BC(1)求直线BB1与平面AC1D所成的角余弦值；(2)求二面角C－AC1－D的大小．14．三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC．(1)求AC与平面SBC所成角的大小．(2)求二面角A－SC－B的大小．测试十五直线与平面的夹角、二面角1．C2．B3．A建立空间直角坐标系，平面BDD1B1的法向量为．4．C5．CEP⊥PD，EP⊥PC，∠DPC是二面角D－PE－C的平面角，且PD＝PC＝CD，二面角的平面角的大小为．6．或．7．．建立空间直角坐标系D－xyz，设P(0，1，m)，得＝(－1，1，m)，平面BB1D1D．8．9．以为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA＝2，得＝(1，1，0)，平面ABC的法向量为m＝(1，1，1)，则10．11．解：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，AB＝2，则A1(2，0，2)，E(1，0，0)，F(2，1，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，2),．设平面A1EF的法向量为m＝(x，y，z)，则．令z＝1，则x＝－2，y＝2，所以m＝(－2，2，1)．设BC1与平面A1EF所成角为，则，BC1与平面A1EF所成角的大小为．12．解：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝2，则A1(2，0，2)，E(2，1，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)．因为DD1⊥平面EBC，所以平面EBC的法向量为．设平面A1EC的法向量为m＝(x，y，z)，，则．令z＝1，则y＝2，x＝1，所以m＝(1，2，1)，．因为二面角A1－EC－B为钝角，所以二面角A1－EC－B的余弦值为．13．解：取BC的中点D，如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝BB1＝2，A，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，C1(0，－1，2)，(1)设平面AC1D的法向量为m＝(x，y，z)，，则．令z＝1，则y＝2，所以m＝(0，2，1)．设直线BB1与平面AC1D所成的角为，，则，所以AC与平面SBC所成角的余弦值为.(2)设平面ACC1的法向量为n＝(x，y，z)，则．令x＝1，则，所以．因为二面角C－AC1－D为锐角，所以二面角A－SC－B余弦值为．14．解：如图，建立空间直角坐标系B－xyz，设AB＝1，则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，S(0，1，1)．(1)设平面SBC的法向量为m＝(x，y，z)，则．令z＝1，则y＝－1，所以m＝(0，－1，1)．设AC与平面SBC所成角为，,则．AC与平面SBC所成角为．(2)设平面ASC的法向量为n＝(x，y，z)，则．令x＝1，则y＝1，所以m＝(1，1，0)，．因为二面角A－SC－B为锐角，所以二面角A－SC－B为．测试十六距离(选学)Ⅰ学习目标1．掌握点到直线距离，点到平面的距离的向量公式．2．会求两点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离．Ⅱ基础性训练一、选择题1．已知a，A，点A到平面的距离为m，点A到直线a的距离为n，则()(A)m≥n (B)m＞n (C)m≤n (D)m＜n2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M是棱A1A的中点，O是BD1的中点，则(A) (B) (C) (D)3．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则P到矩形对角线BD的距离()(A) (B) (C) (D)4．已知直线a∥平面，且a与平面的距离为d，那么到直线a的距离与到平面的距离都等于d的点的集合是()(A)一条直线 (B)三条平行直线 (C)两条平行直线 (D)两个平面5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D(A) (B) (C) (D)二、填空题6．棱长为4的正方体内一点P，它到共顶点的三个面的距离分别为1，1，3，则点P到正方体中心O的距离为______.7．线段AB在平面外，A，B两点到平面的距离分别为1和3，则线段AB的中点C到平面的距离为______．8．二面角－l－为60°，点A∈，且点A到平面的距离为3，则点A到棱l的距离为9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则直线BC到平面AB1C10．如图，正方体的棱长为1，C，D分别是两条棱的中点，A，B，M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是______．三、解答题11．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝4，点E，F分别是CC1，A1D1(1)求EF的长；(2)求点A到直线EF的距离．12．正四棱锥S－ABCD的所有棱长均为2，E，F，G分别为棱AB，AD，SB的中点．(1)求证：BD∥平面EFG，并求出直线BD到平面EFG的距离；(2)求点C到平面EFG的距离．13．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，BB1求两个平行平面AB1D1与平面BDC1之间的距离．14．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AEC1F为平行四边形且AB＝4，BC＝2，CC1＝3，(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F

测试十六距离(选学)1．C2．B3．A4．C5．B6．以共顶点的三条棱为坐标轴建立空间直角坐标系，可得点P的坐标为(1，1，3)，中心O的坐标为(2，2，2)，所以．7．1或2分A，B两点在平面同侧和异侧两种情况讨论．8．9．10．如图，建立空间直角坐标系，可得=(0，1，0)，平面ABCD的法向量为m＝(－2，2，－1)，．11．解：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(2，0，0)，E(0，2，2)，F(1，0，4)．=(0，－2，2)，所以．．所以，，即点A到直线EF的距离为．12．解：(1)因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以EF∥BD．又EF平面EFG，BD平面EFG，所以BD∥平面EFG．如图建立空间直角坐标系，则A(，0，0)，B(0，，0)，D(0，－，0)，S(0，0，)，E(，，0)，F(，－，0)，G(0，，)．设平面EFG的法向量为m＝(x，y，z)，,可得m＝(1，0，1)，，所以点B到平面EFG的距离为．即直线BD到平面EFG的距离．(2)．13．如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，B1(1，2，3)，D1(0，0，3)，C1(0，2，3)，设平面AB1D1与平面BDC1的一个法向量为m＝(x，y，z)，(－1，0，3)，＝(1，2，0)．，设x＝6，则y＝－3，z＝2，所以m＝(6，－3，2)．平面AB1D1与平面BDC1之间的距离等于点到B平面AB1D1的距离，＝(0，2，0)，所以．平面AB1D1与平面BDC1之间的距离等于．14．解：(1)如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)．设，F(0，0，z)．∵AEC1F∴，(－2，0，z)＝(－2，0，2)∴z＝2．∴F(0，0，2)．∴＝(－2，4，2)，．(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF所以设n1＝(x，y，z)．由，得设y＝1，则x＝－4，z＝－4，∴n1＝(－4，1，－4)．又∴C到平面AEC1F的距离为.

测试十七角和距离的综合运算(选学)Ⅰ学习目标会建立适当的坐标系处理角度和距离的综合问题．Ⅱ基础性训练解答题1．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝1，BB1＝2，连接B1C，过B作B1C的垂线交CC1于E，交B1(1)求证：A1C⊥平面EBD(2)求点A到平面A1B1C(3)求直线DE与平面A1B1C2．已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝，M是PB的中点。(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)求AC与PB所成的角的余弦值；(3)求平面AMC与平面PMC所成二面角的余弦值．3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，点D是A1(1)求A1B1与AC所成的角的大小；(2)求证：BD⊥平面AB1C(3)求二面角C－AB1－B的余弦值．4．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A－A1D－B的余弦值；(3)求点C到平面A1BD的距离．5．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝，M，N分别为AB，SB的中点．(1)证明：AC⊥SB；(2)求二面角N－CM－B的余弦值；(3)求点B到平面CMN的距离．6．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角E－AC－D的余弦值；(3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．测试十七角和距离的综合运算(选学)1．解：如图建立空间直角坐标系A－xyz．.，即A1C⊥BE，A1C⊥DE∵BE∩DE＝E所以A1C⊥平面EBD(2)设平面A1B1C的一个法向量为m＝(x，y，z则，，令z＝1，得m＝(0，2，1)．=(0，0，2)，所以，所求的距离为．(3)由(2)知，m＝(0，2，1)．，设与m所成角为，则．所以直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值为.2．解一：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．∵AB⊥AD，∴AB⊥底面PAD．∵AB∥DC，∴DC⊥底面PAD．∵DC平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．解二：(1)如图，建立空间直角坐标系A－xyz，P(0，0，1)，D(1，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，M(0，1，)可求出平面PAD法向量为＝(0，2，0)，平面PDC法向量为a＝(1，0，1)，·m＝0，所以平面PAD⊥平面PCD．(2)＝(1，1，0)，＝(0，2，－1)，AC与PB所成的角的余弦值为．(3)设平面AMC的一个法向量为m＝(x，y，z)，，令z＝2，则y＝－1，x＝1，所以m＝(1，－1，2)．同理