高中数学必修2模块素养评价

模块素养评价(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.已知复数z=QUOTE,则z的共轭复数QUOTE=()A.QUOTEQUOTEi B.QUOTE+QUOTEiC.QUOTE+QUOTEi D.QUOTEQUOTEi【解析】选A.因为z=QUOTE,所以z=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,所以z的共轭复数QUOTE=QUOTEQUOTEi.2.如图是国家统计局2019年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比),根据该折线图,下列结论错误的是()A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【解析】选C.对于选项A,由题干图可以看出同比涨跌幅均为正数,故A正确;对于选项B,由题干图可以看出环比涨跌幅有正数有负数,故B正确;对于选项C,由题干图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份,故C错误;对于选项D,从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快,故D正确.3.已知sinQUOTE=QUOTE,则cosQUOTE的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=2sin2QUOTE1=2×QUOTE1=QUOTE.4.设向量a=(0,2),b=(QUOTE,1),则a,b的夹角θ等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为a=(0,2),b=(QUOTE,1),所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以θ等于QUOTE.5.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进则后一球投进的概率为QUOTE,若他前一球投不进则后一球投进的概率为QUOTE.若他第1球投进的概率为QUOTE,则他第3球投进的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.分以下两种情况讨论:(1)第2球投进,其概率为QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,第3球投进的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE;(2)第2球投不进,其概率为1QUOTE=QUOTE,第3球投进的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE.综上所述:第3球投进的概率为QUOTE+QUOTE=QUOTE.6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1①D1C∥平面A1ABB1;②A1D1与平面BCD1③AD⊥平面D1DB;④平面BCD1⊥平面A1ABB1,正确的结论个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.由在正方体ABCDA1B1C1D1中,可得:在①中,因为D1C∥A1B,D1C⊄平面A1ABB1,A1B⊂平面A1ABB1,所以D1C∥平面A1ABB在②中,因为A1D1∥BC,BC⊂平面BCD1,A1D1∩平面BCD1=D1,所以A1D1⊂平面BCD1,故②错误;在③中,因为∠ADB=45°,所以AD与平面D1DB相交但不垂直,故③错误;在④中,因为BC⊥平面A1ABB1,BC⊂平面BCD1,所以平面BCD1⊥平面A1ABB1,故④正确.7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)2=c2+ab,B=30°,a=4,则△ABC的面积为 ()A.4 B.3QUOTE C.4QUOTE D.6QUOTE【解析】选C.因为(a+b)2=c2+ab,即a2+b2c2=ab.所以cosC=QUOTE=QUOTE,所以C=120°,又B=30°,所以A=B=30°.即a=b=4,故△ABC的面积S=QUOTEabsinC=QUOTE×4×4×QUOTE=4QUOTE.8.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.根据题意作出图形:已知球心为O,设过A,B,C三点的小圆的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC,延长CO1交球于点D,连接SD,则SD⊥平面ABC.因为CO1=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以OO1=QUOTE=QUOTE,所以高SD=2OO1=QUOTE,因为△ABC是边长为1的正三角形,所以S△ABC=QUOTE,所以V三棱锥SABC=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是 ()A.a为单位向量 B.b为单位向量C.a⊥b D.(4a+b)⊥【解析】选AD.因为等边三角形ABC的边长为2,=2a,所以||=2|a|=2,所以|a|=1,故A正确;因为=+=2a+,所以=b,所以|b|=2,故B错误;由于=2a,=b,所以a与b的夹角为120°,故C错误;又因为(4a+b)·=4a·b+|b|2=4×1×2×QUOTE+4=0,所以(4a+b)⊥,故D正确.10.甲、乙、丙三家企业产品的成本(单位:元)分别为10000,12000,15000,其成本构成如图所示,则关于这三家企业下列说法正确的是 ()A.成本最大的企业是丙企业B.费用支出最高的企业是丙企业C.支付工资最少的企业是乙企业D.材料成本最高的企业是丙企业【解析】选ABD.由扇形统计图可知,甲企业的材料成本为10000×60%=6000(元),支付工资为10000×35%=3500(元),费用支出为10000×5%=500(元);乙企业的材料成本为12000×53%=6360(元),支付工资为12000×30%=3600(元),费用支出为12000×17%=2040(元);丙企业的材料成本为15000×60%=9000(元),支付工资为15000×25%=3750(元),费用支出为15000×15%=2250(元).所以,成本最大的企业是丙企业,费用支出最高的企业是丙企业,支付工资最少的企业是甲企业,材料成本最高的企业是丙企业.11.如图,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,QUOTE=2bsinB,且∠CAB=QUOTE.若点D是△ABC外一点,DC=1,DA=3,下列说法中,正确的结论是 ()A.△ABC的内角B=QUOTEB.△ABC的内角C=QUOTEC.四边形ABCD面积的最大值为QUOTE+3D.四边形ABCD面积无最大值【解析】选ABC.因为QUOTE=2bsinB,所以QUOTE=2sin2B,所以QUOTEsin(A+C)=2sin2B,所以QUOTEsinB=2sin2B,所以sinB=QUOTE.因为∠CAB=QUOTE,所以B∈QUOTE,所以B=QUOTE,所以C=πAB=QUOTE,因此A,B正确;四边形ABCD的面积等于S△ABC+S△ACD=QUOTEAC2+QUOTEAD·DC·sin∠ADC=QUOTE(AD2+DC22AD·DC·cos∠ADC)+QUOTEAD·DC·sin∠ADC=QUOTE(9+16·cos∠ADC)+QUOTE×3sin∠ADC=QUOTE+3sinQUOTE≤QUOTE+3.因此C正确,D错误.12.如图,点N为边长为1的正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 ()A.直线BM,EN是异面直线B.BM≠ENC.直线BM与平面ECD所成角的正弦值为QUOTED.三棱锥NECD的体积为QUOTE【解析】选BC.对于A选项,连接BD,则点N为BD的中点,所以E,N∈平面BDE,所以EN⊂平面BDE,同理可知BM⊂平面BDE,所以,BM与EN不是异面直线,A选项错误;对于C选项,因为四边形ABCD是边长为1的正方形,所以BC⊥CD,因为平面ABCD⊥平面ECD,交线为CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面ECD,所以,直线BM与平面ECD所成角为∠BMC,因为M为DE的中点,且△CDE是边长为1的正三角形,则CM=QUOTE,所以BM=QUOTE=QUOTE,所以sin∠BMC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,C选项正确;对于B选项,取CD的中点O,连接ON,OE,则ON∥BC且ON=QUOTEBC=QUOTE,OE=QUOTE,因为BC⊥平面CDE,所以ON⊥平面CDE,因为OE⊂平面CDE,所以ON⊥OE,所以EN=QUOTE=1,所以BM≠EN,B选项正确;对于D选项,因为ON⊥平面CDE,S△CDE=QUOTE×12=QUOTE,所以,VNECD=QUOTES△CDE·ON=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,D选项错误.三、填空题(每小题5分,共20分)13.从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中,任取两张,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为________.

【解析】从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中,任取两张,样本点有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4种情况,所以这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE14.已知sin(α+β)=QUOTE,tanQUOTE=QUOTE,其中α∈(0,π),β∈QUOTE,则cosβ=________.

【解析】因为tanQUOTE=QUOTE,故tanα=QUOTE=QUOTE,又α∈(0,π),故α∈QUOTE.所以sinα=QUOTE=QUOTE,cosα=QUOTE=QUOTE.又β∈QUOTE,故α+β∈QUOTE,又sin(α+β)=QUOTE,所以α+β∈QUOTE.故cos(α+β)=QUOTE=QUOTE.故cosβ=cosQUOTE=cosQUOTEcosα+sinQUOTEsinα=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE15.已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB.则下列命题中正确的有________.(填序号)

①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD与平面ABC所成的角为45°.【解析】因为AD与PB在平面内的射影AB不垂直,所以①不成立;因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,在正六边形ABCDEF中,AB⊥AE,PA∩AE=A,所以AB⊥平面PAE,且AB⊂面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,故②成立;因为BC∥AD∥平面PAD,平面PAD∩平面PAE=PA,所以直线BC∥平面PAE也不成立,即③不成立.在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°,故④成立.答案:②④16.若△ABC的面积为QUOTE(a2+c2b2),且∠C为钝角,则∠B=________;QUOTE的取值范围是________.

【解析】因为S△ABC=QUOTE=QUOTEacsinB,所以QUOTE=QUOTE,即cosB=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,∠B=QUOTE,则QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE·QUOTE+QUOTE,因为∠C为钝角,∠B=QUOTE,所以0<∠A<QUOTE,所以tanA∈QUOTE,QUOTE∈QUOTE,故QUOTE∈QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答题(共70分)17.(10分)已知复数z=1+mi(i是虚数单位,m∈R),且QUOTE·(3+i)为纯虚数(QUOTE是z的共轭复数).(1)设复数z1=QUOTE,求QUOTE;(2)设复数z2=QUOTE,且复数z2所对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【解析】因为z=1+mi,所以QUOTE=1mi.所以QUOTE·(3+i)=(1mi)(3+i)=(3+m)+(1-3m)i.又因为QUOTE·(3+i)为纯虚数,所以QUOTE,解得m=3.所以z=13i.(1)z1=QUOTE=QUOTEQUOTEi,所以QUOTE=QUOTE;(2)因为z=13i,所以z2=QUOTE=QUOTE,又因为复数z2所对应的点在第一象限,所以QUOTE,解得:a>QUOTE.18.(12分)(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?【解题指南】(1)根据两个频数分布表即可求出;(2)根据题意分别求出甲、乙两分厂加工100件产品的总利润,即可求出平均利润,由此作出选择.【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为QUOTE=0.4;乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为QUOTE=0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525575频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为QUOTE=15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润7030070频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为QUOTE=10.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.【补偿训练】“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书),比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多,是世界上人均读书量最少的国家”,这个论断被各类媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如此之低,也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问:(1)估计在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名,求这两名读书者年龄在[30,40)的人数恰为1的概率.【解析】(1)由频率分布直方图知,年龄在[40,70)的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.750,所以,40名读书者年龄分布在[40,70)的人数为40×0.750=30(人).(2)40名读书者年龄的平均数为:25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54(岁),设中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x50)×0.03=0.5,解之得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在[20,30)的读书者有2人,记为a,b;年龄在[30,40)的读书者有4人,记为A,B,C,D,从上述6人中选出2人,共有如下样本点:(a,b),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),共有基本事件数为15个,记选取的两名读者中恰好有一人年龄在[30,40)中为事件A,则事件A包含的样本点数为8个:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),故P(A)=QUOTE.19.(12分)已知A,B,C为△ABC的三内角,且其对边分别为a,b,c.且acosC+QUOTEc=b.(1)求A的值;(2)若a=2QUOTE,三角形面积S=QUOTE,求b+c的值.【解析】(1)由acosC+QUOTEc=b,得sinAcosC+QUOTEsinC=sinB,因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC+QUOTEsinC=sinAcosC+cosAsinC,即QUOTEsinC=cosAsinC,因为sinC≠0,所以cosA=QUOTE,因为A∈QUOTE,所以A=QUOTE.(2)由(1)有S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTEbcsinQUOTE=QUOTE,bc=4,又由余弦定理得a2=b2+c22bccosQUOTE=b2+c2bc.又a=2QUOTE,所以b2+c2=a2+bc=16,(b+c)2=24,所以b+c=2QUOTE.20.(12分)从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少?【解析】(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其可能的结果组成的基本事件空间为Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.由6个基本事件组成,而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件A由4个基本事件组成,所以P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},由9个基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件B由4个基本事件组成,所以P(B)=QUOTE.21.(12分)已知向量a,