第4讲 三角恒等变换

专题二

三角函数、解三角形第4讲

三角恒等变换考向分析备考建议回归教材高频考点突破高考回眸限时训练第4讲

三角恒等变换考向分析

2023年新高考全国Ⅰ卷第8题考查三角函数正弦两角和（差）公式，余弦二倍角公式，新高考全国Ⅱ卷第7题主要考查二倍角公式，全国乙卷（文）第14题考查了弦切转化求值的问题.三角函数恒等变换在新高考全国Ⅰ卷中一般有1道客观题，侧重考查公式的记忆与熟练使用，特别是余弦二倍角公式有3个，考查能正确选择合适的公式解题．第4讲

三角恒等变换备考建议

三角函数公式众多，化简方法灵活多变，复习中要熟练掌握三角恒等变换的技巧，加深对三角公式的记忆与内在联系的理解．第4讲

三角恒等变换回归教材

【点评】本题主要是考查运用三角函数表示边长，进而结合两角和与差的关系式得到结论．第4讲

三角恒等变换高频考点突破考点一

三角函数式的求值

C

【分析】由正切二倍角公式以及两角差的正切公式求解结果．

【点评】给值求角时，注意角的范围的讨论，最好选择单调函数．

C

【点评】解答本题的关键在于根据目标消元，并注意隐含条件的挖掘．

【分析】根据给定的等式，先将题中的正切化弦，再利用两角和差的正弦公式化简，结合角的取值范围求值．

【点评】当题中正余弦与正切同时出现时，一般逢切化弦．

A

ACD

【分析】利用同角三角函数的关系，两角差的余弦公式和倍角公式计算．

AC

【分析】根据切化弦再结合两角和与差计算判断A选项，再应用二倍角余弦公式判断B选项，两角差的正切结合基本不等式可以判断C选项，根据正切值得出角的关系判断D选项．

［小结］1.给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题.2.给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，在进行角的变换时常见的解题思路：（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3.给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．

考点二

三角函数式的化简

ABC

ABD

【分析】对于A，由诱导公式及两角和的正弦公式化简求值；对于B，由二倍角公式、诱导公式化简求值；对于C，由辅助角公式化简求值；对于D，先去括号，由两角和的正切公式化简即可判断．

例9

下列选项中正确的是(

)

D

【分析】直接利用三角函数的关系式的恒等变换判断各选项．

3.化简要求使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；分式中的分母尽量不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数．考点三

三角恒等变换的综合应用

ACD

AB

【分析】运用函数的对称性的性质、单调性的定义，结合特例法、二倍角的正弦公式、降幂公式逐一判断即可．

BD

第4讲

三角恒等变换高考回眸

B

【命题立意】本题考查三角函数正弦的两角和（差）公式，余弦的二倍角公式，考查数学运算的核心素养．

D

【点评】利用半角公式求值的思路看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

【命题立意】本题考查余弦的半角公式（升幂公式），同时考查学生的运算处理能力，考查数学运算核心素养.第4讲

三角恒等变换限时训练A组

基础演练

A

【分析】将所求的式子利用两角和的正弦公式以及二倍角公式化简，拆分成两个齐次式求解即可．

D

D

【分析】根据辅助角公式化简，再根据角的范围找到和差角的关系判断各个选项即可．

A

B

C

7.（多选）下列计算正确的是(

)

ABD

8.（多选）下列四个等式中正确的是(

)

BCD

【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确答案．

B组

能力提升

BC