新教材人教A版高中数学必修第二册平面向量万能建系法 同步讲义

4、平面向量万能建系法5种常见题型

【考点分析】

考点一：常见建立坐标系方法

【题型目录】

【题型目录】

题型一：建坐标系求向量值

题型二：三角形建坐标系求向量最值问题

题型三：四边形建坐标系求向量最值问题

题型四：多边形建坐标系求向量最值问题

题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题

【典型例题】

题型一：建坐标系求向量值

【例1】如图在ABC中，NABC=90。，F为AB中点,CE=3,CB=8,AB=12,贝J∣E4∙EB=

A.-15B.-13C.13D.14

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，得到各点坐标，利用向量坐标运算法则求出M=IJ，-M

以=（-2，-弓），从而求出数量积.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,

则A(-12,0),B(0,0),C(0,8),F(-6,0),

又CE=3,CB=8,AS=12,

则CF=-JCB2+BF2=ιo>

37

即CE—FC,BPFE=-FC,

1010

则BE=8F+FE=BF+y^FC=(-6,0)+∖(6,8)=(-

77(5128、

EA=EF+FA=-CF+M=-(-6,-8)+(-6,0)=l-y,

5

928

则EB=一，---

55

【例2】已知正方形ABC。的边长为2,以8为边作正三角形COE,使得AE位于直线CO

的两侧，则AKAZ的值为（）

A.6-2√3B.6-2√2C.6+2√2D.6+2√3

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.

【详解】以A为坐标原点，以A8,A。为x,y轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图,

由正三角形CDE及正方形ABCD的边长为2可知,

C(2,2),E(∣,2+√3),

所以λb∙A⅛=(2,2)∙(l,2+G)=6+2√L

【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳

鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABcDE尸G”,其中OA=2,则以下结论错误的是()

A.√2OB+OE+C>G=0

B.OAOD=-2∙^

C.∖AG+EH∖=4

D.Ao在。〃方向上的投影向量为-也OH

2

【答案】C

【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.

【详解】由题意，分别以册IF所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系，如图所示:

由ZAOB=ZBOC=ZCOD=ADOE=ZEOF=AFOG

=ZGOH=ZHOA=≈-=45

8

过A作AMHD=OM=AM

因为。4=2,所以OM=AM=&，

所以A(-√2,-^^),8(0,-2),f(√2,√2),G(-√2,√2),D(2,0),77(-2,0)

对A选项：√∑08+OE+OG=五（0,-2）+（点,√Σ）+（-¢,71）=（0,0）=0,

故A正确，

对B选项：OA∙0O=（-√Σ）x2+卜应）xO=-2√Σ,故B正确，

对C选项：AG=（0,26,EH=（-2-丘,-五）

所以AG+EH=（0,2√Σ）+（-2-立,-√Σ）=（-2-虚,虚）

所以∣AG+EH∣=J（-2-√Σ）2+（√Σ）2=J8+4√Σ,故C不正确，

对D选项：AO=（y∕2,正）,0H=（-2,0）

所以Ao在OH方向上的投影向量为：

-0,0H∖ΘH=^YL0H=--OH,故D正确

IOH）42

【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引

葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即CE=I丈=10尺），

芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺.将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水

岸齐接的位置（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇4区AC均视为线段，

在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC∙OE=（）.

A.90平方尺B.92平方尺C.94平方尺D.98平方尺

【答案】C

【分析】设AB=X（尺），利用勾股定理可构造方程求得AB,以A为坐标原点可建立平面直

角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.

【详解】设AB=X（尺），则AC=X+1（尺），

AD=5（尺），/.52+X2=（X+1）2,解得：x=12.

以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），

则A(0,0),0(5,0),C(5,12),E(-5,12),.∙.ΛC=(5,12),DE=(-10,12),

二.AC∙DE=-50+144=94(平方尺).

【例5】己知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=∣(AS+AC),则∣Pz)I=；

PBPD=----------

【答案】(1).√5(2).-1

【解析】以点A为坐标原点，AB、AO所在直线分别为8、V轴建立如下图所示的平面直

角坐标系，

则点4(0,0)、3(2,0)、C(2,2)、D(0,2),

AP=∣(AB+AC)=1(2,0)+1(2,2)=(2,1),

则点P(2,l),∙∙.PD=(-2,1),PB=(0,T),

因此，∣P*J(_2,+12=GPBpr)=OX(—2)+lx(—1)=—1.

【题型专练】UlD

I.已知矩形ABCz)中，,q=4,k4=2,DM=3MC，BP=PC，则AM∙AP=()

A.6B.10C.14D.38

【答案】C

【分析】以B为原点，BA,BC分别为X，V轴建立平面直角坐标系，由条件得出点P,M的坐标,

进而得出向量AP,AM的坐标，从而得出向量的数量积.

【详解】以8为原点，84BC分别为x,y轴建立平面直角坐标系.

则A(0,4),r>(2,4),C(2,0)

由82=”，则尸(1，0)，由0加=3M€'，则加(2,1)

LlUilUUU

所以AP=(I,-4),AM=(2,-3)

UUUUUl

所以AM∙AP=lx2+(T)x(-3)=14

2.(多选题)已知"C是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的点,且AE=E8,

AD=2DCBD与CE交于点、O,下列结论正确的是()

A.OC+EO=OB.ABCE=O

C.∖OA+OB+OC+OD∖=>J3D.ED在BC方向上的投影为看

【答案】BD

【分析】以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求出各点坐标，用向量的线性运算、

数量积、向量的模坐标运算以及数量积的几何意义判断各选项.

【详解】因为，ABC是边长为2的等边三角形，AE=EB,

所以E为AB的中点，且CE_ZA3,以E为原点建立平面直角坐标系，如图所示：

取皿的中点G,连接GE,易得GEi且GE="。=亦,

所以aC∕X>gZ∖EGO,所以EO=CO,

对于A,OC+EO=EC≠Q,故A错误；

对于B,由48_£€^可得48・。£=0，故B正确；

对于C,OA=T-亭，OB=1,一与,OC=［岑)，OD=-ɪ,^,

所以O4+OB+OC+OO=-；，-*，

所以∣OA+O8+OC+C>4=g,故C错误；

(ɪ2出、

对十D,BC=1,>∕3j,ED=——,——,

133,

l+2

所以ED在BC方向上的投影为叩,平=3—=2,故D正确.

∣BC∣26

3.已知矩形ABa>,AB=3,AD=4.P为矩形ABCD所在平面内一点，∕¾=1,PC=2#.则

PB-PD=-

【答案】0

【分析】建立平面直角坐标系，求得点P坐标满足的关系，结合平面向量数量积的坐标运算，

即可求得结果.

则A(0,0),B(3,0),D(0,4),C(3,4),设点尸的坐标为(x,y),

贝IJPB=(3—x,—y),PD=(—x,4—y),

因为PA=I,PC=2√6,故可得χ2+y2=],(χ-3y+(y-4)2=24,

上述两式相减可得：3x+4y=∖.

则PB-PD=X2+y2=

4.如图，四边形ABC。是边长为8的正方形，若。E=Loc,且尸为BC的中点，则£4.EF

4

【分析】建立平面直角坐标系，表示出来£4，EF的坐标，然后利用坐标求数量积即可.

【详解】以A为坐标原点，以48,A。所在的直线分别为X轴，＞轴建立如图所示的平面直

角坐标系，

则A(0,0),£(2,8),F(8,4),

则EA=(-2,-8),EF=(6,T),所以E4∙EF=-2x6+(-8)x(T)=20.

5.已知向量α,b在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为1,则=

【答案】-6

【分析】根据向量的坐标运算求解即可

【详解】由图可得α=(2,l),b=(-3,0),故α∙∕,=-6

题型二：三角形建坐标系求向量最值问题

【例1】已知在边长为2的正三角形ABC中，〃、N分别为边BC、AC上的动点，且CN=BM,

则AM∙MN的最大值为()

A.--B.--C.-D.-

3334

【答案】B

【分析】建立直角坐标系由数量积坐标运算公式可得答案.

【详解】如图建系,则B(-l,0)、C(LO)、Λ(0,√3),

则BC=(2,0),CA=(-1,√3),设8M=f8C(0≤Z≤l),

则CN=tC4(0≤f≤l),则M⑵-1,0),N(l-t,y∕3t),

：.AM=(2/-1,-√3),MN=Q-3t,瓜),

：.AM-MN=(2r-l)×(2-3r)+(-√3)X(√3r)=-f>t2+4r-2=-ð(r-ɪ)2--,

33

14

当，时AM∙MM取最大值-§，

【例2】已知4Q4B是边长为1的正三角形，若点P满足OP=(2-√)0i+rQ8Q∈R),

则网的最小值为

A.y∣3B.1C.—D.—

24

【答案】C

【解析】以。为原点，OB所在直线为X轴，建立坐标系，

•.♦△Q48为边长为1的正三角形，.∙.Aɪ,ɪ,β(l,O),

0P=(2-t)0A+t0B'1+3®旦

flɪ6

AP=OP-OA-zIH-,----------------L

22,22

【例3】在RdABC中，ZC=90o,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BC上，贝IJCPBP的

最小值为()

D.-1

【答案】A

【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点尸的坐标，写出函而的坐标，利用坐标

计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果.

【详解】依题意，以C为坐标原点，分别以AC,8C所在的直线为X,y轴，

建立如图所示的平面直角坐标系，

-1O(C)1234X

则仇0,2),DQ,0),所以直线8。的方程为y=-χ+2,

因为点尸在边AC的中线8。上，所以可设P(f,2-∕)(0<∕<2),

所以CP=(f，2-t),BP=Q，-t),

所以CP∙B.=/2_«2_f)=2f2_2f=2(，_g)—ɪ,

当f=；时，CpBP取得最小值一；，

【例4】已知，ABC是边长为2"(α>0)的等边三角形,P为平面ABC内一点，则PA∙(P8+PC)

的最小值是

A.-IcTB.aC.—cι~D.—a~

23

【答案】B

【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，表示出各个点的坐标，进而利用向量数量积的坐

标运算求得PA∙(PB+PC);利用平方为非负数的特性求得最小值.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系

则PA=(-x,∙j3a-y^,PB=(-a-x,-y'),PC={a-x,-y')

所以P4∙(PB+PC)

=(-x,√3f7->J∙[(-<7-x,-y)+(α-x,-y)]

=(-Λ,6ι-y)∙(-2x,-2y)

=2x2+2y2-2y∕3ay

ɔ,Jy∣3Y32

=2x÷2V------a——a

22

所以最小值为-∣∕

【例5】在直角△ABC中，/86=90。,04=。8=1,尸为48边上的点且4「=/143,若

CPAB≥PA-PB1则2的取值范围是

A.[ɪ1]B.rɪ,ɪ^lc.f2z√lZ12∕21D.l^ɪ,l]

222222

【答案】D

【详解】分析：把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ

的取值范围.

详解：Y直角AABC中,ZBCA=90o,CA=CB=L

•••以C为坐标原点CA所在直线为X轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：

C(O,O),A(1,O),B(O,1),AB=(-1,1),

,∙'AP=入AB'

Λλ∈[O,1]

AP=Λ(-1,1),CP=(1-ΛΛ),PB=(A-IA-A).

CP∙AB≥PA*PB,

λ-l÷λ≥λ~-λ+λ2-λ.

2λ2-4λ+l<0,

解得：”也≤∕≤2Σ

22

Vλ∈[0,IJ

Λλ∈[^z2∕l,I]

2

[例6]已知AB_LAC,网=;,AC∖^t,若点P是AABC所在平面内一点，且

AB4AC

λn贝IJPB-PC的最大值等于()

M+M,

A.13B.15C.19D.21

【答案】A

【解析】以题意，以点A为坐标原点,以A6所在的直线为R轴，AC所在的直线为y轴

建立如图所示的平面直角坐标系，所以点P(l,4),B(l,0),C(OJ),所以

111/1

PB∙PC=(y-l,^)(-l√-4)=(--l)×(-l)-4×α-4)=17-^-4r≤17-2J-×4r=

13(当且仅当』=4r,即/=■!■时取等号)，所以PbPC的最大值为13.故选A.

t2

【题型专练】

1.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABe内一点，则PA∙(PB+PC)的最小值是

()

34

A.—2B.—C.—D.—1

23

【答案】B

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算

即可.

【详解】建立如图所示的坐标系，以8C中点为坐标原点，

贝IJA(0,6),B(-1,O),C(l,0),

设尸(x,y),则PA=(-x,遂-y),PB=(-1-x,-γ),PC=(I-X,-y),

贝IJPA.(PB+PC)=2X2-2√3y+2y2=2[x2+(y-

2.在，ABC中，满足ABJ.AC，M是BC的中点，若。是线段AM上任意一点，且

∣AB∣=∣ΛC∣=√2,则O4∙(OB+OC)的最小值为()

A.0B.-迫C.--D.2

22

【答案】C

【分析】由已知可得4ABe为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数

量积，进而可得最值.

【详解】由A8J.AC，∣A8∣=∣AC∣=√Σ,

.∙∖ΛBC为等腰直角三角形，

以A为原点，AB,AC为X轴和V轴建立直角坐标系,

如图所示，

ΛA(0,0),B(√2,θ),C(θ,√2),

M是BC的中点,

。是线段AM上任意一点，

可设O(X,x),0≤x≤~-,

:.OB={^J2-x,-x^,OC=卜x,-x+7∑),OA-{-x,-x),

.*.OB+OC—(—2x,—2x),

:.OA^OB+0C)=(-x)(√2-2x)+2x)=4x2-2>∕2x=4x---L

∖Z

故当x=q时，QA∙(OB+OC)的最小值为

3.在RtAgC中/。=90。,。5=2,。4=4,尸在边4(7的中线30上，则叱加的值可以为()

A.——B.0C.5D.-1

2

【答案】AB

【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，写出CABP的坐标，利用坐标

计算数量积，结合二次函数的性质，可求得CP∙BP的最值得选项.

【详解】解：依题意，以C为坐标原点，分别以AC,8C所在的直线为X,y轴，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则B(0,2),DQ,0),所以直线8。的方程为y=-χ+2,

因为点尸在边AC的中线Be上，所以可设P(r,2-r)(0<∕<2),

所以CP=(，，2-t),BP=(r,-r),

所以CPBP=产—“2—f)=2f2-2f=2,-g]—ɪ,

当/=T时，CPBP取得最小值一T，当f=2时，CPBP取得最大值4.

4.在，ΛBC中，AB=2,AC=3√2.ZBAC=135o,M是ΛBC所在平面上的动点，则

w=MA-MB+MBMC+MCMA的最小值为•

OQ

【答案】-y

【解析】以A为原点，AC所在直线为X轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐

标，设”(x,y),可得M4.用B,MC的坐标，根据数量积公式，可得W的表达式，即可求得答案.

【详解】以A为原点，AC所在直线为X轴，建立坐标系，如图所示：

因为A8=2,AC=3√2-NBAC=I35。，

所以A(0,0),β(-√2,√2),C(3√2,0),设M(x,y),

则MA=(-x,-y),MB=(-√Σ-X,√Σ->■),MC=(3√2-x,-y),

w=MAMB+MB-MC+MC-MA=x(^+x)+y(y->∕2)+

所以

(5/2^+X)(X-3Λ∕^^)+y(_y-Λ∕2*)÷x(x-3yf2y÷y~

28

=3X2-4√2x+3/-2√2y-6=3(x-+3(γ-

3

当X=2呢,y=也^时,W有最小值，且为-多，

333

5.如图，在AABC中，已知AB=2,AC=4,A=60。.若。为BC边上的任意一点，M为线

段AO的中点，则(M8+MCAAo的最大值是.

【答案】7

【分析】根据余弦定理求得ABIBC,以8为原点，BC所在直线为X轴，建立如图所示的

平面直角坐标系，求得点坐标，向量坐标，运用向量的数量积的坐标运算法则计算

(MB+MC)AD,再利用：次函数的最值，求得答案.

【详解】由余弦定理得Be?=AB?+AC2-2AC∙ABcosA=4+16-2χ4χ2χL=12,

2

AC2=AB2+BC2,:.ABlBC,

所以以B为原点，BC所在直线为X轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则

3(0,0),C(2√3,0),Λ(0,2),O(2x,0),M(Λ,1),0≤x<√3,,

MB+MC=(2^-2x,-2),AD=(2x,-2),

(MB+ΛfC)∙ΛD=2x(2√3-2x)+4=-4x2+4√3x+4=-4X-用+7,,

当X=*时，(MB+MC)∙AQ的最大值，最大值是7.

6.已知4B∙4C=0,M是BC的中点

(1)若kq=2∣AC∣,求向量AB-AC与向量AB+AC的夹角的余弦值；

(2)若O是线段AM上的任意一点，且,耳=2,4=2,求OA∙OB+OC∙OA的最小值.

【答案】⑴]3;

【分析】(1)建立直角坐标系，设出数据，写出向量AB-AC与向量A8+AC的坐标，代入

夹角公式，计算得答案；

(2)设动点。的坐标，写出各个向量的坐标，代入O4∙O8+OC∙OA计算得关于X的目标函

数，结合X的取值范围，求得最小值.

(1)

因为4B∙AC=0,所以AB/4C,

以A为原点，AB所在直线为X轴，AC所在直线为V轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

令∣AC∣=",则C(0,α),B(24,0),所以A8-AC=(2α,-α),A8+AC=(%α),

设向量48-A(j与向量AB+A。的夹角为。，

(AB-4C)∙(AB+AC)4/-"J

所以COSe=

∣AB-AC∣∙∣AB+AC∣√5α∙√5a5

(2)

因为kq=2∣4C∣=2,所以C(0,1),B(2,0),M(Iq

设Of,xe[0,l].

所以，QA∙OB+OCQ

=OA∙(OB+OC)=2OAOM

当且仅当X=J时，OA∙O8+OC∙OA取得最小值

2o

题型三：四边形建坐标系求向量最值问题

【例1】如图，在四边形ABCD中，NB=60",AB=3,BC=6,且

.3

AD=λBC,ADAB=——，则实数/1的值为，若M,N是线段BC上的动点,

2

且IMNI=1,则DMDN的最小值为.

【解析】

AD=ΛBCADHBC,ZBAD=180-NB=120，

ABAD=ΛBCAB=λ∖βc∖・网CoSI20

=Λ×6×3×-ɪ>l=—9A=—ɪ,

I2)2

解得a=!，

O

以点5为坐标原点，JBC所在直线为X轴建立如下图所示的平面宜角坐标系x5y,

BC=G,.∙.C(6,0),

∙.[Aβ∣=3,NABC=60°A的坐标为A

；又∙.∙AD=-BCMW,设M(X,0),则N(X+1,0)(其中0≤χ≤5),

6

(53⑸33⑻

DM=,DN

IX2——2,-----J---X——2,-----2---J

OM∙ON=1—|)(x—+=x2-4x+y=(x-2)2+^

所以，当X=2时，Z)M∙ON取得最小值：■.

【例2】如图，四边形ABCD满足：AB=I,AD=瓜BD=BC=2,ZC*.若点M为线段

8。上的动点，则AMCM的最小值为()

【答案】B

【分析】由题设有A。IA8、AB//DC,以A为原点，AB为X轴，4。为)，轴构建直角坐标

系，则C(2,壬)，设M(x,y),利用向量数量枳的坐标表示、结合：次函数的性质求最小值.

JT

【详解】由题意知：AB2+AD2=BD2有Af>1A8FLN4B。=],ABHDC,

以A为原点，A8为X轴，Ao为)，轴构建直角坐标系，

设点历(•”)，且满足y=JJ-JIr,点C(2,JJ),

/.AM-CM=x(x-2)+y(y-√3)=4x2-5x,其中O≤x≤l,

当X=?时，A"∙CM的最小值为一工，

o1o

【例3】已知点尸是边长为2的菱形ABC。内的一点(包含边界)，且/840=120。，AP∙AB的

取值范围是()

A.[—2,4]B.(—2,4)C.[—2,2]D.(—2,2)

【答案】A

【解析】如图建系，可求得A,B,CO的坐标，设P(x,y),则可得APMB的表达式，根据X的

范围，即可求得答案.

【详解】如图,建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2Q),C(l,6),5-1,6).

设Pay),!)l∣J-l≤x≤2,故AP∙48=(x,y)∙(2,0)=2x∈[-2,4],

即AP∙A8的取值范围是-2,4].

【例4】如图所示，已知正方形ABCD的边长为1,点E从。点出发，按字母顺序D→A→B→C

沿线段D4,AB,BC运动到C点，在此过程中丽.而的最大值是()

口

BC

A.0B.ɪC.1D.-1

【答案】A

【分析】以8为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出C、。、E点坐标，然后分类讨论E

在线段D4,AB,8C时，并结合数量积的坐标公式求z⅛.(⅛的最大值即可求解.

【详解】以8C、8A所在直线为X轴、y轴，建立坐标系如图：

可得4(0,1),B(0,0),C(l,0),0(1,1),

①当E在D4上，设E(x∣,l),其中OWXl≤1,

此时DE=(Xl-1,0)，CD=(0,1)>

故Z⅛C⅛=O:

②当E在AB上，设E(O,y),O≤yl≤l,

此时Z⅛=(Ty-I)'Cb=(0,1)

DECD=yi-i<O

此时DE-CD最大值为。；

③当E在BC上，设E(∕,0),其中O≤%W1,

Z⅛=(x2-1,-1),Cb=(0,1)，

此时z⅛∙ch>=τ,

综上所述，z⅛.c⅛的最大值是0∙

【例5】如下图，在平面四边形ABC力中，ABlBC,ADlCD,乙BCD=%,

CB=CD=26.若点M为边BC上的动点，则AM.QM的最小值为()

【答案】B

【分析】以8点为原点，以BA,BC所在的直线为X和y轴，建立平面直角坐标系，设M(OM),

得至UAM∙OW=(α-*)2+qi,即可求解.

【详解】以8点为原点，以54所在的直线为X轴，以BC所在的直线为V轴，建立平面直角

坐标系，如图所示，过点。作。P,X轴，过点。作。QLy轴，

因为AB1BC,AD1CD,NBCD=y⅛CB=CD=2√3.则ZBAD=ɪ,

所以8(0,0),A(2,0),C((),2√J),0(3,Λ^),

设"(0,α),则AM=(-2,α),OM=(-3,α-G),

所以AMgM=6+<≈(Ω-√3)=(Λ--)2+—>—.

244

Oi

所以AM∙∙DM的最小值为

4

V

【题型专练】

1.正方形AB8边长为1,点尸在线段AC上运动，则4P∙(PB+P0的取值范围为

【答案】一*

_4_

ui®/Uirιιuκ\

【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设出P点坐标，求出各点及AP(PB+尸。)的

坐标，代入所求表达式，化简后可求得取值范围.

【详解】以AB,AC为X,＞轴建立直角坐标系则，

A(0,0),β(l,0),C(l,l),0(0,1),

设P(x,力(0≤x41),则

AP=(x9x),PB=(1-x,-x),PD=(-x,l-ɪ),

,AP∙(PB+PD)=2x(1-2x)

=-4(X-+^-(O≤x≤l)»

••・当X=L时，函数有最大值为!，

44

当x=l时，函数有最小值为-2,

.∙.AP∙(P8+P0的取值范围是-2,；.

2.已知直角梯形ABC。中，AD/∕BC,Z4ZX7=90o,AD=2,BC=I,尸是腰Z5C上的动

点，则卜A+3网的最小值为.

【答案】5

【分析】以D4,OC为χ,y轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.

由题：以。AoC为χ,y轴的正方向建立直角坐标系，如图所示:

设C(0,α),P(0,6),3(lM),A(2,0),0≤h≤α.

则Λ4+3PB=(2,-b)+3(l,α-4=(5,3α-4))

∖PA+3PB∖=125+(3”4力＞5,当b=与取得最小值.

3.如图，已知正方形ABC。的边长为1,点E是AB边上的动点，求:

⑴OE∙CB的值；

⑵。E∙OC的最大值.

【答案】(1)1,(2)1

【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解.

(1)

解：建立如图所示平面直角坐标系：

贝Ij0(0,0),C(0,1),B(Ll),i5E(l,x),(0<Λ<l),

所以DE=(I㈤,CB=(I,O),

所以DE∙CB=lxl+xxθ=l;

(2)

因为DE=(I.x),OC=(0,1),

所以DE。=1x0+XXl=x,

因为O≤x≤l,

所以Z)E∙Z)C的最大值是1.

4.如图，瓦广分别是矩形ABCO的边CO和BC上的动点，且AB=2,AD=1.

（1）若E,F都是中点，求EF∙AC.

（2）若E,F都是中点，N是线段EF上的任意一点，求4V∙NB的最大值.

（3）若ZE4F=45。，求AbAF的最小值.

31

【答案】（1）-；（2）-；（3）4√2-4.

【分析】（1）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求EF∙AC.

（2）设N（X,y）,由EN=/IE户求N关于兀的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数

的性质求AN∙A店的最大值.

/ɪ

（3）设/BAP=。，则04£=45。一。，可得AF∙AE=--------------------.再应用辅助角公

COSeCOS（45°—8）

式、三角恒等变换及余弦函数的性质求4E∙AF的最小值.

y

(1)以点4为原点建系，得E(1,1),F(2,g),C(2,l),E尸=(1,一；).AC=(2,1),

3

・・・EFAC=，

2

(2)由(1)知，⅛N(x,y),EN=AEF=Λ(l,-ɪ)=(λ,­λ)=(x-l,y-∖),

：.N(∖+λ,∖--λ),Q<λ<∖,AN=(2+1,-9+1),NB=(-∕l+l,g∕l-l),

21

',∣Λ=-e[OJ]⅛,AMNB最大值不

(3)设ZR4F=e,则∠2ME=45t5-6,

2]√2

A/∙AE=|A川AqCOS45。=

cosθcos(45。一θ)2

____________y/2____________________42________

cosθ'(~CoSθ+qsin。)(cos2夕+sin夕cosθ)

=_______?_______=_________?________>___-__=4∙χ∕2-4

1+cos2θsin20J?ι—J?1,

---+^―在sin(26+45。)+L—+ʌ

222222

当且仅当28+45。=90。时6=22.5。，等号成立，故等.求最小值是4√Σ-4∙

5.如图，在梯形ABeD中，ABHCD,AB=5,4)=4,8=2,ZZMB=60°,

（1）AD-DC=.

（2）P是48上的动点，则尸C∙P£）的最小值为

【答案】411

【分析】(1)根据图形，应用数量积的定义求ADDd即可.

(2)令PA=/IBA且0W2W1,将尸C∙转化为(PA+AO+OC)∙(PA+AO),结合数量积的

运算律得到关于/1的函数，即可求最小值.

【详解】(1)由题设知：AD∙OC=|ADU。ClCoS60。=4X2X'=4.

2

(2)若「A=BBAILoW2Wl,

PD=PA+ADPC=PD+DC=PA+AD+DC

・-22

・・PCPD=(PA+AD+DC)∙(PA+AD)=PA+ADPA+DC∙PA+PA∙AD+AD+DC∙AD'

PCPD=25Λ2-30Λ+20-25(Λ-∣)2+ll,

故当2=∙∣时，Pe.尸。的最小值为11.

题型四：多边形建坐标系求向量最值问题

【例1】如图，正八边形ABeDEFGH中,若AE=ZlAC+〃AF(%〃eR),则4+〃的值为

【答案】√2

【分析】以BF所在的直线分别为"V轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心。即为

坐标原点，设4C交丁轴与Af点，由正八边形的性质可得ACLy轴，・4OM、5/OC为等腰直

角三角形，设0。=2,求出尸、A、C、E点坐标及AE、A尸、AC坐标，根据

AE=∕AC+∕MF的坐标运算可得答案.

标原点,设AC交y轴与M点，ZAoB=ACOB=NAoH=NEoD=45

ZABC=180-45=135，所以ZR4C=22.5,

ZH4C=ZHAB-ZCAB=135-22.5=112.5，所以ZHAC+ZAHO=180,

即ACj.y轴，AQM、MoC为等腰直角三角形，

设Oz)=2,OD=OF=OE=OA=OC=2,F(0,2),

所以AM=QΛ√=MC=应，所以《-五,-夜)，C(>∕Σ,-Λ∕Σ),C与E关于X轴对'称,

所以E(√Σ,√Σ),

AE=(2√2,2√2),AF=(√2,2+√2),ΛC=(2√2,θ),

由4£=24©+〃4/得(2&,20)=/1(2应,0)+“(虚,2+夜)，

2√2=2γ^Λ+√2χ/Λ=2-√2

BP-2√2=(2^),解得

A+χy=2√2-2

所以2+4=2√Σ-2+2-√Σ=Λ^^,

【例2】设点尸在单位圆的内接正八边形AA4的边A4上，则尸Ai+e√++PA；的取

值范围是.

【答案】112+2√2,16]

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，44所在直线为X轴，AA所在直

线为N轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设尸(χ,y),再根据平面向量模的坐

标计算公式即可得到PA；+PA；++PAs=8(X2+∕)+8,然后利用COS22.5≤∣OP∣≤1即可解

出.

【详解】以圆心为原点，44所在直线为X轴，AiA所在直线为y轴建立.平面直角坐标系,

如图所示:

(变电]

,A(0,-1),4,A(TO),

I2，2J7

+PAs=8(X2+∕)+8,

因为8522.5£。产区1,所以上号色≤∕+y2≤],故PA；+PA；++尸区的取值范围是

[12+2√2,16].

【题型专练】

1.已知P是边长为2的正六边形ABCDE厂内的一点，则AP乂8的取值范用是（）

A.(—2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(Y,6)

【答案】A

【解析】

AB的模为2,根据正六边形的特征,可以得到AP在AB方向」：的投影的取值范围是（-1,3）,

结合向量数量积的定义式，可知AP∙AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，

所以APAB的取值范围是（一2,6），

题型五：建坐标系设三角函数求向量最值问题

【例1】（多选题）如图，直角ABC的斜边8C长为2,ZC=30°,且点瓦C分别在X轴

正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方则（）

A.ICM+OCI有最大值也有最小值B.OA.OC有最大值无最小值

C.∣0A+8C∣有最小值无最大值D.OA∙BC无最大值也无最小值

【答案】BD

【分析】设NOC8=e,则ZAfir=α+30,(0<0<90),所以3(2Sina,0),C(0,2COSa),

A(GSin(α+30),sin(α+30)),BC=(-2sine,2cosα).由∣0A+OC『化简为

5+4sin(2α+30)根据ɑ的范围可判断A；由。4。C化简为sin(2α+30)+g根据。的范围可

判断B；由∣QA+BC『化简为4+2√Jsin(20+6())根据α的范围可判断C；山OA∙BC化筒为

l-4siι√α根据α的范围可判断D.

【详解】由题意NBCA=30,∣8q=2,NA=90,所以IACI=G,∣A却=1,设NoCB=a，

则NABO的补角即AB与X轴正半轴的夹角43x=α+30,(0<α<90),

所以A(GSin(α+30),sin(α+30)),8(2Sina,0),C(0,2CoSa),BC=(-2sina,2cosa),

所以04+OC=(ʌ^sin(ɑ+30),sin(α+30)+2cosa),

∣OA+OC∣=(后sin(α+30))+(sin(α+30)+2cosa)

=4sin2(α+30)+4cos2ɑ÷4sin(α+30)cosα

=5+4sin(2a+30),

由于O<α<90，所以30<2α+30<210,

当20+30=90得α=30时，sin(2α+30)取最大值为I,无最小值，

∣OA+OC『有最大值为4+5=9,无最小值，

故IOA+OCl有最大值3无最小值，即A错误；

所以OA-OC=2cosasin(α+30)=sin(2α+30)+工，

2

由于O<α<90，所以30<2a+30<210，

当2a+30=90得a=30时:sin（2α+30）取最大值为1，无最小值,

113

sin(2α+3。)+大的最大值为1+;=7，无最小值，

222

故OAoC有最大值I无最小值，故B正确；

∣OA+BC∣=(bsin(α+30)-2sinα)+(sin(a+30)+2cosaj

=3sin2(α+30)+4sin?a-4Gsin(α+30)sinα+sin2(α+30)+4cos2α+4sin(α+30)cosa

=4sin2(a+30)÷4-4>∕3sin(a+30)sina+4sin(α+30)cosα

=4÷2>∕3sin(2α+60),

由于O<α<90，所以60<2α÷60<240，

当2α+60=90得α=15°时，sin(2α+60)取最大值1,无最小值，

此时IoA+BC『有最大值4+2√L无最小值，

即IoA+BC∣有最大值1+百无最小值，故C错误；

OABC=-2>∕3sinasin(a+30)+2COSaSin(α+30)

=-2Gsin/3sina+，cosa+2COSal且Sina+，COSa

I22)122)

=-3sin2a-y∕3s∖nacosa+∖∕3cosasina+cos2α=-3sin2cr+cos2a

=l-4sin2a，

由于O<α<90，所以OVSinaV1,

所以-3<1-441?0<1,