2022-2023学年天津市河西区高二（下）期中数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年天津市河西区高二(下)期中数学试卷

1.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有Tnl种不同的方法，在第2类方案中有τ∏2

种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，其中N=()

n2

A.m1+m2B.mjC.D.m1Xm2

2.下列函数中存在极值点的是()

2

A.y=-B.y=exC.y=InxD.y=X2—2x

3.设随机变量X~N(2R2),P(0<X<4)=0.4,则P(X<0)=()

A.0.25B,0.35C.0.3D.0.7

4.已知P(AB)=备P(A)=|，那么P(BM)等于()

A—dB,-C-

A753J3

5.已知定义在［0,3］上的函数f(x)的图像如图，则不等式

f'(x)<0的解集为()

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(0,1)U(2,3)

6.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则

其中恰好有一个二等品的概率为()

c；

PC10C90÷C10C90rIOcOCgo

A.b∙------74-----干D.

cIOOɛiooɛioocIOO

7.函数f(x)=X3-12%在区间［-3,1］上的最小值是()

A.-10B.-11C.-15D.-18

8.已知离散型随机变量X的分布列如下，则D(X)=()

X024

11

P

421

4

A.1B.2C.3D.4

9.已知函数/(x)=x+sinx-XCOSX的定义域为［-2兀,2兀),则下列说法正确的个数是()

①f'(0)=0;

②f(x)在［0,兀)上单调递增；

③函数/'(x)有2个零点；

④f(X)有目仅有4个极值点.

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.在(2x2—£)6的展开式中，常数项是.(用数字作答

)

12.某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同的选法共有

种.

8210

13.若(X2+1)•(%—I)=α0+α1(χ-2)+α2(x—2)4---+a10(x-2),则%+a2+

…+ɑio=-

14.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率为90%,

乙厂产品的合格率为80%,在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为

;若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为.

15.关于X的方程IlnXl-ax=0在区间(0,5)上有三个不相等的实根，则实数a的取值范围是

16.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A、8、C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只

能参加一个项目.

(团)共有多少种不同的报名方法？

(回)甲必须报4项目，乙必须报8项目，那么有多少种不同的报名方法？

(回)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？

(回)每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？

(回)甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？

17.在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队.比赛实行5局3胜制.根

据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是|.

(国)求中国队以3：0的比分获胜的概率；

(EI)求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；

(回)假设全场比赛的局数为随机变量X,在韩国队先胜第一局的前提下，求X的分布列和数学

期望

E(X).

18.已知函数∕^(x)=InX-X.

(助求/(x)在点(1)(1))处的切线方程；

(团)求证:f(x)≤-1；

(团)若函数九(X)=«/(%)+ɪ(ɑ∈R)无零点，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有Tnl种不同的方法，

在第2类方案中有机2种不同的方法，

那么根据分类加法计数原理，完成这件事共有N种不同的方法，其中N=Tnl+r∏2种•

故选：A.

根据分类计数原理可解.

本题考查简单计数原理，考查学生的逻辑推理的能力，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：对于A：函数y=；在(-8,0),(0,+8)上单调递减，无极值点；

对于8：函数y=蜻在R上单调递增，无极值点；

对于C：函数y=Inx在(0,+8)上单调递增，无极值点；

对于D：函数y=X2—2x对称轴为X=1,

所以在(一8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以X=1是函数y=X2-2x的极小值点.

故选：D.

逐项分析函数的单调性，进而可得是否有极值，即可得出答案.

本题考查极值点的定义，解题中需要理清思路，属于中档题.

3.【答案】C

【解析】解：・：随机变量X〜NQO2),p(o<X<4)=0.4,

.∙.P(O<X<2)=0.2,P(X<2)=0.5,

.∙.P(X<0)=P(X<2)—P(O<X<2)=0.5-0.2=0.3.

故选：C.

根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.

本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基

础题.

4.【答案】B

【解析】解：∙∙∙P(4B)=卷P(4)=∣,

2

根据条件概率公式，可得P(B∣4)=翳=亨=J

故选：B.

根据条件概率公式P(BM)=般，可得结论.

本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：结合函数图象可知，当l<x<2时，f(x)单调递减，即/'(%)<0,

故选：B.

先找出函数单调递减的范围，即可求求解.

本题主要考查了导数与单调性关系，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为CfOO个，

其中恰好有一个二等品的事件有GlO.晞个,

根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为S型，

MOO

故选：D.

从这批产品中抽取4个，先求出事件总数，然后求出其中恰好有一个二等品的事件的个数，最后

根据古典概型的公式求出恰好有一个二等品的概率.

本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相

同，其中事件A出现机种结果，那么事件4的概率P(4)=£

7.【答案】B

【解析】解：∕,(x)=-12+3X2=3(x+2)(x-2),

当一3≤x<-2时，f'(x)>0,f(x)递增；当一2<x≤l时，f'(x)<0,f(x)递减,

所以当X=-2时f(x)取得极大值，即最大值，为/(-2)=22,

又/(-3)=15,/(l)=-5,

所以/Q)的最小值为/(1)=-11.

故选：B.

求导数f'Q)，利用导数判断/(x)的单调性，由单调性求极值，再与端点处函数值作比较，可得函

数最值.

本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，属中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由离散型随机变量X的分布列，\

ΛE(X)=0×l+2×l+4×i=2,

111

D(X)=(O—2)2X4+(2_2产X'+(4—2)2Xq=2.

故选：B.

由离散型随机变量X的分布列的性质求出X=O.1，由此能求出数学期望E(X),进而能求出方差

D(X).

本题考查离散型随机变量的分布列的性质、数学期望、方差的求法，考查离散型随机变量的分布

列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是

基础题.

9.【答案】B

【解析】解:因为/(x)=X+Sinx-XCOSX,定义域为［-2兀,2兀),

对于①：∕,(x)=1+Cosx—Cosx—x(—sinx)=1+xsinx,

所以((0)=1,故①错误；

对于②：∕,(x)=1+Cosx—Cosx—x(—sinx)=1+xsinx,

当xe［O,τr)时,f,(x)>O,/(x)单调递增，故②正确；

对于③：函数r(x)在［-2τr,2兀)上的零点为方程1+xsinx=O在［-2兀,2兀)上的根,

即方程一:=SinX在［一2兀,2兀)上的根，

作出函数y=和y=SinX在［一2兀,2兀)上的图象，如下：

所以函数y=-⅛y=SinX在［-2兀,2兀)上有四个交点，

所以方程—：=SinX在［—2〃,2兀)上又四个根，故③错误；

对于④：由③可知，/(x)有且仅有4个极值点，故④正确,

故选：B.

对于①：求导得r(x),进而可得/'(0)=1,即可判断①是否正确；

对于②：求导分析/'(X)的符号，/(X)的单调性，即可判断②是否正确；

对于③：函数f'(x)在［-2兀,2〃)上的零点为方程1+xsinx=0在［-2τr,2τr)上的根个数，可转化为函

数y=-⅛y=SinX在［-2τr,2τr)上交点个数，即可判断③是否正确；

对于④：由③可知，/(x)极值点个数，即可判断④是否正确.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

10.【答案】N

7x614

【解析】解：根据题意，原式=晅二百,

2

故答案为：,∣ξ.

根据题意，由排列组合数公式计算可得答案.

本题考查组合数公式，注意组合数公式的形式，属于基础题.

11.【答案】60

【解析】解：因为(2/一,6的展开式的通项公式为G+i=C^(2X2)6-J∙(-∣Γ=(-l)r∙26-r∙CW-

x12~3r,

令12—3r=0,可得r=4,

所以展开式中常数项为(一1)4・22.盘=60,

故答案为：60.

根据展开式的通项公式即得.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

12.【答案】60

【解析】解：由题意，先从5名同学中选择3人，共有琮=10种不同的选法，

再把选出的3人分别参加数学、物理、化学竞赛，共有心=6种不同的安排方法，

由分步计数原理，可得共有10×6=60种不同的选法.

故答案为：60.

先从5名同学中选择3人，再把选出的3人分别参加数学、物理、化学竞赛，结合分步计数原理，

即可求解.

本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

13.【答案】2555

【解析】解：令X=2,可得劭=(22+1)×(2-I)8=5,

28

令X=3,可得α0+a1+a2+.......+α10=(3+1)×(3—I)=2560,

则与+α2H-----Fa10=2560—5=2555.

故答案为:2555.

令X=1,可得劭的值，令％=3,可得劭+%+a?+∙“+即(),由此可得解.

本题考查二项式定理以及赋值法的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】0.180.86

【解析】解：在该市场中购买甲厂的两个灯泡，

恰有一个是合格品的概率为6X0.9X0.1=0.18,

若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.6X0.9+0.4×0.8=0.86.

故答案为：0.18；0.86.

根据全概率公式和条件概率公式计算即可.

本题主要考查全概率公式，属于基础题.

15.【答案】(*?

【解析】

【分析】

本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档

题.

首先，画出函数/(X)=|InXl的图象，然后，借助于图象，结合在区间(0,5)上有三个零点，进行判

断.

【解答】

解:函数〃%)=∣ln用的图象如图示:

当a≤0时，显然，不合乎题意，

当a>0时，如图示,

当％∈(0,1]时，存在一个零点，

当%>1时,/(%)=Inx,

可得g(%)=Inx-ax,(%∈(1,5])

,/、11—ax

9M=--a=

若g'(%)vθ,可得％g(x)为减函数,

若g'(%)>。，可得X<ɔg(%)为增函数,

此时/（x）必须在（1,5）上有两个零点，

fɑ（ɪ）>O

ɑΛ,∏Z≡1∏5‘I

Λ⅞（5）<0,解得可<α<∕

储⑴<O

故答案为：（警,；）.

16.【答案】解：甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A、B、C三个智力竞赛项目，每个人都要报

名且只能参加一个项目.

（国）共有34=81种不同的报名方法；

（团）甲必须报A项目，乙必须报B项目，

则有32=9种不同的报名方法；

（回）甲、乙报同一项目，则甲、乙有3种选择，丙不报A项目，则丙有2种选择，最后，丁有3种

选择，

则有3×2×3=18种不同的报名方法；

（团）每个项目都有人报名，则有《AW=竽X3X2Xl=36种不同的报名方法；

（团）甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同，

若B、C项目各有一人，有废掰=6种；

若8、C项目各有两人，有零.掰=6种，

所以共有6+6=12种不同的报名方法.

【解析】国）（团）（回）（回）结合题意，根据分步乘法计数原理，计算即可；

（回）结合题意，根据分类加法计数原理，计算即可.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

17.【答案】解：（团）中国队以3：O的比分获胜的概率为（∣）3=法.

（国）中国队在先失1局的前提下获胜有2种情况，

①中国队连赢3局：《）3=息；

②中国队在2—4局中赢2局，再赢第5局：ɛi×⅛2×1×I=⅛∣.

ɔɔɔ。乙ɔ

・•.中国队在先失1局的前提下获胜的概率为条+洸=黑.

ɪ/bb/bOZb

（团）X的可能取值为3,4,5,

P（X=3）=∣x绊亲

P（X=4）=dx∣x∣x∣+（∣）3=林，

P(X=5)=废X(Xq)2χ∣+仁χ(∣)2XIXI=部

.∙.X的分布列为:

X345

454

P51

25125T∑5

,∕∖C4.5154534

Er(Xiz)=3×-+4×-+5r×-=—.

【解析】(图)根据相互独立事件乘法公式列式计算即可；

(助根据相互独立事件乘法公