2022-2023学年江苏省扬州市重点学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市重点学校高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如果4（1,5,-1）,8（2,4,1）,C（a,3,b+2）三点共线，那么α+b=（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2%-y）。的展开式中/y的系数为（）

A.-32B.32C.8D.-8

3.已知｛五,瓦是空间的一组基底，则可以与向量M=五+邑m=五—B构成基底的向量是

（）

A.aB.bC.a+2bD.a+c

4.算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如

图1）,共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5,梁

下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则

表示的数字大于50的概率为（）

十位个位十位个位

图1图2

13C1D5

Æ----

4828

5.由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有个.（）

A.360B.192C.312D.240

6.已知P(B)=0.3,P(BM)=0.9,P(B∖A)=0.2,则P(Z)=()

A6B1CD1

7-7-

10

7.为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查

的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的常女生喜欢吃甜食的人数占女生人

数的!若有95%的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（）

2

n(ad-bc)

参考公式及数据：K2=其中n=α+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

附：P(K2≥k0)0.050.010

ko3.8416.635

A.7B.11C.15D.20

8.已知α=ln2.6,b=0.5×1.82,c=1.15,则下列排序正确的是()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列命题正确的是()

A.对于事件4,B,若AUB,且P(A)=O.3,P(B)=O.6,则P(BM)=I

B.若随机变量《〜NG，”)，P(f<4)=0.84,则P(2<f<4)=0.16

C.相关系数r的绝对值越接近1,两个随机变量的线性相关程度越强

D.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好

10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是()

A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种

C.甲乙不相邻的排法种数为72种

D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

11.已知离散型随机变量X服从二项分布B(XP),其中τι∈N*,0<p<l,记X为奇数的概

率为α,X为偶数的概率为b，则下列说法正确的有()

A.α=碍P(I-PylT+CnP3(1—p)n~3+C⅛5(l—p)n~5+•••

B.P=g,且n为偶数时，a<b

C.O<p<g时，α随着n的增大而增大

D.ɪ<p<1时，ɑ随着n的增大而减小

12.(多选)如图所示，圆锥PO中，Po为高,48为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于

2的等腰直角三角形，C为母线P4的中点，点M为底面上的动点，且。M_L4M,点。在直线PM

上的射影为从当点M运动时，()

A.三棱锥M-ABC体积的最大值为二B.直线CH与直线PA垂直不可能成立

6

C.H点的轨迹长度为TrD.4H+H。的值小于2

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知随机变量f服从正态分布NGH2),且P(f<-l)=P(f>m),贝IJ(X+m)6的展开式

中X的系数为.

14.如图，在棱长为1的正方体BCD-AlBIGDl中，E为线段的D_______c

中点，则点C到平面AECI的距离等于.

AZ-J-----Z

A.EB

15.定义在R上的奇函数/(X)满足VXeR,/(乃+/(4-乃=0,且当0<%<2时，f(x)=

x2-2x,则∑皙31/(i)I=.

16.某工厂的某种产品成箱包装,每箱100件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，

如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验

结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为P(O<P<1),且

各件产品是否为不合格品相互独立.记10件产品中恰有3件不合格品的概率为f(p),则f(p)取

最大值时，p=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.

(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？

(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？

18.(本小题12.0分)

在①a2=60,②二项式系数之和为64,③二项式系数最大项为第4项这三个条件中任选一

n2n

个，补充在下面横线中,已知(1—2x)=α0+α1x+a2x++anx(n∈N+,),,求：

(Im的值；

(2)-⅜+⅛-⅛+∙∙∙+(-l)n翁的值.

19.(本小题12.0分)

设某幼苗从观察之日起，第4天的高度为yen,测得的一些数据如表所示：

第％天1234567

高度ycm0479111213

作出这组数据的散点图发现：y(cm)与x(天)之间近似满足关系式y^bx+a.

(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于X的线性回归方程，=jχ+=

(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度

大于亍的点的个数为《，其中中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量f的分布列和

数学期望.

附：回归方程。中斜率与截距的最小二乘估计公式，分别为ς

y=lχ+6==1”;1等,α=y-

Zi=IXi-7ZX

bx

20.(本小题12.0分)

新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新

能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生

产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差(这里指质量与生产标准的差的绝对值)的

样本数据统计如表.

质量差(单位：mg)5667707886

件数(单位：件)102048193

(1)求样本平均数工的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差(这里指质量与生产

标准的差的绝对值)X近似服从正态分布N(4,d),其中(T2的近似值为36,用样本平均数工作为

”的近似值，求概率P(64<X<82))的值；

(2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产

效率的两倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015,第2条生产线出现废品的概率约为

0.018,将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现

从该企业生产的该零件中随机抽取一件.

。)求该零件为废品的概率；

(ii)若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量f服从正态分布N(出er?),则：f>(μ—σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P{μ—

2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(JU-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.

21.(本小题12.0分)

如图，在多面体ABC。EF中，侧面BCO尸为菱形，侧面4C0E为直角梯形，4C∕∕0E,AC1CD,

M,N分别为CF,AB的中点，且BC=2,AC=2DE,KCBF=60°.

(1)证明：MN〃平面ZCDE；

(2)若平面BCcFl平面ACDE,多面体HBCDEF的体积为U?,求直线MN与平面ABF所成角

的正弦值.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=sinx—aln(x+1).

(1)当α=l时，证明：当X€[0,1]时，f(x)≥0；

(2)当工€[0,兀]时，/(x)≤2e'-2恒成立，求ɑ的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：vΛ(l,5,-l),β(2,4,1),C(a,3,b+2)三点共线，

.∙.AB=λBC>λ≠0,即(1,一l,2)=4(α-2,-1,1+1),

■■λ=1,a—2=1,6+1=2,即α=3,b=1,

那么α+b=4,

故选：D.

由题意利用三点共线的性质，两个向量共线的性质，求得α和b的值，可得结论.

本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算

能力，属于中档题.

2.【答案】A

【解析】解：由题设，展开式通项为〃+1=Cζ(2x)4-r(-y)r=Cζ24-rx4-r(-l)ryr,

∙∙∙r=1时，/丫的系数为CX×23×(-1)1=-32.

故选：A.

由题设写出展开式通项4+1，进而确定Ny的r值，即可求其系数.

本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为万=五+3,q=a-b>

显然A,B,C三个选项中的向量都与河干共面，

而。选项中多了个乙无论如何，N+芸是无法用心干线性表示的.

故选：D.

根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断.

本题考查空间向量共面的充要条件，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，

第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为2,6,20,60；

第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为11,15,51,55,

所以表示不同整数的个数为8,

其中表示的数字大于50的有51,55,60共3个，

所以表示的数字大于50的概率为本

故选：B.

根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字大于

50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数数字为2或4,

当个位数字为0时，小于50000的偶数有盘尚=4×24=96个；

当个位数字为2或4时，小于50000的偶数有C/废题=144个，

所以小于50000的偶数共有96+144=240个.

故选：D.

根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数数字为2或4,结合排列、组合数的公式，即可求解.

本题考查计数原理的运用，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解：P(B)=P(A)P(B∣4)+P(A)P(BI4)，

•••P(B)=0.3,P(BM)=O.9,P(BIa)=O.2，

0.3=P(A)X0.9+[(1-P(A)]X0.2,解得P(A)=ɪ

故选:B.

根据已知条件，结合全概率公式，即可求解.

本题主要考查全概率公式，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5m(m∈N*),由题意可列出2X2

列联表：

男生女生合计

喜欢吃甜食2m4m6m

不喜欢吃甜食3mm4τn

合计5m5mIOm

K?_n(ad-bc)y2_10m×(2m2-12m2')2_Sm

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)5τn×5m×6m×4m3'

由于有95%的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，

所以3.841≤芋<6.635；解得：11.523≤5m<19.905,

因为meN*,故5nι的可能取值为：12,13,14,15,16,17,18,19,

即男生的人数可以是：12,13,14,15,16,17,18,19,

所以选项ABO错误，选项C正确.

故选：C.

设男生的人数为：5m(m∈M∙),根据题意可列出2X2列联表，由公式求出K?=军，由3.841≤

孚<6.635,求出5M的取值范围，可得答案.

本题考查卡方独立性检验，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：因为b=0.5X1.82=0,5X3.24=1.62,a=ln2.6,

令/(x)=仇X-X+I(X>1),则/'(x)ɪɪ-l=<0,

故f(%)在(1,+8)上单调递减，

所以/(2.6)V/(I)=0,即，n2.6-2.6+1<0,故》2.6V16

因为C=1.15=(1+0.1)5=C2+CXO.I)1+量(0.1)2+C,f(0.1)3+⅛(0.1)4+C寅0.1)5=1+

0.5+0.1+0.01+0.0005+0.00001=1.61051,

所以1.62>1.61051>1.6>仇2.6,即b>c>a.

故选：A.

先直接计算得b的值，构造函数/(x)="x-X+I(X>1),利用导数研究其单调性得到)2.6<1.6,

再利用二项式定理求得C的值，从而得解.

本题主要考查了三个数比较大小，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4,由于4ɑB,即4发生必定有B发生，根据条件概率的定义P(BM)=1,正确；

对于B,根据正态分布密度函数的性质知PG>4)=1-P&<4)=0.16,

.∙.P6<0)=P(ξ>4)=0.16,P(0<f<4)=1-0.16×2=0.68,P(2<f<4)=P((I<刊=

0.34,错误;

对于C，根据相关系数的性质知：IrI约接近于1,表示线性相关程度越强，正确；

对于D,残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，错误.

故选：AC.

根据统计学和概率论的相关定义逐项分析.

本题考查离散型随机变量的应用，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于4甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全

排列，有川=24种排法，A正确；

对于B,若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有*=24种排法，

故B错误；

对于C,先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有&=72种排法，

C正确；

对于。，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有点=120种排法，

甲乙丙全排列有a=6种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有华=20种，故。正确.

故选：ACD.

根据题意，由捆绑法，插空法，特殊元素优先处理法，对选项逐一判断，即可得到结果.

本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题.

I1.【答案】AC

ICrι

【解析】解：因为X〜B(n,p),所以P(X=k)=C仙(I一p)-k,k≤r^且k∈N,

对于4：由二项分布可知α=C,p(l-p)nτ+鬃p3(i-p)"-3+…，故A正确；

对于B,由P=#、j,X〜B(n[),则P(X=k)=⅛⅛k(l-∣)n^k(fc=0,l,2...n),

所以α=(犷©+鬣+…)=⅛"X2n-1=i,

fc=⅛n(Cθ+^+...)=φjl×2"→=i,

所以a=b,故B不正确，

对于C、D-.α=ɪ×[(1-p)+p]n-ɪ×[(1-p)-p]n=ɪ-(1-^p)»

当O<P<g时，α=l-∩∑⅛)2,且;—止蚪为正项且单调递增的数列，

α随着Ti的增大而增大，故C正确，

当,<p<l时，a=:—生咨，且:—&等片为摆动数列，故。不正确.

4LLLL

故选：AC.

根据二项分布的概率公式判断尔C、D,根据组合数公式判断B.

本题考查二项分布的应用，是中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：设圆锥的底面半径为R，高为田母线长为八

由已知，圆锥的轴截面为面积等于2的等腰直角三角形，

2

则其面积S=1PA-PB=^l=2,解得/=2,.∙.R=八=?/=y∕~2.

对于4项，如图，由。MJ.4M可知，点M在以OA为直径的圆上.

OA=R=√r2,二点M到平面PAB距离的最大值为;Oa=ɪ.

A

易知ISAABC=Z∙5ΔPΛB=3X2=1,故三棱锥M—ABC体积的最大值为《×1×华=42,故A正确.

NN326

对于B项，易知P。•!平面4M8,AMU平面AMB,.∙.AM1PO,

又AMlOM,0M∩P0=0,OMU平面POM,POU平面POM,

：.AM_L平面POM,又OHU平面POM,则ZM1OH,

又OHJ_PM,PMnaM=M,4MU平面P4M,PMU平面PAM,则OHI平面PaM,又PAU平面

PAM,贝IJoHjL24,

由AP4B是等腰直角三角形，可得PO=OA,即APO力为等腰三角形，连接OC,又C为PA的中点，

故PA1OC,

又OHnOC=。，OHU平面。HC,OCU平面。HC,则P4_L平面。HC,二PA_LCH恒成立，故B

不正确.

对于C项，由B项可知P4_L平面。HC,又OHJ■平面PAM,HCU平面PAM,.∙.OHlHC,

过点C且与Pa垂直的平面仅有一个，则”点的轨迹为以。C为直径的圆(除去0,C两点).

又0C=；P4=l,则“点形成的轨迹周长为兀，故C正确.

对于。项，设。H=x,x∈(0,1),由B项可知CHLPA,CHLOH,则CH=√l-x2,AH=√2-x2.

.∙.AH+H0=x+√2-x2<√-2√X2+2-x2=2，则4"+H。的值小于2,故。正确.

故选：ACD.

根据圆锥体积公式结合最值判断A选项；由已知得出矛盾判断B选项；由线面垂直得出轨迹判断C选

项；结合不等式判断最值判断。选项.

本题主要考查棱锥体积的求法，直线与直线垂直的判定，距离的求法，考查运算求解能力，属于

中档题.

13.【答案】192

【解析】解：因为随机变量服从正态分布小),且

JN©,P(f<-i)=P(f>z∏),

所以—l+m=2x；,故m=2,

二项式(X+2)6展开式的通项般+1=C^x6~k2k,

令6-k=1,可得Zc=5,

所以(X+2)6展开式中为的系数为德2$=192,

故答案为：192.

根据正态分布的性质求m,结合二项式定理展开式的通项公式求(X+m)6展开式中X的系数.

本题考查正态分布相关知识，属于中档题.

14.【答案】华

6

【解析】解：如图，以DI为坐标原点，DiA1,D1C1,DlD所在直线分

别为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系Dl-Xyz,

C(O,1,1),AI(1,0,0),Bι(l,l,0),E(l[,0),C1(0,1,0),A(LO,1),

AE=(θ,ɪ,-l),½CΓ=(-1,1,-1),

设平面AEG的一个法向量为五=(X,y,z),

曜泵。吨XL可令Z=L贝……

则元=(1,2,1),又就=(-1,1,0)，

点C到面AECl的距离d=喀=舞=挈.

ɪ∣n∣√66

故答案为：

6

以Dl为坐标原点，D1A1,D1C1,Di。所在直线分别为％,y,Z轴，建立空间直角坐标系DI-Xyz,

求得前的坐标和平面AECl的一个法向量，由向量的投影可得所求距离.

本题考查点到平面的距离的求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

15.【答案】1012

【解析】解：根据题意，f(x)为定义域为R的奇函数，则/Q)=-/(一切，

又由VXeR,/(x)+∕(4-x)=0,即f(x)=-〃4-X),

则有f(4-X)=f(x),变形可得f(X+4)=/(x),即〃x)是周期为4的周期函数，

当0<X<2时，/(x)=X2-2x,有/^(1)=-1,

又由Vx∈R,/(x)+∕(4-x)=0,令X=I可得：/(l)+∕(3)=0,则f(3)=1,

/Q)为定义域为R的奇函数，则/(0)=0,

在/0)+/(4-％)=。中，令x=0可得：/(0)+/(4)=0,即/(4)=0，

令X=2可得：/(2)+f(2)=0,则有f(2)=0,

故If(I)I+lf(2)∣+∣∕(3)∣+∣∕(4)∣=2,

故Σ普3∣∕(i)∣=505X(∣∕(1)∣+∣∕(2)∣+∣∕(3)∣+∣∕(4)∣)+∣∕(1)∣+∣∕(2)∣+∣∕(3)∣=1012.

故答案为:1012.

根据题意，利用函数的对称性分析f(x)的周期，利用特殊值法求出/(3)、/(2)、f(4)的值，即可

得If(I)I+1/(2)I+1/(3)1+∣f(4)∣的值，结合周期性分析可得答案∙

本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及函数值的计算，属于中档题.

16.【答案】ɪ

【解析】解：因为每件产品为不合格品的概率都为p(O<p<1),且各件产品是否为不合格品相

互独立，

所以10件产品中恰有3件不合格品的概率为f(p)=⅛-P3(I-P)7,

273626

则r(P)=3Cf0∙p(l-p)-7Cf0∙p(l-p)=Cf0-p(l-p)[3(l-P)-7p]

=Cio∙p2(l-p)6(3-10p)>

当0<p<磊时，/(P)>0,此时函数f(p)单调递增，

当得<p<l时，∕,(p)<0,此时函数f(p)单调递减，

故当P=K时，/(P)取最大值.

故答案为：⅛.

利用独立重复试验的概率可得出f(p)的表达式，利用导数法可求得函数/(P)取最大值对应的P值.

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)根据题意，分2步进分析：

①将7本书分为1-2-4的三组，有妗髭Cf=105种分组方法，

②将分好的3组分给甲、乙、丙三人，有房=6种情况，

则有105×6=630种分配方法；

(2)根据题意，分2步进分析：

①将7本书分为2-2-3的三组，有空盟=105种分组方法，

A2

②将分好的3组分给甲、乙、丙三人，有题=6种情况，

则有105X6=630种分配方法.

【解析】(1)根据题意，分2步进分析：①将7本书分为1-2-4的三组，②将分好的3组分给甲、

乙、丙三人，由分步计数原理计算可得答案；

(2)根据题意，分2步进分析：①将7本书分为2-2-3的三组，②将分好的3组分给甲、乙、丙三

人，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

-22

18.【答案】解：(1)若选①，因为T3=Cn(2x)=a2x,所以α⅛=(-2)2党=60,化简可得τι(n-

1)=30,且n∈N+,解得Ji=6.

若选②，贝∣j2rι=64,n=6.

若选③，贝吟+1=4,.∙.n=6.

(2)由(I)知，n=6

kk

(1-2x)6的二项式通项Tm=⅛(-2x)=akx,

所以耿=(-2)k⅛=(-l)k∙2kC^,

所以一?+费一祟+∙∙∙+(T)6等

4∙ZZZ

11223366

(-1)∙2C⅛(-1)∙2C1(-1)∙2C1,6(-l)∙2C∣

-----------t2,--L+-----L--------------------+--"--,--+---(-LF-()-----

=C+盘+以+∙∙∙+C^=26-l=63.

【解析】(1)选①，根据二项式通项列方程可解；选②，根据二项式系数和列方程可解；选③，

根据二项式系数的性质可解；

(2)先根据二项式通项表示出以，然后带入目标式由二项式系数和可得.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

1+2+3+4+5+6+7.-0+4+7+9+11+12+13C

19.【答案】解：(1)由表格数据，得£=--------q----------=4,y=--------------------------=8,

∣,∣∣∣,_l×0+2×4÷3×7+4×9+5×ll÷6×12+7×13-7×4×8_59

b222222

=12+22+3+4+5+6+7-7×4=而'

所以Q=y—bx=8—^×4=-

Zo7

所以y关于X的线性回归方程为y=^x-I

Zo7

(2)7天中幼苗高度大于亍=8的有4天，小于等于8的有3天,

从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，

所以这3个点中幼苗的高度大于亍的点的个数f的取值为0,1,2,3,

所以P(f=O)=等=募p(f=i)=等=5p(f=2)=等=隼P(f=3)=管=2

所以随机变量1的分布列为:

平「23

卜⅛⅛M

随机变量6的期望值E(f)=0x表+lx∣∣+2x∣∣+3x^=^.

［解析】(1)由y关于X的回归直线方程的计算公式求得结果；

(2)利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量f的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算

求得期望值.

本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差以及线性回归方程，属于中档题.

由X〜/V(μ,σ2),μ=70,σ2=36得：P(64<X<82)=P(70-6<X<70+2X6),

_P(μ一°<X≤μ+°)+PQL2°<X≤χ+2σ)=0g]86

(2)(i)设4="随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，

BI="随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，

B2="随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，

则由题意可知P(Bl)=P(S2)=

又P(AIBl)=O.015,P{A∖B2)=0.018,

于是P(A)=P(4∩(BlUB2))=PQAB1UAB2)=P(ABI)+P(AB2),

21

=P(BI)PG4∣Bl)+P(B2)P(∕l∣B2)=(X0.015+gX0.018=0.016.

【解析】(1)先由表格计算平均数，再根据正态分布三段区间公式计算概率即可;

(2)(i)根据全概率公式计算即可，(it)根据贝叶斯公式计算即可.

本题考查正态分布曲线的性质以及全概率公式相关知识，属于中档题.

21.【答案】证明：(1)取AC的中点G,连接NG,DG,则NG为

△ABC的中位线，才三

所以NG//BC,且NG=TBC,又DM〃Be,且DM=TBC,/：/

所以NG//DM,且NG=DM,即四边形DMNG为平行四边形，

所以MN〃DG,乂MNC平面ZCnE,DGU平面ZCDE,

故MN〃平面4CDE.

解：(2)连接CM,在菱形BeDF中NCBF=60。，则CM_LDF,CM=XΛ3.

在直角梯形ACDE中ACLCD,所以DEICz),

因为面BCDFIffifACDE,面BCDFOlHiACDE=CD,DEU面ACDE,

所以DEl平面BCDF,又CMU平面BCDF,故。EjLeM,

又。尸CIOE=O,DF,DE⊂≡DEF,所以CM，平面DEF.

连接GE,GB,因为力C=2DE,即CG=DE,旦CG"DE,

所以CDEG为平行四边形，CD//EG//BFSLCD=EG=BF,则CGB-DEF为三棱柱,

设CE=m,贝IJAC=2m,

所以三棱柱CGB-DEF的体积匕=SADEF×CM=∣×2×m×CM=√3m,

连接GF,则三棱锥F-ABG的体积瞑=gXS-BGXCM=gxSABCGXCM=gxSADEFXCM=

y∕~3

-m,

取BF中点“，连接CH,则CHICD,CH=C，

面BcZ)F_L面ACZ)E,面BCDFn面ACDE=CD,CHU面BCDF,Hl∣]CH1∣S∣ACDE,

-m,

所以三棱锥F—AGE的体积匕=gXSΔAGEXCH=i×∣×m×2×√3=~γ^

由多面体ABCoEF的体积为誓，得：qm+.7n+.m=竽，解得m=2.

综上，CA,CH,CD两两垂直，

故以乙4,CH,CD所在直线分别为％,y,Z轴，建系如图,

则C(0,0,0),4(4,0,0),8(0,口-1),0(0,0,2)，G(2,0,0),

所以宿=(-4,q,-l),正=而=(0,0,2).WM=GD=(-2,0,2)-

设平面ABF的法向量为记=(x,y,z),

I(A6-m=-4x+√-3y-Z=O

取沆=(√-3,4,0),

IBF•沅=2Z=O

所以直线MN与平面ZBF所成角正弦值为:

师•丽I_IC_y∏ΛA

Icos<m,NM>

∣7n∣∣WM∣-2√^×√T9-38

【解析】(1)取AC的中点G,连接NG,DG,易证四边形。MNG为平行四边形，则有MN〃DG,再

由线面平行的判定证结论；

(2)由题设及面面、线面垂直的性质可得CM1DF、DE1CM,线面垂直的判定有CM1平面DEF,

连接GE,GB得到CGB-OEF为三棱柱，设DE=Jn,用Tn表示多面体ABCDEF的体积求参，构建

空间直角坐标系，向量法求直线MN与平面ABF所成角的正弦值.

本题考查线面平行的判定定理，向量法求解线面角问题，向量夹角公式的应用，化归转化思想，

属中档题.

22.【答案】解：CL)证明：法一：首先证明SinX≤x,x∈[0,+∞),理由如下：

构造/(x)=S讥X-X,X∈[O,+∞),

则广(X)=cosx-1≤。恒成立，故/(x)=sinx-X在X∈[O,+oo)上单调递减，

故j(x)≤)(0)=0,所以SinX≤X,X∈[O,+∞),/(x)=sinx-In(X+1),x∈[0,1]>∕,(x)=cosx—

士=l-2si吟一士≥l-2◎一击=I-J一*≥i-∣一击(Oo

故/'(X)≥2型£;七2=≤≥ΞΞ2>O在X∈[0,1]上恒成立，

所以f(x)在[0,1]单调递增,故/(x)≥/(O)=O

法二：/(x)=SinX-In(X+1),x∈[0,1]，∕,(x)=cosx--ɪ,且/'(O)=O,

令q(κ)=f'。)=cosx-占，则q'QO=sinx+—⅛,

XI人IɪIʌJ

12

令W(X)=q'(x)=-Sinx+――ɪ,贝∣Jw'(x)=-cosx-——ɜ<。在久∈[0,1]上恒成立，

IɪIʌ-JIɪIʌJ

所以q'(x)=-S讥X+}M单调递减，

又q'(0)=1>0,其中Sinl>sin=ɪ,故q'⑴=—sinl+"<0,

故m%o∈(0,1),使得q'(%o)=0,且当％∈(O,%o)时,q'(%)>0,当%∈(%。,1)时，q,(x)<0,

所以/(%)先增后减，又f'(0)=0,f(l)=cosl-∣>0,

・・・f(x)>O在％∈(0,1)上恒成立，

所以/(%)单调递增，f(χ)>/(O)=0；

(2)法一：g(%)=2ex—2—sinx+aln(x+1),g(x)=2(ex—%—1)÷%—sinx+x—In(%+1)÷

(α+l)ln(x+1)≥0,

下证：ex—x—1≥0(x≥O),x—sinx≥0(%≥O),x—ln(x+1)≥0(%≥O),且在％=O处取

等号，

令r(x)=ex—X—I(X≥0),则r'(x)=ex-1≥0(%≥0),故r(%)=ex—x—