广东省深圳市北师大南山附属学校中学部2023-2024学年下学期九年级开学考数学试题

北师大南山附属学校中学部2023-2024学年第二学期九年级开学考数学试题一．选择题（每题3分，共30分）1．如图所示的几何体的主视图是A． B． C． D．2．方程的解是A． B． C．， D．，3．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是A． B． C． D．4．已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是A． B． C． D．，5．如图，和△是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为A．15 B．12 C．9 D．66．如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；第二步，连接分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是A．3 B．4 C．5 D．67．下列说法正确的是A．对角线垂直的平行四边形是矩形 B．方程有两个相等的实数根 C．抛物线的顶点为 D．函数，随的增大而增大8．某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是，则由题意可得方程为A． B． C． D．9．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．10．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤二．填空题（每题3分，共15分）11．已知，则．12．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．13．如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是．14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正弦值是．15．如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，则线段的长为．三．解答题（共55分）16．（9分）解方程：（1）；（2）；（3）2cos60°－sin²45°＋（－tan45°）2022．17．（6分）深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了名学生，并补全条形图．（2）“等级”在扇形图中的圆心角度数为．（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少名？（4）若从体能为等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．18．（7分）如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）．（1）求楼的高；（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？19．（7分）如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，，求的长度．20．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨，是整数）元．（1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出个台灯（用含的代数式表示）；（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？21．（9分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．012345654217（1）写出函数关系式中及表格中，的值：，，；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．22．（9分）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．①求证：；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图所示的几何体的主视图是A． B． C． D．【解答】解：由题意知，该几何体的主视图为，故选：．2．方程的解是A． B． C．， D．，【解答】解：，，或，所以，．故选：．3．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是A． B． C． D．【解答】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是．故选：．4．已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是A． B． C． D．，【解答】解：将点代入，，，点不在函数图象上，故选：．5．如图，和△是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为A．15 B．12 C．9 D．6【解答】解：和△是以点为位似中心的位似三角形，△，，△，，，，的面积，故选：．6．如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；第二步，连接分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由作法得垂直平分，，，，平分，，，四边形为菱形，，，，，，，，解得：，．故选：．7．下列说法正确的是A．对角线垂直的平行四边形是矩形 B．方程有两个相等的实数根 C．抛物线的顶点为 D．函数，随的增大而增大【解答】解：、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；、方程没有实数根，故说法错误，不符合题意；、抛物线的顶点为，正确，符合题意；、函数，在每一象限内随的增大而增大，错误，不符合题意，故选：．8．某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是，则由题意可得方程为A． B． C． D．【解答】解：该棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，且月平均增长率的百分数是，该棉签生产工厂2022年十一月棉签产值达万元，十二月棉签产值达万元．根据题意得：．故选：．9．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．【解答】解：当时，，即抛物线经过原点，故错误；反比例函数的图象在第一、三象限，，即、同号，当时，抛物线的对称轴，对称轴在轴左边，故错误；当时，，直线经过第二、三、四象限，故错误，正确．故选：．10．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤【解答】解：在正方形中，，，，，，，故①正确；，，，，故②正确；在正方形对角线上，到，的距离相等，，，，故③正确；设正方形的边长为，，当是的中点时，．由勾股定理得：，，，，，，，，，，，，，，，，，当是的中点时，，故④正确，当时，，，，，，，中边上的高与中边上的高相等，，，设，则，，，，当时，，，，，，故⑤不正确，综上所述：正确结论的序号是①②③④，故选：．二．填空题（共5小题）11．已知，则．【解答】解：由题意，设，，．故答案为：12．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．【解答】解：由题意可知：△，，故答案为：13．如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是．【解答】解：四边形为矩形，，在与中，，，阴影部分的面积，与同底且的高是高的，．矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是，故答案为：．14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正弦值是．【解答】解：如图，连接，过点作于点．．．四边形是平行四边形．．．，．．在中，，．．故答案为：．15．如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，则线段的长为．【解答】解：沿折叠，点刚好与边上点重合，，，，，，，设点的坐标是，则，，，，解得，点的坐标是，设反比例函数，，反比例函数解析式为，点纵坐标为8，，解得，即，，故答案为：．三．解答题（共7小题）16．解方程及计算：（1）；（2）．（3）2cos60°－sin²45°＋（－tan45°）2022．【解答】解：（1），，，或，解得，；（2），，，，，，，．（3）原式＝＝．17．深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了50名学生，并补全条形图．（2）“等级”在扇形图中的圆心角度数为．（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为等级的学生有多少名？（4）若从体能为等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．【解答】解：（1），所以本次抽样调查共抽取了50名学生；（2）测试结果为等级的学生数为（人；，（3）（名，所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为等级的学生有56名；（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率．18．如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）．（1）求楼的高；（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？【解答】解：（1）过点作，垂足为，由题意得：米，米，在中，，（米，（米，楼的高为110米；（2）无人机能安全返航，理由：如图：在中，，米，（米，由题意得：，，，，，，，米，无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机返航需要的时间（秒，秒秒，无人机能安全返航．19．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，，求的长度．【解答】（1）证明：在中，且，，在和中，，，，，四边形是矩形；（2）解：由（1）知：四边形是矩形，，，，，中，，，由勾股定理得：，四边形是平行四边形，，．20．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨，是整数）元．（1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出个台灯（用含的代数式表示）；（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？【解答】解：（1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出个台灯．故答案为：．（2）依题意，得：，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去），，．答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个；（3）设每月的销售利润为，根据题意得：，，取整，当时，有最大值，最大值为11890，此时售价为：（元，答：台灯售价定为59元时，每月销售利润最大．21．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．012345654217（1）写出函数关系式中及表格中，的值：，，；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．【解答】解：（1）当时，，解得：，即函数解析式为：，当时，，当时，，故答案为：，3，4；（2）图象如图，根据图象可知当时函数有最小值；（3）根据当的函数图象在函数的图象上方时，不等式成立，或．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于