数学-9.4.2 菱形（原版）

9.4.2菱形同步培优讲练综合知识点1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点2、菱形的性质1、菱形的四条边都相等；2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3、菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.知识点3、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.一、菱形性质的认识【例1】下列命题是假命题的是（

）A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．菱形的对角线垂直平分C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．矩形的对角线垂直平分【例2】下列说法正确的是（

）A．矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分；B．有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形；C．正方形具有矩形和菱形的所有性质；D．对角线相等的矩形是正方形，对角线垂直的菱形是正方形；

【例3】下列说法错误的是（

）A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形【例4】下列说法正确的是（）A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．矩形的对角线互相垂直平分C．菱形的对角线平分一组对角 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形二、利用菱形的性质求角度【例1】如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，则．【例2】如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【例3】如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则______．

三、利用菱形的性质求线段【例1】如图，四边形是菱形，，，于点，则等于（

） B． C．5 D．4【例2】如图，菱形的对角线交于点，，，于点，则．【例3】如图，，是菱形的对角线，于点，若，，则的长为A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5利用菱形的性质求面积【例1】如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形的面积为，则阴影部分的面积为．【例2】如图，菱形的对角线、相交于，点是线段的动点，连接．若，，则的最小值是．【例3】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（

）

A．24 B．48 C．72 D．96【例4】菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是（

）A． B． C． D．【例5】如图，在菱形中，点A的坐标为（0，5），点C的纵坐标为1，直线的表达式为，交y轴于点E，若．则菱形的面积为___________．．菱形的判定与性质【例1】如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是 B． C． D．【例2】如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是．

【例3】如图，在中，对角线、相交于点，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是 B． C． D．菱形的判定解答题【例1】D是的边上的一点，是边边的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接、．（1）求证：．（2）已知，，当时，四边形是菱形．【例2】如图，四边形是平行四边形，延长，，使得，连接，．（1）求证：；（2）连接，，，当时，四边形是菱形．

【例3】如图，点、分别在的边、的延长线上，且，连接、、、，与交于点．（1）求证：、互相平分；（2）若平分，求证：四边形是菱形．【例4】已知：如图菱形ABCD，点E，F分别为边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=∠B=60°．(1)求证：AE=AF；(2)如果AB=8，设BE=x，AE=y，求y与x的函数关系式和定义域；(3)在（2）的基础上，当x取何值时，与面积比值为7．【例5】如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接，．(1)求证：．

(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应t的值；如果不能，请说明理由．(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．1．菱形不具备的性质是（

）A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．对角线平分对角 D．是中心对称图形2．下列不属于菱形性质的是（

）A．四条边都相等 B．两条对角线相等C．两条对角线互相垂直 D．每一条对角线平分一组对角3．如图，菱形的周长为，对角线、相交于点O，，垂足为E，，则为（

） B． C． D．4cm4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，点B在x的正半轴上，点D是边上的一点，点E在直线上，连接，则的最小值为__________．

5．已知菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为_____________．6．如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分的面积为______．7．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作EDAB，EFAC，得到四边形EDAF，它的面积记作：取BE中点E1：作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，=____________8．如图，菱形，、分别是，上的点，，，求的度数．

9、如图，在中，点、在对角线上，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求证：四边形是菱形．10、如图，四边形中，，，于，于，连接．（1）求证：是等腰三角形；（2）若，求证：四边形为菱形．11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．(1)求证：四边形EBFD为菱形；(2)若，，求∠ABE的度数．12．如图，已知在菱形中，，点E，