湍流完整版本

湍流概论TurbulenceIntroduction粘性流体:层流和湍流层流:低雷诺数流体质点作有规则的分层运动，如果将流体着色，可以清楚地观察到流线的分布。流体动力学的研究对流体的层流运动已经有了足够的认识湍流:高雷诺数随着雷诺数的增大，会出现流体质点与周围流体混乱掺合的现象，流动的秩序消失，迹线变成极度混乱的无规则脉动。湍流理论又是物理学和流体力学历经百年而未能解决的基本问题之一。湍流的研究具有重要的理论和实际意义。

引言湍流是自然界和工程中最常遇到的一种流动现象大气、海洋飞行器、汽车、船舶环境扩散叶轮机械、化学反应

湍流是最复杂的一种流动现象时空随机性时空多尺度特征引言湍流研究进展1883年，英国科学家雷诺（O.Reynolds） 雷诺圆管实验

雷诺平均和分解 雷诺方程和雷诺应力

——开辟了湍流统计理论的道路 提出了雷诺应力的封闭问题分子运动对湍流脉动的比拟

Boussinesqe

湍涡粘度

Prandtl

混合长度近代湍流的奠基人

G.I.Taylor英国随机涡

N.Kolmogorov

苏联各向同性湍流 周培源中国湍流模式理论OsborneReynolds（1842－1912）G.I.Taylor（1886－1975）

20世纪60年代湍流研究有三个突出进展切变湍流中大尺度拟序结构的发现

Townsend和Corrsin发现切变湍流的间歇现象，推测湍流脉动中存在大尺度结构

Kline在湍流边界层中观察到重复出现的低速条带运动和猝发现象

Brown和Roshko在湍流混合层中也观察到拟序的展向涡结构

——拟序结构是湍流产生和维持的关键机制混沌现象

Lorenz奇异吸引子 混沌现象的说明有结构的不规则运动可以是确定性非线性微分方程本身的性质

——牛顿流体湍流运动是N-S方程在高雷诺数条件下的不规则解湍流的直接数值模拟 直接数值求解完整的、三维非定常的N-S方程Orzsag等(1972)年在32x32x32的网格下计算了各向同性湍流Kim,Moin,Moser(1987)槽道湍流Spalart

湍流边界层引言湍流研究的内容和手段认识湍流： 利用实验或数值模拟为某些湍流流动提供定性或定量的流动信息模拟预测湍流： 对湍流进行理论或模式研究，建立可行的数学模型来准确预测湍流控制湍流： 利用实验、理论、数值模拟等手段，研究湍流流动的控制方案减小阻力、增强混合、延迟转捩、控制分离引言雷诺圆管流动显示实验雷诺实验层流LaminarFlow湍流TurbulentFlow湍流中的涡结构EddyStructure雷诺实验流体的运动存在两种截然不同的状态：层流状态和湍流状态。在某些条件下，流动可以从层流转变为湍流，从层流向湍流的过渡称为转捩（Transition）。控制流动状态的参数为雷诺数雷诺数存在上下两个临界值

下临界雷诺数

：层流

上临界雷诺数：湍流 雷诺测得：

近代实验：雷诺实验层流在变成充分发展了的湍流之前，存在一个过渡区，其间层流和湍流间歇出现，称为为间歇区。我们把确定位置上呈现湍流的时间与总时间的比值称为间歇因子，γ=0为层流，γ=1为充分发展了的湍流，0<γ<1为过渡状态。目前还没有建立起一种理论可对转捩作出令人满意的分析和阐述。湍流的转捩和形成机理的研究是目前湍流研究的基本问题之一。

转捩观察表明，在平板前端边界层保持稳定的层流状态，见图中的区域（1）失稳后的边界层中首先出现一定频率和波长的二维行波，称为Tollmien-Schlichting波，其波长约为边界层位移厚度的10-20倍，相速度约为均匀来流速度的三分之一。在向下游传播的过程中，振幅不断增大，见图中区域（2）。波产生的原因是边界层作为剪切层，其中的涡量总是具有形成一定尺度旋涡结构的倾向，在上游这种倾向为涡量的扩散效应所抑制；随着下游边界层变厚，涡量梯度变小，扩散效应减弱，形成了这种较弱的有组织的涡结构（波），因此波也被称为涡量波。随着下游雷诺数的进一步增大，波会出现展向的涡量变化，进而发展成周期性的三维不稳定波和发卡涡（马蹄涡），见图中区域（3）。平板边界层的转捩

(1)(2)(3)(4)(5)(6)其后二次不稳定性导致小尺度高频脉动，引起三维马蹄涡的拉伸、变形和破碎，出现的向上喷射和向下清扫的现象被称为猝发，它致使层流状态迅速崩溃和湍流的发展，见图中区域（4）；在局部高强度脉动处会形成湍斑，它们是被层流包围着的局部湍流区，猝发和湍流斑的出现是随机的，见图中区域（5）。在向下游继续发展的过程中，湍斑不断扩大和合并，最后使边界层迅速进入完全的湍流状态，见图中区域（6）。转捩

(1)(2)(3)(4)(5)(6)湍流运动的基本特征湍流运动的不规则性湍流的基本特性之一是随机性（randomness）、即不规则性。这种随机性使得湍流难以在两次重复实验中得到完全相同的结果。对湍流进行重复测试，即便在同一时刻和同一空间点所测得的的瞬时流速也是不相同的。与投掷硬币十分类似。湍流具有随机性的另一层含义是：湍流在一些情况下存在拟序性，即在小尺度随机运动的背景上，存在某种非常稳定的拟序结构，但拟序结构产生的时间和空间位置却仍然具有随机性。湍流运动的不规则性

图（7.1）现实的是Re=5200的圆管湍流流动，圆管中心处流向瞬时间序列的两次测量结果。可以看出，两次采样的速度序列及不规则，速度值在一平均值附近随机涨落，且两次实验结果不重复。湍流运动的不规则性分子热运动：单个分子级别湍流是在连续介质范畴内流体微团的不规则运动，或者说它是巨量分子群的平均不规则运动湍流流动的最小时间尺度和最小空间尺度都远远大于分子热运动的相应尺度，因此湍流的不规则运动产生的质量、动量和能量的输运将远远大于分子热运动产生的宏观输运湍流场中质量和能量的平均扩散远远大于层流扩散。例如，在化学反应器中，为了加速化学反应，常常利用搅拌产生湍流以加强流动中反应物的质量扩散。不规则运动与分子热运动的区别湍流特征尺度的多重性特征尺度的多重性（multiplescales）是湍流的另一个重要特性。根据Reynoulds的观点，湍流脉动具有很宽的频谱。在湍流中，非线性机理不断产生越来越小的涡旋，形成从大到小的涡谱系。最大涡的特征尺度可以与流动域的特征尺度相当，它的结构与流动产生的外部环境密切相关。湍流中最小涡尺度称为Kolmogorov尺度，由于能量在最小涡中耗散，也称为耗散尺度。雷诺数越大，Kolmogorov尺度越小。通过对湍流进行频谱分析(spectrumanalysis)，可以得到不同湍流各自的频谱图。湍流三维涡量脉动3.湍流的第三个特性是它具有很强的三维涡量脉动（rapid3Dvorticityfluctuation）能量从大涡向小涡传递的过程，主要是通过涡管的拉伸来进行的，根据Helmholtz定律，这是只有在三维流动中才能出现的现象。如果流体运动具有随机性但没有三维涡量的脉动，则这种流动一定不是湍流。比如，在海面上随机波的运动具有明显的不规则性，但由于它是无旋的，因此随机波并不属于湍流的范畴。

湍流的扩散性4.扩散性（diffusivity）也是湍流的基本特性。在湍流中，动量、质量和热交换的速率比层流扩散（分子扩散）的速率大几个数量级，这导致了湍流的许多重要应用。象煅烧炉内湍流燃烧和传热的速率比蜡烛燃烧的层流火焰相应的速率快得多。如果一种流动只有随机性而没有扩散性，则一定不是湍流。比如，喷气飞机的凝结尾流，除了在离飞机很近的一段尾流是湍流外，其余几里长的部分直径几乎不变，没有向周围介质扩散的特性，因此不是湍流。湍流能量的强输运性5.湍流的另一个特性是能量的强输运性。湍流中能量不断地由大涡向小涡逐级输运，通过与次级尺度涡的相互作用，不断把动能传递给小尺度的涡。根据Taylor(1953)的观点，大涡向小涡输运能量的过程中，速率与大涡时间尺度l/u的倒数成正比。这里l是湍流大涡旋的尺度或积分尺度。由于大涡单位质量的动能为0.5u2，能量传输率应为u3/l。在某些剪切湍流中，也会出现能量的反向传递。湍流的耗散性6.湍流的耗散性（dissipation）。在最小尺度涡的脉动中，能量不断被粘性转换为热，从而不会进一步出现更小乃至无限小尺度的运动。为补偿粘性耗散，湍流需要不断补充能量，湍流中能量耗散率应与能量传输率相当，否则将很快衰减。常见的随机声波(噪声)也是一种随机运动，但它的粘性损耗很小，本质上是非耗散的，因此不属湍流的范畴。湍流的分类均匀各向同性湍流自由剪切湍流固壁湍流自然界和工程技术中遇到的绝大多数流动是湍流。对此可以举出许多例子，比如地球大气边界层、较高的对流层、太阳风中地球的尾迹、海洋中的水流、河流和沟渠内的水流、船舶和飞机的尾流等。根据Ferziger（1983）的建议，可将湍流大致分为：湍流的分类实际上，流动会受到固体边界等各种因素的影响，湍流运动不是各向同性的。但对于微尺度的小涡，其结构具有各向同性的特点，与流动产生的外部条件无关称为局部各向同性湍流（Kolmogorov第一假设）。1）均匀各向同性湍流湍流中小尺度涡旋运动的随机特征表明流场具有各向同性的倾向，假定流体可以向各方向无限扩展，在不存在平均速度梯度的情况下，湍流在空间的各点位置的脉动速度的统计学特征相同，称为均匀各向同性湍流，这是一种理想化的模型。湍流的分类2）自由剪切湍流剪切湍流具有平均速度梯度。射流、尾迹和自由剪切流是一种很不稳定的流动，在很宽的波数范围内，层流剪切层对小扰动尤其短波脉动是不稳定的，属于Kelvin-Helmholtz不稳定性。湍流的分类平面尾流平面射流平面剪切层湍流的分类现以平面自由剪切流的转捩来说明自由湍流产生的过程。由于脉动的三维特性，平面湍流是指平均速度意义上的平面流。在产生剪切层的后缘附近，剪切层已呈现高度的不稳定性(不稳定性)，出现的二维扰动波以很快的速率(约比边界层大40倍)增长。随着扰动的增长，非线性效应随着增强。当非线性效应起主导地位后，扰动的增长率减小，剪切层卷起，形成周期排列的展向涡列。由于次谐波的共振，原本比基波小三个数量级的次谐波迅速增大，导致相邻涡间配对现象的出现，每次配对的结果是波长和强度倍增而频率减少一半，同时伴有三维结构的产生。转捩首先从集中涡的涡心开始，迅速发展到整个剪切层。湍流边界层由内外两区组成。近壁极薄的一层内流体速度极低，这里的湍流切应力和速度脉动都很小，粘性力远大于惯性力，称为粘性底层；粘性底层外是一个过渡层，其中脉动剧烈，湍流切应力显著增大；再向外是惯性次层，其速度满足对数分布律，湍流切应力占主导地位。这三层组成湍流边界层的内区，厚度约为边界层的20%，其余部分为湍流边界层的外区。3）固壁湍流产生于固壁附近又不断受到固壁影响的湍流称为固壁湍流，是剪切湍流的一种。固壁的存在将限制或减少湍流边界层内大尺度涡结构的快速增长，致使边界层内的湍流发展较慢。由于近壁流场中一系列的猝发事件，使得固壁湍流现象更加复杂。湍流的分类湍流的统计平均方法

由于湍流运动的随机性，要准确描述和预测每一瞬时、每一空间点上的流动物理量是极为困难的。虽然湍流的瞬时流场是极不规则的，但它具有规则的统计平均特性。因此统计平均是湍流研究的重要方法，统计平均方法有很多种，在湍流研究中最常用的平均方法有三种：时间平均法空间平均法系综平均法统计理论是处理随机现象的有力工具，象投币这种具有随机性的问题，从统计分析的结果来看，正反面出现的概率是确定的。湍流运动的统计平均方法时间平均法1.2湍流的统计方法在湍流场中某一点x处，测量流动物理量

u随时间的变化，其时均值的定义为：如图7.2所示。可见在点x

处的时间平均量通常还与实行平均运算的时间区间T和该区间的起点

t0

有关，这样的结果对复杂问题的简化并未带来实际的好处。当时间区间T取得足够长，其平均值与参照时刻

t0无关，1.2湍流的统计方法以上说明，湍流的平均特性不随时间变化，则称这样的湍流为统计定常的，简称定常湍流。例如，圆管湍流中保持流量和驱动压差不变，则管内的湍流流动是定常湍流。显然，时间平均只有用于统计定常的湍流才能使问题真正得到简化。1.2湍流的统计方法空间平均法湍流的随机性不仅表现在时间上，同时也表现在空间分布上。如图7.3所示，圆管中的湍流流动，若沿圆管的轴线量测各点的轴向流速，可以发现任意时刻沿轴线的速度分布很不规则在管道轴线上取长度为L的一段，并在L上取空间平均1.2湍流的统计方法1.2湍流的统计方法L足够长时，其平均值与参照点

无关即湍流的统计特性不随轴向位置的改变而改变，则称这样的湍流在轴向是统计均匀的。严格来讲，空间平均只适用于统计均匀方向。若湍流场在空间三个方向上都是统计均匀的，则称其为均匀湍流。对于均匀湍流，流动物理量的空间平均值为其体积平均值：实际流动中，很少有完全均匀的湍流。但是有不少可以近似为均匀湍流的例子，例如风洞工作段的核心区，这里的平均流速等于常数，流动中的湍流脉动可近似为均匀湍流。1.2湍流的统计方法系综平均法对于非定常非均匀的湍流流动，则只能采用对于随机变量的系综平均法，即对重复多次的实验进行算术平均。对于某一种湍流流动，在实验室中采用相同的实验条件作大量的实验，在每一个实验中在同一位置和相应时刻测出相应物理量q的数值，将所有数值进行算术平均：式中

<q>为物理量q的系综平均值，q(i)

为第i次实验所测得的物理量的值，N为重复实验的次数。1.2湍流的统计方法各态遍历假设如果在许多个实验中或一个实验重复多次时，一个随机变量出现的所有可能状态能够在一次实验的相当长的时间或相当大的空间范围内以相同的概率出现，则称之为各态遍历的。若在N个实验中出现

之间速度值的次数ΔN；在一次实验的总历时T内出现

之间速度值的时间为ΔT；在一次实验的总体积∀内出现

之间速度值的体积为Δ∀，则各态遍历假设认为当N、T和∀足够大时，有1.2湍流的统计方法对于非定常、非均匀的湍流流场，若产生不均匀性的空间尺度kL

较湍流各态分布尺度L

大得多，kL>>L，那末在比kL

小的多的尺度L

中空间平均特性的变化可以忽略不计，只剩了湍流本身在空间分布上的不规则变化。这样就可以认为在L

尺度内湍流的变化是各态遍历的，在L

尺度内湍流是统计均匀的，因此湍流的系综平均值可以用L

尺度内的空间平均值来代替。类似地，如果不定常的时间尺度kT

比湍流的各态分布尺度T

大的多，kT>>T，可以用时间平均值来代替系综平均值，而且时均值本身在时间上可以是变化的。1.2湍流的统计方法在各态遍历假设下，时间平均值、空间平均值和系综平均值是等价的，即：我们用“<>”来代表物理量的平均值，可以是系综平均，也可代表时间或空间平均，随研究问题的不同而变化。1.2湍流的统计方法平均值和脉动值的运算法则根据以上分析，可将流动物理量q进行分解:其中q′称为流动物理量q的脉动值。由定义可知，平均值和脉动值有如下性质:(1)平均值的平均等于平均值本身(2)脉动值的平均等于零，(3)脉动量的一次式与任何平均量乘积的平均值为零，但脉动量n次乘积的平均值一般不等于零，1.2湍流的统计方法平均值和脉动值的运算法则(4)平均运算与求和运算、求导运算和积分运算可交换次序平均运动方程和脉动运动方程1.3平均运动方程和脉动运动方程本节我们以不可压缩牛顿流体的运动为例，来导出湍流的平均运动所满足的动力学方程。根据上一节介绍的统计平均方法，湍流速度和压强都可以分解为平均量与脉动量之和：这种分解是雷诺首先提出来的，称为雷诺分解。下面我们分别导出湍流平均量

<Vi>、

<p>和脉动量

Vi’、p’所满足的控制方程。1.3平均运动方程和脉动运动方程雷诺方程不可压缩牛顿流体的流动满足N-S方程和连续方程，在直角坐标系中写成分量形式为其中为

Vi

为

ei

方向速度分量，p为压力，ρ

为流体的密度，ν

为流体的运动粘性系数。1.3平均运动方程和脉动运动方程对方程(7.3.1)和(7.3.2)做平均利用连续方程，平均运动方程中的对流项的平均值遵照求导运算和平均运算可交换的原则1.3平均运动方程和脉动运动方程根据平均的性质,并考虑到雷诺分解，可得将各平均量代回平均后的运动方程，并稍加整理后可得：(7.3.3)1.3平均运动方程和脉动运动方程平均的连续方程为：方程(7.3.3)、(7.3.4)为平均运动所满足的方程，称为雷诺平均方程（或雷诺方程）。与N-S方程(7.3.1)和(7.3.2)对比，我们不难发现，除了在平均运动的方程中多了一项

外，雷诺方程和N-S方程是很类似的。雷诺方程也可写为：1.3平均运动方程和脉动运动方程其中

为表面应力项，上式表明

在方程中的作用相当于一项附加应力，我们称其为雷诺应力。雷诺应力的出现，使雷诺方程不再封闭，从而为平均运动方程的求解带来了困难。为了封闭方程，必须引入新的模型，称为雷诺应力模型，包括代数模型，一方程模型，两方程模型等。1.3平均运动方程和脉动运动方程脉动方程将N-S方程(7.3.1)、(7.3.2)和雷诺方程(7.3.3)、(7.3.4)对应相减，可得到脉动量的控制方程。通常质量力是确定性的，即

，经过简单的代数运算，很容易得到脉动量的控制方程如下：式(7.3.5)和式(7.3.6)分别为脉动所满足的运动方程和连续方程。在脉动运动方程中也出了雷诺应力项

，也是不封闭的。例子无限大平行平板间的Couette湍流充分发展层流流动与湍流的区别例子层流的动量方程湍流的动量方程：一次积分后得到一次积分后得到例子粘性切应力：层流的(速度梯度)处处是不变的，湍流平均流的粘性切应力和雷诺应力均随坐标而变化，但两者之和处处是一常数，等于粘性切应力在板面的值雷诺切应力总切应力平均流切应力例子速度分布：层流的速度呈线性分布湍流由于剧烈的动量交换，平均流的速度不再是线性分布湍流层流湍流场中的相关特性相关特性相关特性雷诺应力的出现表明脉动速度Vi’和Vj’

乘积的平均具有重要的物理意义。作为随机量，得到脉动速度和之间直接的函数对应关系几乎是不可能的，但可以确定它们彼此间存在的相关程度。

称为Vi’和Vj’间的相关函数，它反映了两个随机函数之间的相似程度。>0称为正相关，<0称为负相关，=0称为不相关。相关特性统计理论中定义两个脉动量的相关系数为R=1、-1称为完全相关。不难理解，每个脉动量与自己是完全相关的。研究相关函数的特性使我们有可能对湍流场进行描述和分析。

相关特性以二阶时间相关为例，引入统计理论中一些十分重要的相关量1.相关(correlation)2.自相关(autocorrelation)τ为相关的延迟时间。描述了同一个脉动量在同一位置不同时刻的相关。相关特性3.协方差(covariance)4.方差(variance)5.均方和均方根

RMS(root-mean-square)描述了同一个脉动量在同一位置同一时刻的相关，它的值总是大于零，相关系数为一。相关概念的应用A湍流度定义是三个方向上脉动速度均方根与平均速度均方根之比，它反映了湍流脉动的强弱。在风洞中，来流速度为V∞沿x方向，湍流度定义为相关概念的应用B自相关系数：把（2）自相关函数无量纲化得到对它求τ的积分得到一个具有时间量纲的量称为湍流的拉格朗日积分时间尺度(Lagrangianintegraltimescale)，表示联系着脉动速度u’的最长平均时段。相关概念的应用在湍流实验和DNS的数据分析中，常常进行同一时刻不同位置脉动量的相关分析(空间相关)将其沿径向进行积分得到的具有长度量纲的量称为湍流的欧拉积分长度尺度(Eulerianintegrallengthscale)，它表示两点的脉动速度发生相关的最大平均距离，也表征了湍流结构的某种特征尺度，这里它反映的湍流中最大涡的尺度相关概念的应用更复杂的情况是在不同位置和不同时刻来测量脉动速度u1’和u2’，所得到的相关函数既与空间距离有关又与时间间隔有关。以平板湍流边界层为例，图中的三条曲线分别代表了在离壁面不同距离和在不同时刻测量得到的脉动速度的相关函数。雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程雷诺应力的物理意义任取一微元控制体，如图7.4所示。不失一般性，我们考虑单位时间内通过法向量为

的单位面积的动量通量，

是通过该表面的质量通量，这部分质量通量携带的动量为：该动量通量的平均值以上动量通量的平均值1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程图7.4说明雷诺应力意义用图即湍流运动动量通量的平均值=平均运动的动量通量+

脉动动量通量的平均值1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程将(7.4.1)式的

用任意方向

取代，则一般的平均动量通量满足因此雷诺应力可理解为脉动动量通量的平均值，是湍流脉动对动量输运的平均体现。雷诺应力

构成二阶的对称张量，共有六个独立的分量。在直角坐标系中，其分量形式可写为其中对角线上的元素称为雷诺正应力，非对角线上的元素称为雷诺切应力。1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程(1)湍流平均运动中，雷诺应力往往远大于分子粘性应力。(2)分子运动的特征长度是分子运动平均自由程，它远远小于流动的宏观尺度，而湍流脉动的最小特征尺度仍属于宏观尺度范围内。(3)湍流脉动产生的平均动量通量（即雷诺应力）和其它湍流输运现象与分子热运动产生的粘性应力和分子输运过程的物理机制不同。离散分子之间的动量交换主要是相互碰撞作用，湍流中流体质点的脉动既要受连续方程制约，又要满足宏观的动量平衡方程（N-S方程），流体质点之间相互作用比离散分子之间的相互作用要复杂得多。特别是，湍流脉动具有多尺度性，流体质点之间存在多尺度的非线性相互作用。在湍流平均运动中附加的雷诺应力和流体分子运动的宏观粘性应力有着本质的区别：雷诺应力和湍动能的运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程由脉动运动方程(7.3.5)可知

Vi'所满足的方程所满足的方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程上式右端最后一项为脉动量与平均量的乘积，取平均后为零。分别对方程右端的前三项进行分析简化。代入(7.3.4)取平均得1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程(7.4.8)可简写为1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程在讨论雷诺应力输运过程以前，我们先推导出湍动能的输运方程。由于湍流运动动能的平均值等于平均运动的动能和脉动运动动能平均值之和，即将脉动运动动能的平均值定义为湍动能，记为k湍动能k的输运方程可由雷诺应力的输运方程作张量收缩运算得到。根据脉动运动的连续方程可知k的输运方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程雷诺应力和湍动能的运输过程在湍动能输运方程左端，Dk/Dt

是湍动能在平均运动轨迹上的增长率，它与产生项、扩散项和耗散项相平衡。（1）产生项即产生项

为雷诺应力与平均运动变形率的乘积。下面我们以为例来说明雷诺应力是如何通过平均运动变形对湍动能产生贡献的。如图7.5所示，在平均运动角变形过程中，雷诺应力作的功为。1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程因此

扩散项

由三部分组成：由脉动压力和脉动速度相关

产生的扩散，称为压力扩散项；由湍流脉动速度三阶相关

产生的扩散，称为湍流扩散项，它是由湍流脉动

的不规则运动携带的脉动动能的平均值；由分子粘性产生的湍动能的扩散，

，称为粘性扩散项。这三项可分别理解为由于脉动压力、雷诺应力和粘性应力所做的功在空间分布不均匀而引起的湍动能在流场内的传递。（2）扩散项1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程耗散项ε总是大于零的，在湍动能方程中这一项的贡献为−ε，它总是使湍动能减少，所以也称其为湍动能的破坏项。（3）耗散项综合以上分析，我们可以看到，流体质点湍动能的增长率主要来源于产生项。在均匀湍流中，平均运动的变形率为零，因此湍流一定是衰减的。因为均匀湍流中所有统计量的空间导数等于零，这时湍动能输运方程简化为：1.4雷诺应力和雷诺应力运输方程理解了湍动能的输运过程，就比较容易了解雷诺应力的输运过程。由雷诺应力的输运方程(7.4.9)，雷诺应力在平均运动轨迹上的增长率和产生项、扩散项、再分配项以及耗散项之和平衡。其中产生项、扩散项和耗散项的作用与湍动能的输运过程类似，我们这里主要对再分配项的作用进行讨论。对于不可压缩流体湍流运动，由于

，因此对再分配项下标收缩后可得

，说明它对湍动能的增长率没有贡献，而只在湍流脉动各速度分量之间起调节作用。比如说，在没有平均速度变形率和湍流扩散的湍流场中，若某一速度分量

远远大于另外两个分量

，这时通过再分配项就会产生一种能量转移，使

能量的一部分转移到

或

中，从而使各雷诺应力分量最终达到平衡状态，而保持

的总和不变。湍流模型湍流模型一、涡粘模式

零方程模型一方程模型两方程模型二、二阶封闭模型（即雷诺应力方程模型）1.5湍流统计方程的封闭形式一、涡粘模式（a）涡粘假设

Boussineq(1877)提出了涡粘假设。他把湍流中流体微团的脉动比拟为分子的热运动，流体微团的平均速度比拟为分子的宏观平均速度，湍流脉动产生的平均动量输运比拟为分子热运动产生的平均动量输运。分子热运动产生的平均动量输运等于宏观的粘性应力，而湍流脉动产生的平均动量输运等于雷诺应力。因此，根据Boussineq的比拟思想，由湍流脉动产生的雷诺应力的封闭关系式应当和分子运动产生的粘性应力有类似的形式，根据不可压牛顿流体的本构方程(1.4.10)，通过将雷诺应力

比拟为粘性应力

、湍流流动的平均速度

比拟为流体的宏观速度

，Boussineq提出了如下的涡粘模式1.5湍流统计方程的封闭形式其中称为涡粘系数，

为平均运动的变形率张量，k为湍动能。将涡粘假设(7.5.1)式带入雷诺方程(7.3.3)可得如果定义

为有效粘性系数，分别以

和

代替N-S方程中的

Vi

、ν和p，则方程与N-S方程有相同的形式。如果给出了T，νeff

的表达式，平均运动的方程就封闭了。1.5湍流统计方程的封闭形式（b）混合长模式对简单的平衡湍流(Pk

≈ε)，我们可以通过量纲分析导出

νT的一般表达式。首先

νT

应可表达为湍流脉动的特征速度u和特征长度l的乘积代入涡粘假设(7.5.1)式中可得由(7.4.10)式湍动能产生项的表达式，可以得出1.5湍流统计方程的封闭形式上式说明只要得到湍流脉动特征尺度的表达式，就能得到涡粘系数的表达式。这种简单的代数形式的涡粘模式称为Prandtl

混合长度模式。更普遍的形式是1.5湍流统计方程的封闭形式湍流的实验数据表明，湍流脉动的特征长度与湍流平均流场的剪切变形有关，不同的湍流场中，l具有不同的分布规律。在固壁附近l~κy，其中y为离壁面的垂直距离，κ=0.4~0.41为卡门常数；在湍射流或其它无界的自由切变湍流中l~δ，δ为自由切变层的特征厚度。与Boussinesq的假定相比，混合长度理论并没有把对湍流的认识向前推进一步，但却为从实验上确定湍流粘性系数提供了思路。1.5湍流统计方程的封闭形式零方程模型：Baldwin-Lomax模型（1978）在壁面相邻区，将湍流粘性系数假设为（朱自强“应用计算流体力学”P130）其中，为衰减的尺度因子，而

1.5湍流统计方程的封闭形式壁面衰减模型：VanDriest其中1.5湍流统计方程的封闭形式（c）一方程模型一方程模型是普朗特在1945年建立的，它增加了一个湍动能K的模型输运方程。一方程模型计算量比较少，比较经济，能较好的处理壁面，可以用较粗的网格；一方程模型的缺点与零方程模型类似，需要预先给出湍流的特征长度；模型用于具有较小分离区的外流计算，比如多段翼型和后体等绕流，结果是较好的。1.5湍流统计方程的封闭形式Spalart&Allmaras（1992）一方程模型减缓了在定义涡粘性系数时需要给出特征长度的困难。然而关于输运方程某些项的确定仍然需要凭经验给定湍流的特征尺度，它与到壁面的距离有关。其中的涡粘系数由下式给出专门为涉及固壁束缚流动的航空航天应用而设计已表明对具有逆压梯度的边界层流动，能够得出较好的计算结果1.5湍流统计方程的封闭形式(d)、两方程模型：k−ε

模式涡粘模式的关键是确定合理的湍流脉动的特征长度l。在上面介绍的混合长模式中，l是由实验结果作最佳拟合得到的，它们显然是经验性的，很难推广到比较复杂的湍流流动中去。事实上，湍流脉动的特征长度是各种尺度的脉动成分的平均值，通过对湍动能输运机制的研究，我们可以对l做更好的近似。一方面湍动能的输入主要来自平均流场，属大尺度脉动，或者说大尺度脉动占有湍动能的绝大部分；另一方面湍流耗散主要产生在小尺度脉动，或者说小尺度脉动占有绝大部分的耗散率。因此，湍流脉动长度尺度