2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1.已知集合A={O,1,2},B={-l,0,l},则AUB=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】D

【分析】利用集合的并集运算求解.

【详解】解：因为集合A={0,l,2},β={-l,0,l},

所以AUB={T,0,1,2},

故选：D

2.已知命题0:3x>5,2x?-x+l>0,则一1P为()

A.VΛ≤5,2X2-X+1≤0B.∀x>5,2x2-x+l≤0

C.3X>5,2X2-X+1≤0D.Ξr≤5,2x2-x+1>0

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定为特称命题，否量词，否结论即可得解.

【详解】命题p：3x>5,2χ2_》+1>。的否定r?为：VX>5,2χ2-x+l≤0,

故选：B.

3.已知角α为第一象限角，且sin>cosu,则Sinq的取值范围是()

23722

A.管)B,(-ɪ,-f)C,[θ,f)D∙F

【答案】A

CfCI

【分析】先确定券的取值范围，由此求得Si吟的取值范围.

【详解】由于角α为第一象限角，

TT

所以2kπ<a<2kπ+—,&∈Z,

2

CCTT

所以E<—<攵兀+一,Z∈Z,

24

由于si∏4>cos4,所以2∕π+π<4<2∕Zπ+2,/∈Z,

2224

所以-—<sin-<0∙

22

故选：A

4.已知向量α=(l,x),⅛=(x,4).则'"=2”是“〃〃/'的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用向量平行的坐标表示判断即可.

【详解】若χ=2,贝心=(1,2),b=(2,4),.∙/=2d,则

若CI〃b，则X?=4,解得X=±2,

，“x=2”是““〃方”的充分不必要条件，

故选：A.

5.已知角α的顶点在原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点

(Jsy

P--—,/«,贝!∣sina=()

\7

A.-更B.好C.-迈D.空

5555

【答案】C

【分析】因为点P-乎,加)在单位圆上，且终边在第三象限确定加唯一，根据三角函数求解.

【详解】.P-加)在单位圆上即+m2=1Tn2=l-ɪ=w-±

终边在第三象限所以加<(),?”=-冬£,所以尸

5I55J

所以Sina=山=-2小.

5

故选：C

6.已知”、b、ceR,下列命题：①若α>b,W1Jac2>bc2;②若a>b>0,贝∣j'<l;③若∙^>0,

aba

则而>0；④若a>b>c,则∣a+U>∣b+c∣淇中正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】利用特殊值判断出错误的命题，利用差比较法、不等式的性质等知识确定正确答案.

【详解】①，^a>b,c=O,则％=历，所以①错误.

②，若a>b>O,=所以②正确.

③，若2>0,即凡。同号，所以必>0,所以③正确.

a

④,若a>b>c,如α=0,b=-l,c=-2,则∣α+@<∣b+c∣,所以④错误.

所以正确的个数是2个.

故选：B

7.法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），己知塔高21加，底宽34〃?，则塔身的

表面积（精确到0.0I/）是（）（可能用到的参考数据：272=729,342=I156）

A.3674.52/w2B.2993.26M

C.1837.26，/D.I682.26TM2

【答案】C

【分析】由题意可得正四棱锥的底面边长与高，代入棱锥表面积公式求解.

【详解】如图，正四棱锥尸-ABC。，Pol底面ABCr>,PO=2∖m,AB=34m,

则AO=半AB=17&m，所以AP=JAO"O=TiU历1，

作PEVAB,则PE=JAP2-（ɪAB）2=√730m

所以该塔身的表面积S=4x；ABXPE=68√755:≈1837.26«?

故选：C.

8.设向量”,b满足卜∣=2,W=1，若于eR,W+词<卜+0,则向量α与/7的夹角不等于()

A.30oB.60oC.120oD.150°

【答案】C

【分析】利用向量数量积的运算律将模长的平方写为向量的平方，结合一元二次不等式在实数集上

有解求解即可.

【详解】设向量α与。的夹角为0,^∈[0,π],

由向量数量积的运算律可将原问题转化为3∕∈R.(。+th]<(α+b],

即a+2ta-b+t2b'<a+2a-b+b'<根据题意整理得『+4∕cosJ-4cose-1<0有解,

所以△=(4COSey-4(-4COSe-I)=I6cosZ0+16cos6^+4=4(2cos6^+l)2>0,

解得6*120。，

故选：C

二、多选题

9.已知复数Z==，则下列结论中正确的是()

1-1

A.z对应的点位于第二象限B.[的虚部为2

C.∣z∣=√5D.zz=5

【答案】CD

【分析】利用复数的乘除运算、模运算，以及复数的几何意义求解.

3+i(3+i)(l+i)2+4i

=l+2i

【详解】T≡Γ-(l-i)(l+i)^2所以z=1+2i,

Z对应的点。,2)位于第一象限，A错误;

z=1-2i的虚部为-2,B错误;

IZl=JI+4=#,C正确；

zz=(l+2i)(l-2i)=l+4=5,D正确，

故选:CD.

γ~V<0

10.已知函数/(X=；一'则下列结论中正确的是()

[-x2,X>0,

A./(拉)=2B.若/(加)=9,则加:≠±3

C.f(x)是奇函数D.“X)在上R单调递减

【答案】CD

【分析】根据分段函数函数值的计算及性质分别判断.

【详解】A选项：/(√2)=-(√2)2=-2,A选项错误；

B选项：当机>0时，f(m)=-m2=9,无解，当机<0时，f(m)=m2=9,m=-3,B选项错误；

C选项：当x>0时，-x<0,f(-x)=(-Λ)2=X2=-f(%)>当x<0时，一x>0,f(-x)=-X2=-/(ɪ)»

且〃O)=0,所以函数f(x)为奇函数，C选项正确；

D选项：当x≤0时∙，/(H=/,在,0]上单一调递减,且"0)=0,当x>0时，〃力=一μ,在(0,+功

上单调递减，且/(x)<0,所以/(x)在上R单调递减，D选项正确；

故选：CD.

11.如图，在正方体A88-A4GA中，E,F,G分别是棱84，B1C,,GA的中点，则()

A.点、F在平面AE。内B.BC1//平面AEDi

C.点G在平面AEA内D.点G在平面AEQ内

【答案】AB

【分析】连接EF、BQ根据正方体的性质可得AQ//BG，即可得到Ba〃平面AS，，再根据中位线

的性质及平行公理得到EF//AA，即可得到E、F、5、A四点共面，从而得解；

【详解】连接EF、BR,在正方体ABa)-ABcR中，AB∕∕CtDtg.AB=C1D1,

所以四边形ABCA是平行四边形，所以AA//BG,ARU平面AER,8(^0平面AEA，所以Ba〃

平面A故B正确；

又EFHBC∖,所以E尸〃A%,所以E、尸、R、A四点共面，即点尸在平面AEA内，故A正确；

再连接尸A,显然G不在平面AE尸2,故D错误；

由Be〃平面AE?,可知点G不在平面AE?内，故C错误；

aB

故选：AB.

12.已知向量α=(l,-2),⅛=(2,1),记向量α,〃的夹角为仇则()

A.%>2时。为锐角B.卜2时6为钝角

C.4=2时。为直角D.无义使6为零角

【答案】ACD

【分析】根据向量的数量积的正负，结合向量共线的坐标运算，即可得答案.

［详解］a∙b=λ-2>a∕∕ba>—22=1A=——,

对A,2>2nα∙b>0,。为锐角，故A正确；

对B,λ<2=>ab<0,当∕l=-g时，。为平角，故B错误；

对C,Λ=>2=>a∙⅛=0.。为直角，故C正确；

对D,因为。〃6。-22=1=2=-；,此时α与。夹角为平角，

故不存在4,使得。为零角.故D正确;

故选：ACD

三、填空题

13.计算：log2sinɪ+log2cosɪ=.

【答案】-2

【分析】根据给定条件利用对数运算法则，二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值计算作答.

2

［详解】log2sinɪ+Iog2cosɪ=Iog2(sin-ɪcosɪ)=log^ɪsinɪ)=log,2^=-2.

1212121226

故答案为：-2

14.已知复平面内的向量CM,AB对应的复数分别是-2+i,3+2i,则IoBl=.

【答案】√io

【分析】先利用向量运算求出OB对应的复数，然后求解模长可得答案.

【详解】08=0A+AB,

，对应的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i,

.∙JOB∣=√l2+32=√10.

故答案为：＞∕Γo

15.已知三棱锥尸-4BC的每个顶点都在球。的球面上，PAPaPC两两互相垂直，且

2PB=PA=PC=4,若球。的表面积为.

【答案】36π

【分析】把三棱锥补成成长方体，结合球的表面积公式进行求解即可.

【详解】如图，将三棱锥尸-ABC补全成如图的长方体，

则根据对称性可得：三棱锥P-ABC的外接球的直径为长方体的体对角线，

设球的半径为R,又2PB=PA=PC=4,

：.(2Λ)2=22+42+42=36,故2=9

；・球0的表面积为4兀x9=36π.

故答案为：36π

16.在AABC中，角A,B,C所对的边分别是α",c,已知2sin4^inC=■+”-R,则A+siι√C

SinCa+c~-b~

的最大值为

3

【答案】∣∕1.5

【分析】由正弦定理、余弦定理化简后求角8的值，再将siɪ?A+siι√C化简为三角函数求最大值即

可.

222

【详解】由余弦定理知：a+h-C=2。力COSCM2+。2一02=2accosB

∙4ʌ,Tm,F/n2sinA—sinC⅛cosCSinBcosC…小∖

又由正弦1定理化l简得：————---------=---------------,A,B∈(O,π),即ElrI

SinCccosBsinCcosB

2sinΛ∞sB-sinCcosB=sinβcosC,即2sinAcosB=sin(B÷C)=sin(π-A)=sinA,又ABW(O,兀)，

1π2

化简得cos5=j,B=^9则A+C=qττ

z.ɔɔ

γ=sin2A÷sin2C=sin2A+sin2(-^-Λ)=sin2A+(-ɪeosA+ɪsinA)2

yɪɪsin2A+—cos2A+^^sinAcosΛ

442

y=乎Sin2A--ɪ-cos2A+l=-^sin(2Λ--^)+l

2TT7Γ71Γ7ΓTT3

又Ae(O,]π),故当24-^=?时，si/A+sirc取最大值为

3666622

故答案为:；3

四、解答题

17.已知复数4=l+i,z2=x+yi,其中x,y为非零实数.

X

(1)若Z∣∙Z2是实数，求一的值；

y

_(、2022

(2)若Z2=Z],复数z=[五J+(/-根-l)-(m+l)i为纯虚数，求实数小的值;

【答案】(1)-1；

(2)m=2；

【分析】（1）运用复数乘法及若z=4+加为实数则人=0,计算可得结果.

（2）运用共辗复数及复数除法及若z=α+0i为纯虚数则计算可得结果.

[。工0

【详解】（1）∙.∙Z]∙Z2=（l+i）（x+γi）=x-y+α+y）i为实数，

.∖x÷y=0,

又∙.∙％,y为非零实数，

(2)∙.∙z2=Z]=1—i,

・Z]=ι+i(l+i)

*φzΓ^Γ^"(l-i)(I÷i)

z=—+^∕π2-∕n-l)-(∕H+l)i=^∕w2一加一2)—(m+l)i为纯虚数,

kZ2J

∖m2-τn-2=0、

nfn=2

[-（m+∖）≠0

・•・加的值为2.

18.已知向量〃泊满足（2〃+。）∙（α-2∕?）=2,且Ial=V∑,∣⅛∣=2.

⑴求〃与6的夹角。；

⑵求卜+q.

3TT

【答案】（1）6=F

4

⑵√Σ

【分析】（1）根据数量积的定义和运算律即可求解夹角.

（2）根据模长公式即可求解.

【详解】（1）由（24+力・（4-»）=21一3"/—劝2=4—3'&、2£：（»，-8=2,

得CoSe=-近，因为。∈[0,π],所以。=孚.

24

（2）由题意得Iα+bI=Ja-+2a∙b+b^^=-4>∕2×-ɪ+4--Jl

3

19.已知tana=-二,2是第四象限角.

(1)求COSa-Sina的值;

⑵求8$［：π+1卜11,+；）的值.

4

7

【答案】（I）M；

7√2

(2)cosl∙^∙+αtan(α+；ɪ

ɪ7

【分析】（D根据同角三角函数的基本关系列方程组求解Sina,cosα即可;

（2）由两角和的余弦、正切公式化简求解即可.

sin2α÷cos2a=I

【详解】（1）因为Sina3,2是第四象限角,

tana=-------=——

COSa4

也Xt也丁目=述

252510

π-2

/、tana+tan—+1

tan(a+：)=--------------—tanα+1_4

1-tana

1'1-tanertan—ι1—

4

20.已知4,b,C分别为一ABC三个内角A,B,C的对边，且2⅛=c+2αcosC.

⑴求A；

⑵若-ABC的面积为生亘，α=3,求一ABC的周长.

3

【答案】⑴A=］；

（2）8.

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式求解作答.

（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出6+c即可作答.

【详解】（1）在中，2b=c+2acosCt由正弦定理得：2sinB=si∏C+2sinAcosC,

而sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

-f⅛2sinAcosC+2cosAsinC=sinC+2sinΛcosC,即sinC=2cosAsinC,

又C为三角形内角，有SineW0,解得CoSA=g,A∈(0,π),

所以A=1.

(2)依题意，Sabc=-bcsinA=-hc-=^^-,于是历=2，

由余弦定理得，er-b1+c2-2⅛ccosΛ=(⅛+c)2-2bc-2bccosA,

,16

B∣J9=(⅛+c)--3×y,解得＞+c=5,

所以一ABC的周长为α+6+c=8.

21.已知函数F(X)=2cos2χ+√Jsin2x+α,xeθ,ɪ.从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为

已知.

⑴求。的值；

(2)求Ax)的最小值，以及取得最小值时X的值.

条件①：/O)的最大值为6；

条件②：/&)的零点为T.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)若选条件①，则。=3；若选条件②，则α=0

(2)答案见解析.

【分析】(1)化简/(x)的解析式，根据条件①或②求得“的值.

(2)利用三角函数最值的求法求得正确答案.

【详解】(I)/(x)=2cos2x+道sin2x+a

=1+cos2x+ʌ/ɜsin2x+a=2sin[2x+∙^)+α+l.

若选条件①，

贝∣J2+α+1=6,α=3.

若选条件②，

则/(T)=2sin^π+^+<z+l=2×f-∙^∙j+<7+l=tz=0.

(2)若选条件①，由⑴得/(x)=2sin(2x+£j+4,

则当Xe0,|时，2Λ+^∈ɪy,则当X=时，取得最小值为3.

若选条件②，由⑴得“x)=2sin(2x+或+1,

则当TOm时，2x+“py,则当X若时，〃x)取得最小值为0.

22.如图所示正四棱锥S-ABa)