2023年中考数学复习06 几何类综合问题答案解析

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重难点06几何类综合问题

命题趋势

几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在.几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较

重，解答题数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在

试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置.只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这

种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动态问题、最值（范

围）问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大.所以我们一定

要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题.

!满分技巧

1.熟练掌握平面几何知识：要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知

识，尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识.几何综合题重点考查的是关

于三角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识.

2.掌握分析问题的基本方法：分析法、综合法、“两头堵”法：

1）分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条

件，依次向前推，直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条

件，哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直

到所有的条件都已知为止即可.

2）综合法：即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；

3）“两头堵”法：当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能

得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略.

3.注意运用数学思想方法：对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助

我们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵

的.常用数学思想方法：转化、类比、归纳等等.

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限时检测

限时检测1：最新各地模拟试题（90分钟）

1.（2023•浙江宁波•校考一模）如图，的直径/8,8垂直平分OZ,48延长线上一点E,DE交圆。

于尸，且EF=弦。，交OC于G,满足Gh=GOxGE,S△即-SDCE=26AC长为（）

A.6B.ʒC.2D.2也

【答案】C

【分析】连接。°，°尸，°”，如图，先根据题意证明△醺°sGED1得到∕OZ）G=/E,进而可证明

AODH*F0E,得出ND。”=NEF。，由8垂直平分O4可得NoDC=30。，设NE=X,根据等腰三角

形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和可求得x=20°,进而可求出N尸。"=120°,由

SAW-SDCE=2√J变形可得SAah-SDoC=26,然后设未知数求出圆的半径即可求出答案.

【详解】解：连接。。，。£。〃，如图，

,GD1=GO×GE,..GOGD`∙.2DG0=NEGD,GED,NODG=ZE,

-•EF=OAfOA=OD=OH,••.EF=OA=OF=OD=OH，NoDG=NoHG，

ZFOE=ZEfΛZFOE=ZE=ZODG=ZOHGI...^ODH=^FOE,...ZDOH=ZEFO,

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OC=AC=-OA=-OD

・・・8垂直平分。4.・.22,...ZODC=30°,

设/E=x,典∖NFOE=NE=x,NOFD=2x,∙,∙OD=OFNoDF=NOFD=2x,

在直角三角形OCE中，∙.∙ZC^+Zf=90o,...30o+2x+x=90o,解得％=20。，

./DOH=NEFO=180o-2x=l40o,ZDOF=180o-4x=lOOo

...ZFOH=360o-ZDOH-ZDOF=360o-140o-lOOo=120。，

+

'AEiHF—SDCE=26QODOFHOF)-(Seof+Sdof+SDOC)=2下),

V∆ODH=^FOE,：.S.ODH=SAFOE,SABOF—SDOC=

OC=-r

设圆的半彳仝为r,则在直角三角形OCO中，2

=Jirc=L®L=正2

CD=

2,AM•-5•了，亍-可-，，作。于点

HM=FM=gHF,ZOFH=NOHF=30°

...OH=OF=r/FOH=120°9

OM=-OH=-r,FM=—rFHNoH=

222...=&,

Cc_ɔ/7r2-r2-2y/3AC=—r=2

•・八△的FTwc=2V3,...48,解得：r=4(负值己舍去)，:2.故选：C

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了同圆半径相等、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、

全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识，综合性较强，熟练掌握上述知识、正确添加辅助

线、灵活应用数形结合思想是解题的关键.

2.（2023•辽宁丹东•校考一模）如图，等腰“8C中，CA=CB=4,4C8=120。，点。在线段“8上运动

（不与/、8重合），将Aeo与ACBO分别沿直线。1、CB翻折得到AC∕尸与4C80,给出下列结论:

4√3

（X）CD=CP=CQ.②APCQ面积的最小值为丁；③当点。在月8的中点时，APD°是等边三角形;

4√3

④当尸O,BQ时，的长为亍；其中所有正确结论的序号是（）

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Q

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】①由折叠直接得到结论；

②由折叠的性质求出+ZBCQ=120°)再用周角的意义求出NPCQ=120°：先作出APCQ的边PC

2

,..........QE=*CQ…SΔPCQ=4-CDλCCC

上的高，用三角函数求出2Y、得到"4,判断出APCQ面积最小时，点。的位置,

据此求解即可；③先判断出△为叨是等边三角形，△即。是等边三角形，再求出NPQQ=60。，即可；

④当D,C,0共线时，可以证明NP08=9O。，求出此时/。的值即可.

【详解】解：①•••将AaIZ)与ACBO分别沿直线C4CB翻折得到AoIP与ACBQ,

,CP=CD=CQ故①正确；②...将ACZO与△(?%)分别沿直线C4C8翻折得到AC4尸与ACBQ,

,AACP=AACD,NBCQ=NBCD.ZACP+ZBCQ=ZACD+NBCD=ZACB=120°

.ZPCQ=360o-(ZACP+BCQ+ZACB)=360o-(120°+120°)=120°如图］中,

过点Q作QEIPC交PC延长线于E,NPCQ=120。，...NQcE=60°,

在RfQCE中,Sing喷QE=CQ×sinZQCE=CQ×sin^^-CQ

...CP=CD=CQPpYCPxQE=；CPqCQ=触

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•••8最短时，S"。。最小，即：CZ)LN8时，8最短，过点C作N工/8,此时CF就是最短的CD,

CF=-BC=I

,.AC=BC=4,ZACB=120o,.ZABC=30°,...2,即：8最短为2,

SNs最小=兴CD?=与x2?=也

,故②错误,

③...将AC∕。与ACBO分别沿直线。、CB翻折得到AC/P与AC80,../。=力尸，NDAC=NPAC,

.../£»"=30。，.∙./PZO=60°,是等边三角形，.∙.PO=ZADP=60°

同理：ABDQ是等边三角形，...DQ=BD,N8OQ=60。，...NP。。=60。，

•••当点。在18的中点，.∙.4O=BO,.∙.P0=O°,.∙.VZ>P0是等边三角形.故③正确，

④如图2中，当O,C,0共线时，∙.∙80=BDNQBD=60。.ASOQ是等边三角形,

...ZQDB=ZPAD=60。，...PA//DQ.ZACD=NPAC=NCAD=30°,

.∙.H=4)=CD=PC四边形ZOCP是菱形，.∙."=8=CQ,

四边形"产耍是平行四边形，∙∙.NPQC=NP/C=30°,../尸。8=90。，

过,ɪ'IC作CFJ.AB于F,则NF=FB=BC-cos30°=20，

AD=-AB=^-

...NDCB=NACB-NACD=90°,BD=2CD=2AD,：.33,故④正确，

综上，①③④正确，故选：B.

【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，锐角

三角函数，极值的确定，三角形的面积公式，解本题的难点是确定出APCQ面积最小时，点。的位置.

3.(2022・广东深圳・深圳市宝安中学(集团)校考三模)如图，在正方形N8C。中，E是线段8上一

点，连接/E,将E沿/£翻折至4/E凡连接8尸并延长8斤交4E延长线于点P,过点E作EMlPB

于已知PF=&,BF=I.其中正确结论的个数有()

r—-√2+l

φzJPF=450(2)/.EFP=LFBC③PM='2-'(4)DE

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C.3D.4

【答案】D

【分析】过点Z作/NlB尸于N,证得“=/P4N=45。，得①正确；由等角的余角相等可证②正确：由

EMNF

∆EFM=∆FAN及∆EMF=∆FNA=900可证得AEMFsAZMl,再由MF/N可得PM=EM=近T,③正确；

忆尤3

由MMFsAFNA可得。EEF,④正确.

【详解】解：如图，过点、4作4NLBP于N,

四边形/8CZ)是正方形，MO=",血£)=90。,

由翻折的性质可知，AD=AF,乙DAE=乙E4F,.∙.4B=AF,

ɪ

-ANLBF,.-.BN=FN,乙BAN=AFAN,.∙.∆PAN=∆PAF+∆FAN=2/.BAD=45°,

---ZJyVP=90°,：.乙P=乙PAN=45°,∙∙∙AN=NP,故①正确；

由翻折的性质可知，3=AFE=90。，：.aFP+∆AFN=90°,

"B=AF,：.UFN=∆ABF,.∙.∆ABF+∆FBC=90°,.∙∕EFP=EFBC,②正确；

∙.∙EM1BP,ZP=45o,.∙.EM=PM,-.∙BN=FN,BF=2,PF=Q：.AN=NP=&+\,

,:乙EFM+UFN=90°,UFN+∆FAN=90°,：.乙EFM=乙FAN,

EMNFPM1

“EMF=乙FNA=90。,SEMFMFNA,；.MF/N,即收一PM√2+l

AFNF1I-,

r—==~~r=----=∙χ∕2÷1

解得PM=EM={27,③正确；∙.∙AFNAMEMF,：.EFEM√2-l,

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∞=^=√2÷1

•：CD=AD=AF,DE=EF,：.DEEF,④正确.故选：D

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形等知识，解题的关键是正确寻找

相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

4.(2023•安徽滁州•校考一模)如图，已知菱形力8CO的边长为2,对角线/C、8。相交于点。，点〃，N

①“MN是等边三角形；②MN的最小值是百；③当MN最小时SMMN=G"物sc，④当。MLBC

时，OA2=DN∙AB

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出NW=/"%,然后证

△“DAN(ASA)jAM=AN,即可证出.②当MN最小值时，即4例为最小值，当∙∙LBC时，力〃值

最小，利用勾股定理求出“历=J坂-8"=出守=百,即可得到例N的值.③当MN最小时，点M、N

分别为8C、。中点，利用二角形中位线定理得到ZdW,用勾股定理求出

1

CE=VcM-EN=JfT务=LSAcm,=lχl×√3=^oγ5-9

V22,22"4,而菱形”8的面积为：2X√3-243,即可得到

答案.④当WBC时，可证△的BCO,利用相似三角形对应边成比例可得oc2=αw∙sc,根据等

量代换，最后得到答案.

【详解】解：如图：在菱形/28中，AB=BC=AD=CD,ACJ.BD,QA=OC,

...ABAC=AMAN=60°,...AACB=ZADC=60o,ΔABC与丛ADC为等边:角形，

又/MAC=ZMAN-ZCAN=60c-ZCAN,ZDAN=4DAC-/CAN=60°-ZCAN,

ZCAM=ZDAN

<AC=AC

...ZM4C=NDAN,在MCAM与^DAN中NADN...A@l^DAN(ASA),；,AM=AN,

即A/MN为等边三角形，故①正确：

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■：AClBD,当MN最小值时，即为最小值，当/MLBC时，4/值最小,

T

∕B=2,BM=QBC=1,...AM=痂匚嬴=亚了=如期MN=币,故②正确;

当MN最小时，点”、N分别为8C、CD中点，；.MN〃BD,ACLMN.

IYRRLX2∙>∕3=­

而菱形45C。的面积为：2×√3-2√31.84,故③正确,

JNBOC=ZOMC=900ocCM

当OMj_BC时，INOCM=NBCo：、丛0QMBCO.∙,~BC~~OC

.∙."2=CM.BC.∙.O42=ZW∙∕8故④正确；故选：D.

【点睛】此题考查了菱形的性质与面积，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定，勾股定理，三角

形中位线定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键.

5.（2022•湖北黄冈•统考模拟预测）如图，在正方形/88中，AB=2.G为对角线8。的延长线上一点，

E为线段CZ）的中点，BFLAE,连接。尸.已知4D4G=15CJ,其中结论正确的是（）

OP\_

①4G=BD;②8尸=石；（3）OA3;④S△尸OF=3；⑤若E点为线段Cz）上一动点，当ZE=EC+C0时，

A.①②③④B.①②④C.②③⑤D.①③⑤

【答案】D

【分析】根据正方形的性质与解宜角三角形的方法逐个解题求解.①根据4》G=I5。可得含60。角的直角

三角形NoG,求出∕G=2∕O;②由皿4£+的尸=90。，∆BAF+∆ABF=90o^∆BAF=∆DAE,

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-D-E-=-A--F=一1

tan∆BAF=tan∆DAE=ADBF2,通过解直角三角形求出8尸长度；③将OP：转化为OP：OD,通

过△/£>PS408P求解；④先通过0P：。0=1：3求出三角形。IP的面积，再通过尸产与ZP的比值求出

三角形PO厂的面积.⑤设EZ>x,EC=2-x,通过相似三角形与勾股定理求出X的值从而求出力0.

【详解】解：(T)∙.∙zDJG=150,.-./.GAO=∆DAG+ΛDAO=60O,.∙∙ZG=30o,AG=IAO,

,∙BD=2AO.∙∙AG=BD,ʌ(ɪ)IEifi⅛,符合题意.

\_

②•：E为CD中点，.∙.DE=3CD,∙.∙∆DAE+∆BAF=90o,乙B4F+∆ABF=90°,

DEAF↑

：.4BAF=3AE,∙∙∙tanz∙8NF=tanzʃME=BF2,.-.BF=IAF,

22

在RtAABF中,由勾股定理得：AB=ylAF+BF=√5af=2,

2√54√5

.-.AF=5,BF=IAF=5,②错误，不符合题意.

③,：E为CD中点、,ECIl48,.∙.EC为A彳8。的中位线，C为8。中点，∙∙.80=28C=2∕D,

DPAD1DP1

---=1=----------=—

∙.∙AD∖∖BQ,：.博DPS小QBP,BPQB2,-.BD-DP2,

-OD

OPOP6_1

ɪIli而=而=荻=3

.-.DP=ʒBD,OP=OD-DP=2BD-ɜBD=6BD,：.2,二③正确，符合题意.

④∙.∙∕8=2,BQ=IAB=A,.∙∙4Q=q"B'+BQ2=2〉,

2√5

ZJk一3

旧

AP_-A-D-=一1ɪ2AP~5^5FPi322

而二

BQ2∙∙AP=^AQ=3,.∙.35-5,BPSΔPOF=^SAAOPf

OPɪɪɪɪ]_

∙.∙OA3,.∙.s^AOP=3S440D=3x4$正方形ABCD=ɜ,

22

-.SAPOF=5SAAOP=[5,.∙.④错误，不符合题意.

DEADX_24-2x

⑤设Ez)=X,EC=2-x,则ECCQ,B∣J2~x0°,：.CQ=X,

4-2x4--

-.AE=EC+CQ=2-x+XX,在RAWE中，由勾股定理得:

,________,____4-x2/—ʒ2√32√3/—ɪ4√3

AE=7AD+DE-=√4÷x,X,解得X=3或L3(舍).：=ɜ

-D-E-=一1

:•乙D4E=乙BQA,.∙.sm∆DAE=sm∆BOA=AE2,

∙∙∙∕0=2∕8=4,.•.⑤正确，符合题意.故选：D.

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【点睛】本题考查正方形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形的性质与解直角三角形的方

法.

6.（2022•四川达州•统考二模）如图，正方形48C。中，3=4,点E是对角线NC上一点，连接OE,过

点、E作EFLED,交48于点尸，连接。R交ZC于点G,将AEFG沿E尸翻折，得到△EFN,连接。川,

2√55√25√2

交E尸于点N,若点尸是48的中点，则下列说法中：①FG=3@CE=J③ME=3@MN=6

,其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】过点E作尸。ICz）,交DC于点P,交4B于点、Q,连接8E,利用正方形的性质及等腰三角形的

性质得出PE=PC,结合全等三角形的判定和性质以及勾股定理可判断②；利用勾股定理及相似三角形的

判定和性质可判断①；由勾股定理及翻折的性质可判断③；连接GM,GN,交EF于点、H,利用等腰三角

形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理即可判断④.

【详解】解：过点E作P01CO,交DC丁点、P,交/8于点0，连接8E,

∙∙∙OC∣∣∕8,.∙∕0L48,•••四边形48CD是正方形，二乙4C£>=45。，

.∙∙ΔPEC为等腰直角三角形，∙∙∙PE=PC,设PC=X,则PE=X,PD=A-x,EQ=4-x,.-.PD=EQ,

,:乙DPE=乙EQF=90,乙PED=乙EFQ,：.\DPE=\EQF,：.DE=EF,

•；DELEF,.SDEF是等腰直角三角形，

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DC=BC

ZDCE=ZBCE=45°

EC=EC

在△£>(?£■与A8CE中,,:ADCEwABCE,.--DE=BE,.--EF=BE,

-BF

■EQ1.FB,..FQ=BQ=2,∙.∙AB=4,F是AB中点，［BF=2,.'FQ=BQ=PE=I,

∙∙.CE=JP6+CP2=近,故②正确；PD=4-∖=3,在7⅛ΔZM尸中，OF=√42+22=2√5,.RE=EF=回,

CGDCDG_42

DC∖∖AB,.∙.ADGC-^FGA,.-.AGAFFG2,.∙.CG=2AG,DG=IFG,

Iv0匕_2亚,______2.rr8√2

77

.-.FG=3-3,故①正确；,∙^c=√4+4=4√2,.∙.CG=W'

越一加=逑5√2

-.EG=33,由于翻折，.∙∙ME=EG=3,故③正确;

如图所示，连接GΛ∕,GM交EF于点、H,∆GFE=45o,

5√2

M一近=亚

.∙.AG4F为等腰直角三角形，.∙.GH=∕H=√23,'EH=EF-FH=ɜɜ,

√10

由折叠可得：GMLEF,MH=GH=ɜ,：.乙EHM=4DEF=9Q,.∙.DE∖∖HM,:ADEN〜XMNH,

√ioENZ

DE_EN_叵~NH~2布√10

.∙.NH,...3,.∙.EN=3NH,∙∙∙EN+NH=EH=3,：.EN=2,

2√io√io√ιo-JGH2+NH2=

.-.NH=EH-EN=326,在RtAGNH中，：.GN=

5√2

由折叠可得AfiV=GN=6,故④正确；故选：D.

【点睛】题目主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性

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质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

7.（2022・江苏无锡・统考一模）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，

根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形：②在加ZU8C中，Ne=90。，AB=c,AC=b,BC=a,且6

>a,若/?也/8C是奇异三角形，则a：b：c=l:石：2；③如图，/8是Oo的直径，C是。。上一点

（不与点/、5重合），。是半圆寂的中点，C、。在直径48的两侧，若在。。内存在点E,使ZE=

AD,CB=CE.则A4CE是奇异三角形；④在③的条件下，当△/!CE是直角三角形时，^AOC=120°,其

中，说法正确的有（）

D

A.①②B.①③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】①设等边三角形的边长为。，代入检验即可；②在RtMBC中，由勾股定理可得/+〃=/,因

为RtΔ∕LBC是奇异三角形，且0>a,所以/+。2=2/，然后可得6=缶，C=岛，代入可求；③要证

明a∕CE是奇异三角形，只需证∕C2+CE2=2∕E2即可：④由③可得ZUCE是奇异三角形，所以

AC2+CE2=2AE2,当"CE是直角♦角形时，由②可得小花CE=∖五拒或

4C：MECE=百√∑l,然后分两种情况讨论.

【详解】解：设等边三角形的边长为a,则/+/=2/,满足奇异三角形的定义，

；•等边—三角形一定是奇异三角形，故①正确；

222222222

在RtΔJBC中，a+b≈c,∙∙c>b>a>0f,∙,2c>a+bf2a<b+cf

222222

若use是奇异三角形，一定有2∕=∕+C2,.2b=a+（a+b）t.,b=2a,得b=6a.

..c2=b2+a2=3a2,...c=√3α,...a：b≡CF1√2√3,故②错误；

21

在RtΔ∕18C中，a+b=c∖.∙ab是。。的直径，；.UCB=乙408=90。，

在RfΔJC8中，AC2+BC2=AB2.在RΛMD8中，AD2+BD2≈AB2.

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2i22

∙.∙。是半圆/。8的中点，.∙.NC=8O,.MjD=80,.-.AB=AD+BD=2AD,

又∙.∙CB=CE,AE=AD,.-.AC2+CE2=2AE∖.∙.∖ACE^^-≡^,故③正确：

由③可得∖ACE是奇异三角形，；.AC2+CE2=1AE∖

当ZUCE是直角三角形时，由②可得"C：NECE=Te5或4C：AECE=√3√21,

(ɪ)-^lAC-.JAECE=I√Σ√J时，AC：C£=1√3,即/GCB=I百，

...ZACB=90,...ZABC=30°,...ZAOC=2ZABCɪ60°.

D

(11)⅛lAC-.AECE=时，AC：CE=也\,即/C：C5=√31,

-.∙ΛACB=90O,.∙∙ZJ5C=60O,∙∙∙Z√lOC=2zJtfC=120o,

・•.乙4。C的度数为60。或120。，故④错误;故选：B.

【点睛】本题主要考查了：L命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.能牢

固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键.

8.(2022•广东深圳•深圳市宝安中学(集团)校考模拟预测)如图，已知正方形∕8CQ,E为边BC上一个

动点(E点不与5、C重合)，F为BC延长线上的一个动点，KWBE=CF,AE交BD于H,连接。F,过

尸作尸GIBD于G,连接/G、EG,则下列结论：①四边形4£7也>为菱形；(2)AG=EG↑③当E为BC中

点时，tan48GE=5;④当EC2时，SXHG5其中正确的有

BE

【答案】②③④

【分析】证明"O=BC=EE结合力E>∕8可判断①，如图，连接CG,过G作GNLBC于N,证明

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AG=CG,EN=CN,可判断②，如图，延长NG交/。于证明三角形ZGE为等腰直角三角形，可得

ZBGE=ZBAE,从而可判断③，如图，过G作GQLNE于。，过“作“KL5C于K,设8E=α,则

5ɔadAE^y∕Wa,AQ=GQ=EQ=-a,BD=342a,orιj

AD=3a=AB,则2证明ABEHSAD4H,再求解

3

m√lθDτ-r√23√Wj.jj3√2√23

EH=-----a,BH=------α,AH=--------ɑ,KH=------cι×—=-a,

444424再利用面积公式计算可判断④.

【详解】解：•：正方形ABCD,

...AB=BC=CD=AD,ZBAD=ZABC=NBCD=ZADC=90。,NDBF=45°,

BE=CF,..,BC=EF,在RtA∕8E中，AE>AB=BC=EF,

：.AE≠EE；.四边形AEFD不为菱形；故①不符合题意；

如图，连接CG,过G作GNIBC于N,由正方形的对称性可得：=CG,

..ZDBF=45o,FGJLBD,,NGBF=ZGFB=45o,GB=GF,BN=FN,

...BE=CF,则EN=CN,.GE=GC=GA,故②符合题意；

如图，延长NG交4。丁何，山正方形的对称性可得：NM^G=NGCD

o

..GN1BC,ZBCD=90,,GN//CD,lj；jZNGC=ZGCD,ZAMG=90°,

..GE=GC,,ZEGN=ZCGN,.ZEGN=ZMAG,

.ΛMAG+ZAGM=90o=NEGN+ZAGM,,NAGE=90°,ZGAE=NGEA=45o=NABD,

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“AHB=∕GHE,,NBGE=NB4E,...E为Be的中点、,产=产=3A民

tanZ.BGE=tanZBAE=—,

2故③符合题意;

如图，过G作G0∙L4E于。，过//作“K_L3C于K,.40=G0=E0,

BE∖BETdγ4a,dAE=®a,AQ=GQ=EQ=叵％BD=

-~EC~2"IJIiJJP^3设8E=α,则NO=3。=/8,...，***2，

由正方形的性质可得:AD//BC,.ABEHS^DAH,

BEEH_BHEH=^BH=^a,AH=^-a,

・..而一而一丽—3444

S_3√Σ√2_3

..NDBC=45o,HKɪBC,,KH~~ax~~4a,

13

c-×a×-a1

MBEH=24______

SiIX亚公叵J5∙

242故④符合题意；故答案为：②③④

【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的应用，相似

三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，属于填空题中的压轴题.

9.（2023・山东日照・日照市新营中学校考一模）如图，在边长为8的正方形"BCQ中，点。为正方形的中

心，点E为/。边上的动点，连接°E,作°尸•1•0£交8于点R连接叱，尸为EF的中点，G为边CD

上一点，且8=4CG,连接P4PG,则4+PG的最小值为.

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【答案】24

【分析】如图，连接04,OD,由题意知，NOAE=NODF=45。,ZAOD=90°OA=OD,由

ZAOE=ZAOD-ZDOE,NSQf=EOF-DoE得,NADE=DOF,证明ANOE丝A。OF(ASA),

则OE=O尸，/°F是等腰直角三角形，由尸是E尸中点，则OPLM,NOPF=90。,

NPFO=45。=NPOF,如图，过。作QWl4)于M,过。作ONJLa)于N,由NO尸尸+NOVF=I80°,

可知。，P,FN四点共圆，由际=而，可得NPNF=NPOF=45°,进而可得P在线段MN上运动，如

图，延长MM,作点A关于MN对称的点/,过/作/",8于H,连接/G交MV于尸'，连接由

DH=∕H=LB=4

题意知2,/P'=∕P',且∕P+PG=∕P+PG,可知当4PG三点共线时，

NP'+P'G值最小，在RS/GH中，由勾股定理得，乂G=YAH'+HG2,计算求解/G的值即可.

【详解】解：如图，连接°40D,

由题意知，N04E=NODF=45。,ZAOD=90°OA=OD,

.-OFlOE,...NEOF=90°=NAOD,

...ZAOE=ZAOD-ΛDOE,ZDOf=ZEOF-ZDOE,...ZAOE=DOF,

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N40E=NDOF

OA=OD

在AAOE和GOF中，...[^OAE=NODFAAOEaDoF(ASA)

.-.OE=OF,.∙.AEOF是等腰直角三角形，

∙.∙P是E尸中点，.∙.OP工EF,...ΔOPF=90o,NPFO=45。=ZPOF,

如图，过。作OM。于M,过。作ONJ.C。于N,...NONF=90。,

...NOPF+NONF=180°,；.O,P,FN四点共圆，

...港=而，...NPM=NPOF=45。，.∙.P在线段MV上运动,

如图，延长NM,作点A关于MN对称的点/,过/作/"_L8于，，连接./G交MN于尸，连接

由题意知2"“一'AP'^AP∙,...AP+PG^AP+PG,

.../，PG三点共线时，/P'+PG值最小，∙.∙"G=DH+OG=4+6=10,

22

在RtA^G〃中，由勾股定理得，AG=∖∣AH+HG=2√29ι

∙∙∕P+PG的最小值为2后，故答案为：2√29.

【点睛】本题考查J'正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角

形的判定与性质，两点之间线段最短等知识.解题的关键在于确定点尸的运动轨迹.

10.（2023・广东深圳•校考模拟预测）如图所示，乙4圆=60。，半径为2的圆。内切于2/圆，P为圆。

上一动点，过点P作尸”、PN分别垂直于/ZC8的两边，垂足为M、N,则尸M+2PN的最大值

【答案】6+26

PN+-PM=NHC

【分析】作M"NP于点，，作MELBC于点R则得到2,即当0与相切时,

取的最大值，解题计算即可.

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【详解】解：作M"∙lNP于点〃，作M尸18C于点R

PMVAC,PNlBC,...ZPMC=APNC=90°,

...ZMPN=360o-ZPMC-ZPNC-ZC=I20o,.,ZMPH=180o-NMPN=60°,

HP=MP×cos/.MPH=MP×cos600=-PMPN+-PM=PN+HP=NH

.∙.22

∙.∙MF=N",...如图，当M尸与0°相切时，MF取的最大值,

连接。P,OG,可知，四边形°PMG是正方形，...MG=PO=2

在RtZkCOG中,CG=0G×tan60o=2√3,...CM=CG+GM=2+2√3,

MF=CMXCOSNC=(2+2⑹X与=3+应

在RtʌGWF中,

r-PM+2PN=2∖PN+-PM∖=2NH=6+2y∕3r-

：.MF=NH=3+6，I2）,故答案为：6÷2√3.

-PM

【点睛】本题考查的是“阿氏圆”模型，解题的关键是作辅助线构造2.

11.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，08C为等腰直角三角形，D为48中点,E、尸分别为』C、BC

上的点且满足。尸，已知∕E=2,CE=S,"为8C上一点，连接ME,且满足NCAffi=2N/OE,

EM=

则.

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H

M

F

29

【答案】4

【分析】连接°,EF,作"”平分NCME,交NC于点”，过H作HK上ME于K点,过点E作

CD=-AB=BD=AD=—ʌ-

氏?_148于点6,根据等腰三角形的性质可得22；证明DCF,可得

LL/,j八i/—DF=DE=-EF=-EG=AG=立AE=近

EF=y∣CF+CE=√29,进而可得22,求出2

t/AnP_EG_√2_2

tanZ-ADE==-........=-r>rτC

DG=AD-AG=-^lDGʒʃ5CHKH=2

2,即可得2,即可得荻―加一1,设CH=HK=X,即

MC^-xCɪe_cME=-(5-χ]λ

有2,EH=CE—CH=5—X,根据Bvcw/+为初出—3VcW£,可表示出2、，在RtZ∖MEC

中，CM2+C炉=M炉，问题随之解得.

【详解】连接8,EF,作MH平分NCME,交AC于点H,过H作HKLME于K点,过点E作

EG1.AB于点、G,如图，∙∙∙ZE=2,CE=5ι,∙,AC=AE+CE=2+5=7,

・・・在为等腰直角三角形，D为AB中点、,

CD=LAB=BD=AD

...CDLAB,2,N4=NB=45°,AC=BC=1，

22

,,AB=y/AC+BC≈7√2；ZADC=ZADE+ZCDE=90°

17/7

CD=-AB=BD=AD=-^-

/ACD=ZBCD=45°,22

H