2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第四章 第3节　三角恒等变换 作业

第3节三角恒等变换

课时作业灵活分层，高效提能________________________

［选题明细表］

知识点、方法题号

三角函数式的化简6,7

三角函数式的求值1,2,3,4,5,9,10,11

三角恒等变换的综合应用8,12,13,14

ΓA级基础巩固练

1.sin450cos150+cos225osin165°等于(B)

解析：sin45ocos15o+cos225osin1650=sin45o∙cos150+

(-cos45o)sin15o=sin(45o-15o)=sin30o=∣.

2.已矢口ɑ,B为锐角，tanα三,贝IJcos2ɑ等于（B)

77厂24

Aλ.—Brι.—C.—D

252525∙-≡

解析：因为tanα=列吧W，

cosa3

所以sinαʒeosɑ,

因为sin2a+cos2a=1,

所以cos2ɑɪɪ,

所以cos2ɑ=2COS2ɑ~1=--.

3.tan18o+tan12o+ɪtan18otan12o等于(D)

A.√3B.√2C.-D.-

23

解析：因为tan30o=tan(18o+12otanl8°+tanl2°

l-tanl8°tanl2o3:

所以tan180+tan120=?(1-tan18otan120),所以原式=

4.已知锐角α,B满足Sinα=g,COSB=鬻,贝∣Ja+B等于(C)

A.yB.E或乎

C.-D.2kπ+∏(k∈Z)

44

解析：由Sinɑ~,cosB=耳^,

且a,B为锐角，可知COSa=乎,sinB=当，

510

、/、/

cosVɑ+P尸CoSɑcosP0-si.nɑsi.nBO=——2V5X-3-√-T-θ一一y/SX——√Tθ=—√2,

5105102

又(XCI+B<n,故a+β=≡.

4

B)

5.l-√L3ta心nlθ。等于(

11

A.1B.-C.-D.-

422

ooo

A73ɪr-.sinlθ°_sinl0coslO°_2sinl0coslO°_sin20_1

用■l√3tanl0ocoslO°-√3sinl0o4(工COSI0。--SinlO0)4sin(30o-IO0)4

6.(2022•新高考II卷)若Sin(a+B)+cos(a+B)=2Λ∕2COS(ɑ+

7)sinB,则(C)

A.tan(a-β)=1B.tan(a+β)=1

C.tan(a-β)=-1D.tan(a+β)=-1

解析：由题意得sinɑcosβ+sinβcosɑ+cosɑcosβ-

sinɑsinB=2√2×γ(cosɑ-sina)∙sinB,

整理得Sinɑcosβ-sinBcosɑ+cosɑcosβ+sinɑsinβ=0,

即Sin(ɑ-β)+cos(a-B)=0,所以tan(ɑ-β)=-1.

7.(多选题)下列四个选项中,化简正确的是(BCD)

A.cos(-15o

B.cos15ocos105o+sin15osin105o=0

i/25÷1

oooSn(a--

C.cos(ɑ-35)cos(25+ɑ)+sin(ɑ-35)∖2

D.sin140cos160+sin760cos740」

2

解析：对于A,原式=COS(30°-45o)=cos30o∙cos45o+

sin30osin450=3义五+^x涯=直贷,A错误；

22224

对于B,原式=CoS(15°-105o)=cos(-90o)=cos90°=0,B正确;

对于C,原式=CoS[(α-35°)-(25o+ɑ)]=cos(-60o)=cos60°=|,

C正确；

对于D,原式=CoS76ocos16°+sin76°sin16o=cos(76o-16o)=

cos600=∣,D正确.

8.(2022•北京卷)若函数f(x)=Asinχ-√3cosX的一个零点为:,

贝!jA=;f(ɪ)=.

解析:依题意,得f9=A・^-√3×∣=0,

解得A=I,

所以f(x)=sinx-V3cosx=2Sin(XW),

所以f*)=2sin(ɪ-^)=-√2.

答案：1-√2

综合运用练

9.若Sin2α—,sin(B-α)=^,且α∈[-,π],B∈[n,如],贝IJα+

51042

B的值是(A)

A.—B.-

44

C号或rD.4或手

解析:因为a∈S。所以2a∈g,2n],

42

因为Sin2α=q>0,所以2α∈[ɪ,π],

所以α∈[罚],且COS2a=-竽.

又因为Sin(B-a)=噂,B∈[π,y],

所以B-a∈百争,所以CoS(B-a)=-誓,

所以cos(a+B)=cos[(β-a)+2ɑ]

=cos(β-a)cos2a-Sin(B-a)sin2ɑ

_(3同)X(_2右)√lδχ√5-√2

又因为a+B∈[^,2n],所以a+B=]∙

44

10.已知3JTWe≤4n,且及罗+J上罗岑则θ等于(D

A.等或等B.等或等

C.理或竺≡D,脚或也

4466

解析:因为3π≤θ≤4π,所以:q≤2π.

因为cosθ=2CoS?--l=l-2sin2

22

所以叵还+仁还

=Icos^∣+∣sin||

θ.θ

=Cos—sin-

22

=√2COS(雪)=y,

所以COS(碧呼•

因为巴w'W2π,所以Z≡w2+'W也,

224244

rrIUθ,πIIπ-∙6∣π13π

所以丁丁万或pL丁E，

所以。=等或等.

66

11.若0,B均为锐角且cosα=*CoS(α+B)=-Il,则sin(y+2B)=

解析：因为α,B均为锐角且COSɑ

cos(α+B),

14

所以Sinɑ=√l-cos2a=^j1-~~~~,

sin(ɑ+B)=JI-COS2(a+B)=J1-(-ɪɪ)2=普，

所以COSβ=cos(a+β-a)=cos(a+β)cosɑ+sin(a+β)sinɑ=

IH∖L5√54√51

(一——)Xxz-+——XZ——

1471472

所以sin(y+2β)=-cos2B=1-2COS2β=1-2×(ɪ)2=∣.

答案]

12.设a,β∈[O,π],且满足sinɑcosB-cosɑsinB=1,则

Sin(2a-B)+sin(a-2B)的取值范围为.

解析：由sinɑcosβ-cosɑsinB=1,得Sin(Cl-B)=I,又a,

β∈[0,π],所以-π≤a-β≤π,所以a-β=2

(0≤a≤π,

所以｛θ≤6=a∕≤π,即衿a≤",

所以sin(2ɑ-β)+sin(ɑ-26)

=sin(2ɑ-a+^)+sin(ɑ-2ɑ+π)

=cosɑ+sina

=√2sin(a+?.

因为UWɑ≤π,所以空Wɑ+-≤-,

2444

所以TW√Σsin(a+^)Wl,

即sin(2α-0)+sin(α-2B)的取值范围为[T,IL

答案：[T,l]

13.已知向量a=(cos-+sin-,2sin-),b=(cos--sin-,V3cos-),

222222

函数f(x)=a∙b.

(1)求函数f(x)的最大值,并指出f(x)取得最大值时X的取值集合;

⑵若a,B为锐角,cos(a+B)考,f(B)[,求f(a+3的值.

解：⑴f(x)=cos,I-Sin*：+2V^SinmCoS-cosx+V3sin

x=2sin(x+^),

令x÷-=-+2kπ(k∈Z),

62

得x=-+2kπ,k∈Z,

所以f(x)的最大值为2,此时X的取值集合为{xIx=≡+2kπ,k∈Z}.

(2)由α,B为锐角,cos(a+B)=I

得Sin(a+B)*,

因为(KBq,所以3B+5?,

2663

又f(B)=2Sin(B+£)=*

所以sin(B÷^)=∣∈(ɪ,,,

65