黑龙江省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析

黑龙江省高三模拟考试数学(理)试卷附答案解析

班级:姓名：考号：

一、单选题

1.己知复数z=-2+山(aeR,i是虚数单位)对应的点在复平面内第二象限，且z∙5=6,贝IJa=

A.历B.-√2C.2D.-2

2.全集U=[L10],集合A={x∣(xT)(x-8)≤0}和B=[2,10],则d(AB)=()

ʌ.(2,8)B.[2,8]C.[l,2]u[8,10]D.[l,2)u(8,lθ]

a

3.平面直角坐标系中角α的终边经过点P(-3,4),则cos?—+π)

2

9

A.βCYD.

10∙3Io

4.二项式(，优+：).(〃>。力>。)的展开式中只有第6项的二项式系数最大’且展开式中的第3项的系数是

第4项的系数的3倍，则时的值为()

A.4B.6C.8D.10

5.下列命题正确的个数是()

①。+人≥2y[ab^ah>0)

②若a>b>0,c<d<O贝IJacVbd；

③不等式1+』>0成立的一个充分不必要条件是x<T或x>l；

X

④若《、仇和q(i=l,2)是全不为0的实数，则"S=*="■"是"不等式α∣x2+4x+J>0和+3+q>°

a`cΛ)C)

解集相同”的充分不必要条件.

A.1B.2C.3D.4

6.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，

实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误

的是()

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我国新闻出版业和数字出版业营收情况

□数字出版业营业收入（亿元）口新闻出版业营业收入（亿元）

A.2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加

B.2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍

C.2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍

D.2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一

7.若函数/（x）=-χ2+30x+α在［1,2］上单调递减，则a的取值范围是（）

4

a∙1C.-,+∞D.

8.记单调递增的等比数列｛“〃｝的前〃项和为S”,若4+4=1°，a2a3a4=64贝IJ

nnl

A.SN-S“=22B.%=2〃C.Sπ=2-∖D.Sn=2--↑

9.己知平面的£=/,加是。内不同于/的直线，那么下列命题中埼送的是（）

A.若m〃尸,则〃〃〃B.若〃〃//,则加///

C.若山」£,则m_L/D.若m_L/,则〃

10.古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱里内切着一个球，这个球的直

径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（）

34

A.\_B.2C.D.

2345

11.已知向量。力满足同=l,α^b,则向量二―2%在向量〃方向上的投影向量为（）

A.aB.1

C.-1D.-a

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/∖[ln(-x),(x<0)ʌɔ

12.已知函数/(x)=JJT若关于X的方程/(口-4(；0+/一。=0有四个不等实根，则实数。的

取值范围为()

A.(0,11B.(→Λ,-l)o[l,+∞)C.(-∞,-l)L{l}D.(-1,0)({1}

二、填空题

13.己知”=(-2,1),6=(2,-1),若。与6夹角为钝角，则实数％取值范围是.

14.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,4),从中随机取一件，其长度误差落在区

间(2,4)内的概率为.

(附：若随机变量ξ月艮从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ}=0.6827,Pkμ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545)

15.过抛物线C:/=4'的焦点，、作斜率为6的直线/，交抛物线于48两点，抛物线在46处的两条切

线交于点肌则IMFl=.

三、双空题

16.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.通常情况下，

船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下表是某港口某天的时刻与水深关系的预

报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深)'与时间X之间的关系，该函数的表达式为

.已知一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至

少要有2.25米的安全间隙(船底与洋底的距离),则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为

小时(保留整数).

时刻水深Dl时刻水深m时刻水深Rl

0：005.09：182.518：365.0

3：067.512：245.021：422.5

6：125.015：307.524：004.0

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四、解答题

17.(1)已知数列｛q｝的前〃项和SU/+〃，求数列｛4“｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝的首项为az=l,递推公式为加=1+」一("≥2),写出这个数列的前5项

an-∖

18.如图，已知四棱锥V-ASCO的底面是矩形，VDj"平面A8CZλAB=2A。=2VD=2,E,£G分别是棱

A8WC,C。的中点.

(2)求平面AKE与平面烟夹角的大小.

19.甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局(不必

连胜)则比赛结束，此人直接赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为:，乙获胜的概率为5，丙获胜的概率

24

为各局比赛结果相互独立.

4

(1)求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率；

(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望).

20.点P(x,>)与定点F(l,0)的距离和它到直线/:X=4距离的比是常数ɪ.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)记点P的轨迹为C,过P的直线/与曲线C交于点M,N,与抛物线丁=©交于点A,B,设。(-1,0),

记.TWN与一DW面积分别是%S?,求今的取值范围.

dI

21.已知函数/(X)=詈和g(x)=τ2+2x+l.

(1)求函数F(X)的单调区间和最值；

(2)求证:当X<l时/(x)<g(x);当X>l时f(x)>g(x);

(3)若存在演<七，使得/(与)=/(W)，证明芭+々>2.

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22.己知双曲线C的中心在原点，O(LO)是它的一个顶点，焦点到渐近线的距离为四.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若过点(-3,0)任意作一条直线与双曲线C交于46两点(46都不同于点〃)，求证：DA∙OB为定值.

23.已知函数/(x)=∣x-2∣.

(1)解不等式"x)-∕(2x+4)<2;

(2)若/(x-l)+∕(x+3)W疗+3相对所有的χ∈R恒成立，求实数m的取值范围.

参考答案与解析

1.A

【详解】试题分析：z∙z=(-2+ai)(-2-ai)=4+a2=6和=2,Z对应点在第二象限，则。>0,所以

a=5/2•故选A.

考点：复数的运算.

2.D

【分析】解不等式确定集合A,然后由集合的运算法则计算.

【详解】Λ={x∣(x-l)(x-8)≤0}=[l,8],B=[2,10]ΛAnB=[2,8].

Vt/=[1,10],.・・⅛(AnB)=[l,2)u(8,l0].

故选：D.

3.B

3

【分析】首先根据三角函数定义得到CoSa=-,，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.

【详解】角α的终边经过点P(T4),T-3)2+4,=5所以COSa=-|.

l+cos（α+2兀）_l+cosα_1^5_1

2--2~-^^-5

故选:

4.C

【分析】根据给定条件求出事指数)的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解.

【详解】因为(0r+3)"S>0∕>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即九二10

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1

Z1∖°110-r

于是得0r+'的展开式的通项为加二小⑷严气」√="∙C[Oyj

bx)bxb

10-210-3

依题意得%∙Cj°=3∙%∙C3化简得必=8

所以油的值为8.

故选：C

5.B

【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；

【详解】解：对于①，当”>0,λ>>0时a+b≥14ab，当且仅当α=6时取等号，若α=-l、/?=-1满足出>>0,

显然a+b<,故①错误；

对于②，若a>人>0,CVdVO则一c>-d>0,故一ac>-bd,故ac<bd,故②正确；

对于③，使不等式1+4>0,整理得凹>0,故x>0或x<T,所以不等式l+4>0成立的一个充分不必

XXX

要条件是x<-1或x>l,故③正确；

对于④，不等式/+χ+ι>o与f+χ+2>o的解集都为R,但是;≠g

若」=-ɪ;=L，则不等式χ2+x+l>0与-X2-X-I>0的解集不相同

故若《、〃.和c,(i=l,2)是全不为。的实数，则“幺===旦”是

Gi?C?2C?

2

“不等式4—+々x+q>0和a,χ+b2x+c2>0解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误.

故选：B.

6.C

【分析】根据统计图逐个分析判断即可

【详解】解：对于A,由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以

A正确；

对于B,由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5

亿元，5720.9>2×1935.5所以B正确；

对于C,由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元,2017年我国新闻出版业营收为16635.3

亿元，因为23595.8<3x16635.3,所以C错误；

对于D,由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而

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23595.8×ɪ≈7865.3>5720.9,所以D正确

3

故选：C

7.D

【分析】结合二次函数的性质求解函数/(x)的单减区间为［券,+8),即［l,2］qy,+a>^,列出不等关系求

解即可.

【详解】由题意，函数F(X)是开口向下的二次函数，对称轴为X=与

故函数“X)的单减区间为［当，”)

即［1,2］U券,+s),故半≤1

2

解得：≤—

则a的取值范围是(Y,∣.

故选：D

8.C

【分析】先利用等比数列的性质得到处的值，再根据七，4的方程组可得4，%的值，从而得到数列的公比,

进而得到数列的通项和前〃项和，根据后两个公式可得正确的选项.

【详解】因为｛4｝为等比数列，所以痴=/4,故域=64即为=4

aaJ16可得K=8或Ia=2'因为｛可｝为递增数列，故:“=8符合.

此时始=4,所以4=2或g=-2(舍，因为｛α,,｝为递增数列).

故％="qτ=4χ2"-3=2"τS=WJ二2,)=2T.

"1-2

故选C.

【点睛】一般地，如果｛4“｝为等比数列，S,,为其前〃项和，则有性质：

(1)若m,n,p,qwN*,m+n=p+q,则44=4%;

(2)公比什1时则有S,,=A+Bq",其中AB为常数且A+3=0;

(3)Sπ,S2n-Sn,S3a-S2n,为等比数列(Sn≠0)且公比为g”∙

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9.D

【分析】A选项.由线面平行的性质可判断；B选项.由线面平行的判定可判断；C选项.由线面垂直的性质

可判断。选项.由线面垂直的判定定理可判断.

【详解】A选项：“〃尸，由α∏Q=/,又〃，uα,则由线面平行的性质可得加〃/,故A正确.

B选项：mill,由RB=I,机α/"u∕由线面平行的判定可得机//£,故8正确.

C选项：由αβ=l,贝VU尸，又〃?_L£所以“」/,故C正确.

。选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故。错误.

故选：D

10.B

【分析】设球半径为R，则圆柱底面半径为R,圆柱的高为2R,根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比

值.

【详解】设球半径为R,则圆柱底面半径为R,圆柱的高为2R

则S球=4πR2

22

SRl柱=Sιa+2S底=2πR∙2R+2×πR=6τr∕?

所以m=:

故选:B.

11.A

【分析】根据给定条件，求出(〃-2力)∙Q,再借助投影向量的意义计算作答.

【详解】因Ia=IM则Q-%)∙α=∙一2⅛.°=1,令向量〉2力与向量α的夹角为夕

于是得∣α-2AlCOS夕&=("一">"∙∕-="

IalIal∖a∖

所以向量:-2%在向量α方向上的投影向量为

故选：A

12.A

【分析】画出函数“X)的图象，使用换元法，令f=∕(x),并构造函数g(/)=〃—S+4—。，通过/的范围，

可得结果.

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【详解】当XNO时/(X)=改i,则/(x)=(lr)∕r

令/(x)>0,贝∣］O≤X<1

令/(χ)<0,则X>l

所以函数/(X)在［0,1)递增，在(1，+8)递减

则ZnM(X)=Z'⑴=1,且当XN0时/(x)>0

函数/(X)=［叱))图象如图

xe,(x≥0)

关于X的方程f(X)-4。)+/一。=0有四个不等实根

令f=∕(x)g(f)="-6zr÷a2-a

则①f=0,t=l

g(0)=a1-a=0

所以"、nα=l

g⑴=1一〃+Q--Q=O

②，∈(0,1)Z∈(-∞,0)u(l,+oo)

由g⑴=")2≥0

则函数g(f)一个根在(0,1)，另外一个根在(-8,0)中

所以g(O)=a?-QVOnoVQVl

综上所述：6Z∈(O,1]

故选：A

【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推

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理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题.

13.b3,2卜(2,+8)

【分析】根据。与。夹角为钝角可得。∙b=(-2,l)∙Q,-1)<0,求得2的范围，再去掉向量反向时的值即可得

解.

【详解】根据题意可得：a`b=(-2,1)∙(Λ,-1)=-2λ-1<O

可得几>-3

当；l=2,α=-b时，”与方方向相反夹角为180，不符题意

所以且4W2

故答案为5g,2)u(2,+⑼.

14.0.1359

【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.

【详解】因长度误差J(单位：毫米)服从正态分布N(0,4),则〃=0,b=2

于是得尸(-2<ξ<2)=0.6827P(-4<⅞<4)=0.9545

所以P(2<J<4)=g(0.9545-0.6827)=0.1359.

故答案为：0.1359

15.4

【分析】先求出直线/，设&%,％),BQ2,%)，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利

用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在/,6处的切线方程，再求出点M的坐标，进而可求出IMrl

【详解】抛物线Uf=4y的焦点为尸(0,1),则直线/为y=6r+l,设A(XQ),8(々,％)

由G+1,得√-4^x-4=O

X=4y

贝IJXl+x2=46,%X2=-4

由y=得/=(χ,则过点A(Ay)的切线的斜率为g再

所以过点A(X”y)的切线方程为即yfXq

同理可得过8(々,必)的切线方程y=gχ∕-亨

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两切线方程联立，得;XM-弓X-亨，得x=g(χ+w)=2在

所以y=；%∙g(χ∣+χι>--^-=-^χ∖χ2=T

所以点M的坐标为(2√i,-D

所以IMH=7(2√3)2+(-l-l)2=√12+4=4

故答案为：4

冗

16./(x)=2.5sin(ʒ^-x)+54

【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数,先由周期计算出0,再由最值计算出力和b,

最后由最大值处的数据计算出。，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的

函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.

【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.

设该函数表达式为/(ɪ)=Asin(<yχ+φ)+b

由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟

所以。=生=工

T372

A=皿丁⑶皿=7$12.5=25b=/(χ)maχ-A=7.5-2.5=5

TC

ʃ(l86)=2.5sin(-+9)+5=7.5

：.φ=G

则该函数的表达式为：/(X)=2.5sin(ɪX)+5.

由题可知，水深为4+2.25=6.25米以上时安全

令/(x)≥6.25

解得624x≤310

即安全时间为30-62=248分钟,约4小时.

TT

故答案为：/(x)=2.5sin(-x)+5；4.

358

17.(1)。“=2〃；(2)%=1,/=2a3=-,a4=^,as=-.

【分析】(1)Sn=n2+n,S„_,=n2-n(n≥2)两式相减即得解；

(2)利用递推公式直接求解.

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22n(n

【详解】解：（1）由题得Sπ=n~+nS1=(n—I)+n—1=W—≥2)

所以两式相减得牝=2〃，又q=H=2

所以4=2〃适合〃=1.所以数列｛afl｝的通项公式为a=2n.

11a2538

(2)由题得％=1，%=1+1=2tz3=l+-=-,α4=1÷-=~,6Z5=1+-=-.

所以数列的前5项为4=1，a2=203=∣,α4=∣,fl5=∣.

18.(1)证明见详解；

【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面依。的法向量，然后E尸与法向量垂直可证；（2）分别求

出两个平面的法向量再根据平面AVE与平面VEG夹角公式可求得.

如图建系θ(0QQ),A(l,0,0),V(0,0,l),£(1,1,0),C(0,2,0),G(0,l,0),F∣^0,l,ɪ

/.DA=(1,0,0),DV=(0,0,1),设平面VAD的法向量为"二(0,8,c),

DA•/?=〃=0z、

所以，・•・不妨取”=0,1,0,

DVn=C=O

又EF=(-l,O,g),.∙.EF∙,=-lχO+Oχl+JχO=O,

又EFN平面皿),.∙.EF〃平面VA£＞；

(2)由(1)知：AE=(0,1,0),AV=(-1,0』),GE=(1,0,0),GV=(0

设平面AVE的法向量为勺=(x,y,z),平面VEG的法向量%=(P，4,广)

AE∙rt=ʃ=0

所以',不妨取"二(1,0,1)；

AV勺=-x+Z=O

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GE•%=P=O、

同理，不妨取名=(z0,l,l);

GV-n2=q-r=0

TT

设平面AVE与平面VEG夹角为e,0≤0≤],

所以，"H〃”叫=I+「J%)=＞。柠

19.(l)ɪ

45

(2)分布列见解析，E(X)崂

【分析】(1)根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.

(2)依题意X的可能取值为2、3、4,求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.

(1)

解：用A表示“甲在3局以内(含3局)赢得比赛”，4表示“第Z局甲获胜”，々表示“第&局乙获胜”,

C表示“第Z局丙获胜”

则尸(A)=P(AA2)+P(A可AJ+P(44AJ

=­IX—I+I—×j1nlX—+J1nXl-IX-=—ɪ

22212J2{2J222'

(2)

解：依题意X的可能取值为2、3、4

所以尸(x=2)=尸(A4)+?(服)+p(CG)=2+*+χq

1113

j

P(X=4)=P(Aβ2C3)+P(AC2β3)+P(B1AC3)÷P(βlC2Λ)+P(ClAΛ)+∕(C,βΛ)=6×τ×τ×τ=77

7

p(χ=3)=l-p(χ=2)-P(X=4)=-

所以X的分布列为

X234

373

P

81616

37345

所以E(X)=2x2+3x'+4χ3

v781616

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22「4、

20.(1)—r+^-=1(2)-,+∞

43lɜ)

【解析】(I)根据题意可得Jq-D2：＞2=L化简即可求出；

∣4-x∣2

(2)当直线/的斜率存在时将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦

长比，化为关于％的关系式，求最值求值域即可，之后将直线/的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.

【详解】(1)依题意有若下W=L

∣4r∣2

,2

化简得：3V+4V=12,故Cl的方程为三+E=L

43

⑵依,题意、wS)=iIA⅛BI

①当/不垂直于X轴时设/的方程是y=%(χ-D(%≠o)

y=⅛(x-l)

联立,^⅛2X2-(2⅛2+4)X+⅛2=0

y2=4x

2公+4

设A(Xl,χ),S(⅞,J2)贝I%+%=

k2

y=MX-I)

联立得：(3+4⅛2)X2-8k2x+4k2-12=0

3X2+4∕-I2=0

设M(W,%),N(X4,%)

8⅛24⅛2-12

则Λ+X=

343+4F343+4公

2

2212(l+⅛)

IMNI=^(1+Λ)[(X3+X4)-4X3X4]=

3+4⅛2

S,∣AB∣3+4产41叫,+8

则W=师TH^=3F

②当/垂直于X轴时易知IABl=4∖MN∖=-=3

a

叶叶邑_四|_4

此时不一网一5

第14页共18页

综上，名的取值范围是［,+∞).

【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的

弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.

21.(1)单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(l,+∞),最大值为2,无最小值

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；

(2)设MX)="x)-g(x)=詈+f-2x-l,求导，根据导数的正负，判断力(力的单调性，结合MI)=0,

即可证明结论；

(3)作出函数"X)=詈，g(x)=-V+2x+l的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断

根的情况，从而证明结论.

(1)

..(XJ2ex"_2eMe')，_2e(1)

{,(eʌ)2e,

.∙.当x<l时∕qx)>O,函数F(X)的单调递增区间为(—,1)；

当x>ι时rα)<o,函数〃x)的单调递减区间为(ι,+∞).

...函数“X)的最大值为"1)=2,无最小值.

(2)

2ex

证明：设∕z(x)=f(x)-g(x)=~^-+χ2-2x-l

则"(x)=2e(i)+2x2=2(-WY)

v,eet

.∙"'(x)≥0,当且仅当X=I时等号成立

.∙.函数MX)单调递增,又MI)=O

当x<l时MX)<0,即F(X)<g(x)

当x>l时〃(x)>0,即/(x)>g(x).

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⑶

,PY

证明：结合(I)(2)作出函数/(x)=g,g(x)=-χ2+2x+l的大致图象:

当X->-8时/(χ)-»YO；当X→+8时/(X)->0

令/(x∣)=F(%)=加，则0<m<∕(l)=2.

又：二次函数g(x)的图象开口向下，最大值为g(l)=2

，存在鼻<匕，使得g(f)=g(x4)=f(Xl)=F(X2).

结合(2)的结论以及图象知X3<X1<Z<X2

•••函数g(x)的图象关于直线X=I对称

2

/.X3+X4=

X+x2>X3+x4=2

【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关

不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.

2

22