2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第七章 第四讲　空间直线、平面的垂直 学案

第四讲空间直线、平面的垂直

■双基自测

知识梳理

知识点一直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直

①定义：若直线/与平面ɑ内的任意一条直线都垂直,则直线/与平面α

垂直.

②判定与性质

判定定理性质定理

如果一条直线与一个平面内的两

文字条相交直线垂直，那么该直线与

垂直于同一平面的两直线平行

I口口此平面垂直

(线线垂直与线面垂直)

图形Iab

y£

】口口

aCa,

bUa,

符号ala,]

Ila,=/ɪa=>a//b

b.La\

】口口Itb,

q∏b=P

过一点垂直于已知平面的直线.有且只有一条一.

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该

平面的垂线段，一垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离一，

叫做这条直线到这个平面的距离.

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都

相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

(2)直线与平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的垓人，叫做这条斜

线和这个平面所成的角.

若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为O,若直线与平

面垂直，直线与平面所成角为3.

Z——

②线面角。的范围：e∈[o,2•

知识点二平面与平面垂直

（1）二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面一所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别

作与棱垂直的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.

③二面角。的范围：e∈[0,π].

（2）平面与平面垂直

①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两

个平面互相垂直.

②判定与性质

判定定理性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内

如果一个平面经过另一个平面的

文字有一直线垂直于这两个平面的交

垂线，那么这两个平面垂直.（线

语言线，那么这条直线与另一个平面

面垂直=>面面垂直）

垂直.（面面垂直=>线面垂直）

图形

语言

aljβ.,一3

符号aC.a,)=OtJ_6a(∑a,

语言a±βa∏β=b

aLb

归纳拓展

1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证

明线线垂直的一个重要方法）.

3.垂直于同一条直线的两个平面平行.

4.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)直线/与平面ɑ内的无数条直线都垂直，则/,α.(X)

(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(X)

(3)若直线a_La,bJLa,则。〃b.(√)

(4)若aA-β,则a〃a.(×)

(5)若直线a_L平面α,直线力〃α,则直线a与Z?垂直.(J)

(6)若平面ɑ内的一条直线垂直于平面用内的无数条直线，则a邛.(×)

题组二走进教材

2.(必修2Pι64T15)(2022∙广州中学教学研究会调研)如图1,正方形SGIG2G3

中，E、b分别是GIG2、G2G3的中点，。是所的中点，如图2,沿SE、SF.

EE将正方形折成一个四面体，使Gi、G2、G3重合，重合后的点记为G,则在四

面体S-EGE中(A)

A.SGL平面EFGB.SoJ_平面EFG

C.GnL平面SE/D.GOl.平面SE尸

［解析］由题意知SG_LGF,SG±GE,

Gf∩GE=G..∙.SGJ_平面GER故选A.

3.(必修2P152例4)(2022.河南许昌质检)在棱长为1的正方体ABCD-

AIICDI中，点M,N分别为AB,BC的中点，则直线MN与平面。CAl所成角

的大小为(A)

ππ

ʌ-ðB.4

ππ

C.D.

32

［解析］连AC、ADi,设AoI∩4O=H,连”C,易知AHL平面4OC,

MN//AC,

：.ZHCA即为MN与平面DCAi所成的角,

且sinHCA=<~<—ɔ.

/ɪfɛN

IT

,MN与平面OCAl所成角为8故选A.

题组三走向高考

4.（2019∙北京）已知/,〃?是平面ɑ外的两条不同直线.给出下列三个论断:

①/_1_m；®m//ot；（3）Z±α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命

题：.若/J_a,/_!_/“，贝，/〃〃ɑ.（或若/J_a,mJ/a、则.

［解析］由I,m是平面ɑ外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：

若/_La,Z±7∏,则机〃α,若/J_a,m//a,则由线面垂直的性质和线面平行的性

质得/_!_〃?，.∙.若/_La,〃z〃a,贝!］/_!_"?,故答案为：若/_La,/_!_〃?，则或

若/ɪɑ,m//a,则I-Lm）.

5.（2021.全国高考节选）已知直三棱柱ABC-A↑B↑C↑中，侧面AAilB为正

方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，BF±A∣Bι,D为棱AlBl上

的点，

证明：BFlDE.

［证明］证法一：取BC的中点“，连EH、BiH,

为AC的中点，

.∖EH∕∕AB,^AB∕∕AiB↑,

.∖EH∕∕A↑B↑,即E、H、Bi、。共面，

又

；.EHLBF.又AB=BC,

由题意易知四边形BCGB为正方形，又产为CG的中点，

；.BFtHBi,

又HBlCEH=H,...B/7,平面EHB∖D,

又EDU平面EHBiD,：.BFLED.

证法二：由题意知

XBF±Alβ↑,AB//A1B1,

.∖AB±BF,

二.AB，平面BCC∣B∣.

ΛABlBC.

又AB=BC=2,E、F分别为AC、CG的中点，

.∖BE=y∣2,EF=√3,BF=√5,AιE=√6,AiF=3,ΛιB=2√2,

：.AiF2=AiE2+EF2,A↑B2=AiE1+EB2,

J.A∖ELEF,AiElEB,

...AE_L平面BEF,从而AIE_LBR又AiE∩A山ι=Aι,

二，平面AIEBi,又EDU平面AIE5，

：.BFLDE.

证法三：同证法二可知A3、BC、BBl两两垂直，如图建立空间直角坐标系,

∖'AB=BC=2,ΛF(1,1,O),B(0,0,0),F(0,2,l),D(α,0,2)(0≤α≤2),

二丽=(0,2,1),ED=(a~∖,—1,2),

：.BFED=O,.∖BF±DE.

•互动探究

考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透

例1（1）（多选题）（2022・湖南名校联考）对于不同直线〃?，〃和不同平面α,β,

有如下四个命题，其中正确的是（BC）

A.若加_La,n//β,m.Ln9贝IJa〃4

B.若加_La,m//n9∏uβ,贝∣J。_1_夕

C.若〃-La,几工°,m-La,则〃z_L4

D.若〃z_La,mɪn,则〃〃α

（2）（2022・广东珠海模拟）已知α,夕是两个不同的平面，/,加，〃是三条不同

的直线，下列条件中，可以得到/,α的是（D）

A./ɪm,l.Ln,mUa,nUa

B.I.Lm,m//a

C.a邛,

D.l//m,mVa

［解析］(1)选项A,若加_La,〃〃夕，mLn,则α与夕可能相交可能平行，

故A不正确；选项B,若m//n,则〃_La,又〃U夕，所以a_L/?,故B正

确；选项C,若〃_La,nA.β,则α〃夕，又加J_a,所以〃2_1_4，故C正确；选项

D,若〃?_La,m.Ln,贝!］〃〃a或〃Uα,故D不正确.故选BC.

(2)由α,4是两个不同的平面，I,m,〃是三条不同的直线，知：

对于A,/_!_〃，机Ua,〃Ua,则/与α相交、平行或/Uα,故A错误；

对于B,ILm,m//a,则/与α相交、平行或/Uα,故B错误；

对于C,a±β,l∕∕β,则/与α相交、平行或/Uα,故C错误；

对于D,l∕∕m,m±a,则由线面垂直的判定定理得/La,故D正确.故选

D.

名帅A拨MINGSHIDIANBO

解决这类线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析解决,

其实最好的办法是笔当线，纸、手掌当面动态演示.如知。〃a,可将笔看成a,

桌面看成a,让笔平移、旋转，如知将笔看成a,让笔平移，很容易做出

正确判定，事半功倍.

〔变式训练1〕

(1)(多选题)(2022.江苏泰州调研)已知直线/与平面a相交于点P,则(ABD)

A.a内不存在直线与/平行

B.a内有无数条直线与/垂直

C.a内所有直线与/是异面直线

D.至少存在一个过/且与a垂直的平面

(2)(2022.安徽马鞍山质检)设a,β,7是互不重合的平面，血，〃是互不重合

的直线，给出下面四个命题：①若aJ_y,βlγ,则a〃小②若机_La,〃?，夕，则

a//B；③若M〃a,n.La,则机〃〃；④若a_L尸，a∏β=m,nYm,则〃_1_民

其中所有正确命题的序号是(B)

A.①②B.②

C.④D.②③

［解析］(l)a内的直线与/相交或异面，A对，C错；直线/与它在平面a

内的射影所确定的平面夕与平面a垂直，D对；平面a内与射影机垂直的直

线也与/垂直，显然这样的直线有无数条，B对.故选ABD.

(2)对①，若a_Ly,β-Lγ,则α〃α或α与尸相交，故①错；

对②，若〃z_La,机_1_夕，则α〃尸，②对；

对③，若m//a,nɪɑ,则"?_L〃，③错；

对④，若a_L/?,a∏β=m,〃_!_机，则〃不一定垂直夕，④错，故选B.

考点二直线与平面垂直的判定与性质——多维探究

角度1线、面垂直的判定

例2(2020∙新课标I卷(节选))如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，

AE为底面直径，AE=ADAABC是底面的内接正三角形，P为。。上一点，PO

∙∖∣6

=QDO.

O

证明：M，平面PBe

√3

［证明］证法一：由题设，知4D4E为等边三角形，设AE=I,则DO=黑,

CO=BO=TAE=g,

所以Po=*DO=*,

O4

PC=y∣PO2+OC2=^-=PB=

又AABC为等边三角形，则而而=2。4,

所以BA=坐,R∖2+PB2-^=AB2,

则乙4P3=90°,所以孙，尸3,

同理如，PC,又PCCPB=P,

所以叫上平面PBC.

证法二：因为AABC是底面圆。的内接正三角形，且AE为底面直径，所以

AElBC.

因为。。(即P。)垂直于底面，BC在底面内，

所以POLBC.

又因为POU平面朋区AEU平面出区POHAE=O,

所以BuL平面PAE.

又因为必U平面∕¾E,所以

设AE∩3C=E则尸为BC的中点，连接PE

PF=^a.

因此以2+尸产=A/，从而PA±PF.

又因为PFCBC=F,

所以7¾1.平面PBC.

证法三：空间直角坐标系法

∆β

不妨设AB=2∖fi,则AE=AZ)=Sin60。=%

由OoJ_平面A8C,所以Do=MAZ)2—AO2=2√5,

所以PO=*OO=√Σ因为。是aABC的外心，

因此AE_L3C在底面过。作BC的平行线与AB的交点为W,以。为原点，

5W方向为X轴正方向，OX方向为y轴正方向，沆)方向为Z轴正方向，建立空

间直角坐标系。一孙z,

则A(0,-2,0),B(√3,1,0),C(-√3,1,0),£(0,2,0),P(0,0,√2),

所以办=(0,2,√2),

B>=(-√3,-1,√2),

CP=(√3,-1,√2).

故力加=0—2+2=0,

AP∙OJ=0-2+2=0.

所以APj_BP,APLCP.

又BPCCP=P,故APL平面PBC

角度2线、面垂直的性质

例3(2022∙山东荷泽一模(节选))如图，圆柱的轴截面ABCO是正方形，点E

在底面圆周上，AFLDE,F为垂足.

求证：AFLDB.

［证明］由题意可知D4，底面ABE,BEU底面A8E,故BE_LD4,

由AB为直径知BEJ_AE,又AE∩D4=A,OAU平面AEo,AEU平面AE。,

故8七_1_平面AED,

由AEU平面AEO得AF_LBE,

‰AFVDE,BECDE=E,BE,DEU平面BED,

故AFL平面BED,

又DBU平面BED,J.AFLDB.

角度3直线与平面所成的角

例4（2022•江苏无锡高三期末）正方体ABCo-AIBlC∣Dι中,M是正方形ABeQ

的中心，则直线B∖M与平面AxCxB所成角的正弦值为（D）

1√3

ʌ,ɜB.ɜ

「亚D

J3D∙3

［解析］解法一：连BIDl交AICl于"，连BD,DBι,DBiCBH=O,BHCBIM

=N,

易证BIfLL平面AiCiB.

，/BiNO即为BlM与平面AlClB所成的角，且8。_LoM

设正方体棱长为1,

1、/3

则BIo=XBID=3~，

1√6

Bi'=]BlM=看，

../dvr.BiO2^2,,

..Sin/BiNO—BN—ɜ.故选D.

解法二：连AC、CDi、DιA,BιD,DMBlD∩DlM=H,易知平面A山Cl

〃平面ACD1,8。_1_平面ACr>∣,二NBiM”为BiM与平面ACDl所成的角，设

正方体棱长为1,则BlM=坐，BlH=半,

ΛsinNBM"=龄=平，从而M与平面43CI所成角的正弦值为芈.

L>∖JV1JJ

故选D.

解法三：向量法，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,由。办

1

，平面A∖C∖B易知平面ACiB的法向量为n=(l,l,l),MBι=[^,-

i2记B∖M

与平面AiQB所成角为仇则sin。=近逊L=-%=斗1.故选D.

∣n∣∙∣MBl∣小X及

名师支祓MINGSHIDIANBO

1.证明线线垂直的常用方法

(1)利用特殊图形中的垂直关系.

如：直径所对圆周角是直角；菱形对角线互相垂直；等腰三角形底边上的中

线、顶角平分线垂直底边.等等.

(2)若知某些线段长度，常利用勾股定理的逆定理.

(3)利用直线与平面垂直的性质.

(4)向量法：a1b<≠>ab=O.

2.证明线面垂直的常用方法

(1)线面垂直的判定定理：

∕±a,/_Lb,aUa,bUa,α∩⅛=P=>∕±α.

(2)面面垂直的性质定理：

a_L夕，aC∖β=l,αUa,a_L/=>a_L夕.

(3)性质：@a//b,⅛±α=>α±α;

②a〃夕，a_LQ=>a_La.

3.求直线与平面所成角的方法

(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置

是关键;

②证，证明所作的角为直线与平面所成的角;

③求，通过解三角形，求角.

(2)公式法：sinO=7其中％为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离,

/为该点到斜足的距离，。为斜线与平面所成的角).

—►

(3)向量法，sinθ=∣cos<AB,〃〉∣="∣(其中AB为平面a的斜线,n为

∣AB∣∙∣n∣

平面ɑ的法向量，。为斜线AB与平面α所成的角).

〔变式训练2〕(2022.全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，POJ_底面ABCD,

CD//AB,AD=DC=CB=I,AB=2,DP=事.

(1)证明：BD1PA；

(2)求PO与平面PAB所成的角的正弦值.

［解析］(1)证明：在四边形ABC。中，作。E_LAB于E,CfAB于E

因为CAD=CD=CB=I,AB=2,

所以四边形ABCD为等腰梯形,

所以AE=BF=

故DE=坐,

BD=√Z)E2+BE2=√3,

所以4。2+3。2=432,

所以AoJ_8。,

因为POL平面ABCD,8。U平面ABCD,

所以PCB。，又PO∩AO=O,

所以80,平面7¾O,又因B4U平面∕¾f),

所以BDLPA.

(2)解法一：连PE,

又POL底面ABCD,

：.PDlAB.

.∙.A3，平面PDE,

二平面朋8，平面PDE.

："DPE为PD与平面朋B所成的角.

又PDLDE.：.PE=γ∣PD1+DE1=^-.

2√5

二sinNoPE=程=坐X

√B^5∙

即PD与平面PAB所成角的正弦值为坐.

解法二：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

则41,0,0),3(0,√3,0),P(0,0,√3),

则分=(—1,0,√3),BP=(0,-√3,√3),D>=(0,0,√3),

设平面∕¾8的法向量〃=(X,y,z),

n-AP=-χ+y∣3z=0

则有

U∙B>=-√3j+√3z=0

可取〃=（小，1』）,

G/一∖n∙DPyβ

则cos<71,DP）=--------=s,

∖n∖∖DP∖'

所以PD与平面所成角的正弦值为小.

考点三两个平面垂直的判定与性质——师生共研

例5（2021.广东茂名市二模）如图，在等腰梯形ABCO中，AB//CD,AB=ICD

=2ΛD=4√3,将AAOC沿着AC翻折，使得点。到点P,且PB=2#.

求证：平面APCL平面A3C.

［证明］证法一：由等腰梯形AB=2CO=2AO=4√5,

得NABC=60°.

又AB=2BC,所以AC,BC

*PC=BC=2市>,PB=2也

则CR?+CP2=PB2,所以BCJLCP.

又AC∩CP=C,所以BCL平面APC,

又BCU平面ABC,

所以平面APCj_平面ABC.

证法二：取AC的中点0,连P。，B0,

由AP=PC知POYAC,

在等腰梯形ABe。中，由AB〃C。，AB=2CD=2AD=4y∣3,

可求得OP=√5,OB=叵

又PB=2√6,

.∖PCP+OB2=PB2,

.∖PO±OB,又AC∩03=0,

.∙.PO_L平面ABC,

又PoU平面PAC,

，平面∕¾C，平面ABC.

考点四点到平面的距离

例6（2022.黑龙江大庆市质检）在四棱锥P-ABCD中,平面出。，平面ABCD,

PA=PD=I,四边形ABC。是边长为2的菱形，NZMB=60。，E是A。的中点.

⑴求证：BE，平面巩。；

⑵求点E到平面PAB的距离.

［解析］⑴证明：连接BD,在△/¾。中，PA=PD=2,E是AO的中点,

：.PEYAD,

：平面外£>J_平面ABCD平面以D∩平面ABCO=

平面ABC。，：.PEA.BE,

又：四边形45CD是边长为2的菱形，ND43=60。，

ZVWD为等边三角形，

.∖BE±AD,

又：PEnAD=E,PEU平面RIO,AOU平面必。，

,BE，平面PAD.

(2)在a∕¾B中，PA=AB=I,PB=布,则S△以B=誓,

在AABE中，AB=2,AE=I,BE=小,贝∣]SAABE=彳,

由PE，面ABCO,PE=√3,得

VP-ABE=WX/X3X1×√3^2,

由Vp-ABE=VE-∕¾B,设点E到平面7¾8的距离为人,

πll√151√3rr1,√15

则WXΔ^-X∕2=]X^^-X小，则∕z=∙^~,

即点E到平面RIB的距离为雪.

注：本题也可用向量法求解.

名帏A被MINGSHIDIANBO

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(小尸，αUα=>αD).(一般在一

个平面内找交线的垂线，证此线与另一面垂直.)

(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线

的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

(4)求点到平面距离的方法

①定义法一一作出点到平面的垂线段(借助过点与已知平面垂直的平面)，求

其长度即可.②体积法.

〔变式训练3〕

(1)(2022.湖南娄底模拟)如图所示，在四棱锥P—ABCO中，底面ABC。是菱

Tr

形，ZDAB=y侧面以。是等边三角形，且平面勿。，平面ABCO,E为棱PC

PF1

上一点，若平面EBD_L平面ABC0,则乔=$

(2)(2022∙山东济宁模拟节选)如图，四边形ABEb是矩形，平面ABCJ_平面

ABEF,。为BC中点，AB=AC.

一

l-----<-tr----1

证明：平面ADF_L平面Bb.

［解析］(1)取AD的中点0,连接OC交BO于/点，连接EF；¾。是

等边三角形，.∖P0±AD,

VOD//BC,BC=20D,：.FC=IOF.

又：平面附O_L平面ABCD,POlAD,

：.Po，平面ABC。，

又：平面8。EJ_平面ABCO,,PO〃平面BZ)E

故答案为今

(2)证明：因为AB=AC,。为BC中点，所以AOLBC,因为四边形ABEb

是矩形，所以MLAB,因为平面ABe，平面ABE尸，平面ABC∩平面ABEV=

AB,AFC平面ABEF,所以AFl.平面ABC,因为BCU平面ABC,所以AFl.BC,

又AEAoU平面ADF,AFHAD=A,所以BCL平面AOF,又BCU平面BCF,

所以平面AOFJ_平面BCF.

A体几何中的动态问题

例7(1)(多选题)(2022.四省八校下学期开学联考改编)已知正方体ABCD-

48GA的棱长为2,M为DDi的中点，N为底面ABCD内一动点，则下列命

题正确的个数是(ABC)

A.若MN=手,则点N的轨迹长度为兀

B.若N到平面83GC与直线A4∣的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一

部分

C.若N在线段AC上运动，则A

D.若N在线段Ae上运动，则MN〃/)8∣∙

(2)(多选题)(2021.山东日照模拟)已知正方体ABCD—的棱长为4,

M为。。的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是(ACD)

7T

A.若MN与平面ABC。所成的角为子则点N的轨迹为圆

B.若MN=4,则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2兀

C.若点N到直线与直线OC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

TT

D.若OlN与AB所成的角为十则点N的轨迹为双曲线

［解析］(I)OMLON且MN=小,。M=I,所以点N的轨迹是以。为圆心，

ON=2为半径的圆周的点所以长度为兀，A正确；

若N到平面BBlGC与直线AA的距离相等，即N到直线BC与到点A的距

离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分，B正确；

OBJ_平面OlAC,则DIALL上Bi,C正确；

若N在线段AC上运动，只有当N为AC中点才满足MN〃。4，D错误.故

选ABC.

Tlτι

(2)对于A,因为MN与平面ABCZ)所成的角为彳，即NMND=不

所以DN=OM=2,所以