江西省高三模拟考试数学（理科）试卷附答案解析

江西省高三模拟考试数学（理科）试卷附答案解析

班级:姓名：考号：

一、单选题

1.若z∙5=10,则Z可能为（）

A.8-6iB.10+iC.8+2iD.3+i

2.设全集U={xeZ∣W≤2},A={-2,-l}和B={l,2},则弧A）UB=（）

Λ.{1,2}B.{0,-l,-2}C.{0,l,2}D.{-1,1,2}

x+y≤2,

3.设实数苍了满足约束条件2x-3y≤9,则2x+y的最大值为（）

x≥0,

A.0B.2C.-3D.5

4.若命题”Hr∈[0,3],χ2-2x-4<0”为真命题，则实数。可取的最小整数值是（）

A.-1B.0C.1D.3

22

5.双曲线C：、哈=IgO力>0）的一条渐近线的倾斜角为130。，则双曲线C的离心率为（)

A.2sin4()0B.2cos40oC.——-——D.——-——

sin50ocos50°

6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果S=I+:+:++ɪ,则判断框中填入的条件可以为（

)

开始

Z=1,5=0

结束

A.z≤2023B.z≤1013C.z≤1011D.z≤1012

2

7

7・^≡lg4+2lg5÷log28+8=()

A.8B.9C.10D.1

8.如图，在正三棱柱ABe-AGG中AS=2和A41=2相，D,产分别是棱人笈，AA的中点，E为棱AC上

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的动点，则ΔZ)EF的周长的最小值为

B.2石+2

C.√6+2D.√7+2

9.抛物线y2=4x的焦点为尸，其准线为直线/.过点M(4,4)作直线/的垂线，垂足为“，则/FMH的角平

分线所在的直线的斜率是

10.已知函数/(x)=Zsinoxcosox-Z^/Jsin?0x(<υ>O)图像的相邻两条对称轴之间的距离为,则/

()

Λ.I-小B.-↑-y∕3C.0D.-2√3

11.已知点M点3,0),N(3,0),3(L0),动圆己与直线MV相切于点6,过M,M与圆。相切的两直线相交于点

R则点尸的轨迹方程为()

A.X2--=l(x>1)=l(x<-l)

8

2

C.x2+ɪ-=l(x>0)=I(X>1)

8

12.设α=0.1cos(H,力=Sino.1和c=0.5sin0.2,贝IJ()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

二、填空题

13.(2-x)(l-3x)4的展开式中『的系数等于.(用数字作答)

14.已知1以=2卜|且α∙(α-5)=0,则α,8的夹角是.

15.已知定义在R上的函数“X)满足"X)=：+；'"1°；?\且/3=〃"2),函数g(x)的表达式为

I—X,X∈I—l,U)

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g(x)=M，则方程g(x)=∕(x)在区间［-5,1］上的所有实数根之和为

16.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个

问题：“今有圆材埋在壁中不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱

形木材，埋在墙壁中不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径

是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).

己知弦AB=I尺，弓形高8=1寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为_____立方寸.(注：一丈=10尺

=IOO寸，≈3.14,sin22.5≈⅛,答案四舍五入，只取整数)

三、解答题

Ss1

17.记S“为数列｛%｝的前〃项和，已知4=L-Z-j=一宁

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵令勿=2%,记数列他,｝的前n项和为T11,试求弓I除以3的余数.

18.如图,四棱锥P-43C0中BC/平面R4B,ADHBC.PA=AB=BC=I.AD=I.E为4B的中点.

且Pm7.

(1)求证：平面PBO_L平面PEC；

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(2)求二面角Z)-PC-E的余弦值.

19.2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行.北京市各校大学

生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2:1,按性别用分层

抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优

秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.

(D若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概

率.

(2)设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为I,记同学甲获得“优秀学员”的次数

为用试求X的分布列及其数学期望E(X),并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能

否获得冬奥会吉祥物？

20.在平面直角坐标系中已知A(T,O)和8(2,0),动点M(x,y)满足瑞=；,设动点用的轨迹为曲线C.

(1)求动点M的轨迹方程，并说明曲线C是什么图形；

(2)过点(1,2)的直线/与曲线C交于E,F两点，若IEFI=笠，求直线/的方程；

(3)设户是直线x+y+8=。上的点，过P点作曲线C的切线PG,77/,切点为G,H,设C'(-2,0),求证：

过G,P,C'三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

21.已知函数/(x)=xlnx+”(αwR).

⑴若曲线y=∕(χ)与直线y=χ相切，求a的值；

(2)若存在Xw(l,+8),使得不等式/(力+Inx＜奴成立，求a的取值范围.

22.已知函数/(χ)=GTi(XNO)，其反函数为y=尸(X)，直线y=T+缶分别与函数y=/(ɪ),y=Γ,ω

的图象交于A,,,纥两点(其中〃eN∙),设α,,=∣AS,∣,S“为数列｛4,,｝的前”项和.

2S,1

求证：(1)当“≥2时5；-S；T=--r

nn

(2)当"22时＞2(丛+邑++&).

23n

23.已知函数F(X)=Iχ+m∣+∣χ-iI.

(1)当机=2时求不等式/(x)25的解集；

(2)若不等式/(χ)≥α"Ξ∕对XeR和ae(-2,2)恒成立，求实数力的取值范围.

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参考答案与解析

1.D

【分析】设z=α+Ai,根据条件求出aS关系，然后逐一验证选项即可.

【详解】设z=α+Ai

则z∙z-^a+b'∖)^a-b∖)=cr+b2=1()

观察得仅3+i满足

故选：D.

2.C

【分析】用列举法表示出全集U,根据补集和并集的定义可求得结果.

【详解】.t∕={x∈Z∣∣x∣≤2}={x∈Z∣-2<Λ≤2}={-2-l,0,l,2}

.RA={0,1,2}&4)B={0,1,2}.

故选：C.

3.D

【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.

【详解】如图所示：画出可行域和目标函数

根据平移知当X=3,y=-1时z=2x+y有最大值为5.

4.B

【分析】转化为最值问题求解

【详解】由题意得”>*2-2x在xw[0,3]上有解，当x=l时/一2X取最小值

2

则a>U-2x)min=-l,故。可取的最小整数值为O

故选：B

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5.C

【分析】依题意利用诱导公式可得tan50。=/,再根据离心率公式及同角三角函数的基本关系计算可得;

b

【详解】解：双曲线G/■—/=l(o>O∕>O)的渐近线为y=

依题意tan130°=-0,BRtan(180o-50o)=--,即tan50°=@

bbb

'a2+b2

所以双曲线的离心率e=£

a

'ɪ+Cos250°

+sin250°

sir?50°+cos?50°

sin250o

Vsin250osin50o

故选：C

6.D

【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合输出结果进行判定，即可求解.

【详解】框图首先给累加变量S赋值0,给循环变量i赋值1

判断框'l∣的条件满足,执行s=0+l.Z=l+1=2;

判断框中的条件满足.执行s=0+l+；.i=2+l=3;

判断框中的条件满足.执行s=O+l+；+g.i=3+l=4;

依次类推，令2023=21,知i=1012

判断框中的条件满足，执行1+；+：+K+-ɪ-,iɪlθlɜ

此时不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是''i≤1012?”

故选:D.

7.B

【分析】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.

【详解】因为Ig4+21g5=lg4+lg52=lg4+lg25=lglθθ=2

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352

Iog28=Iog22'=3g3=(2)=2=4

2

所以lg4+21g5+log?8+83=2+3+4=9

故选:B.

8.D

【分析】根据正三棱柱的特征可知ΔAβC为等边三角形且ʌʌ,ɪ平面ABe,根据AA，AD可利用勾股定理求

得。尸=2;把底面A8C与侧面ACGA在同一平面展开，可知当RE,尸三点共线时E尸取得最小值；

在ΔAQF中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.

【详解】三棱柱ABC-A8C为正三棱柱∙∙∙ΔΛ5C为等边三角形且AAlJ•平面ABC

ADU平面ABC,∙.AAxVADDF=∙J∖+3=2

把底面ABC与侧面ACGa在同一平面展开，如下图所示：

当D,E,尸三点共线时DE+EF取得最小值

又NEAD=I50,AiF=G和AD=I

22

.∙.(DE+EF)n,n=>JAF+AD-2AF-ADcosZFAD=^4^2y∕^-号)二√7

.∙.ΔDE/周长的最小值为：√7+2

本题正确选项：D

【点睛】本题考查立体儿何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距

离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.

9.B

【详解】由抛物线V=4x的焦点为F(LO),准线方程为/:x=T

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点M(4,4),由抛物线的定义可知IMFl=IMM

所以/RWH的平分线所在的直线就是线段HF的垂直平分线

因为过点M(4,4)作直线/：X=T的垂线，垂足为H

所以点”的坐标为(T,4),所以FH的斜率*=WU=-2

所以NRw"的平分线的方程为a=故选B.

点睛：本题考查了直线的斜率公式，抛物线的定义的转化等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，

主要抛物线的简单的几何性质，斜率公式等知识点的合理运用.其中抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,

它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉

及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题，就可以使问题简单化.

10.D

再求了图.

【解析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定。=1

［详解］因为/(x)=2Sinωxcosωx-2∙j3sin2ωx=sin2ωx-2∙^×-~2ftλr

=sin2ωx+›∕3cos2ωx-∖∣3=2Sin(25+1)-道

由题意知/(x)的最小正周期为2xW=τ,所以?=乃，即。=1

22G

所以〃x)=2sin(2x+5)-√J

/^y^=2sin^+^-√3=-2√3.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三

角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.

11.A

【分析】由给定条件分析探求出点户所满足的关系，再结合圆锥曲线的定义即可作答.

【详解】设直线/W,AV与圆C相切的切点分别为点QT,如图

由切线长定理知，历=.媳，PQ-PT,NB=NT,于是有IPMHPN曰MQ~NTi=IMBH阳k2<6=IMNl

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则点P的轨迹是以M,/V为左右焦点，实轴长2小2的双曲线右支，虚半轴长6有〃=3?—/=8

所以点P的轨迹方程为d=1(χ>1).

8

故选：A

12.B

【分析】根据给定的数据信息构造函数，利用导数探讨函数的单调性即可比较大小作答.

Tt

,

【详解】令/(X)=SinX-Arcosx9X∈(0,—),求导得f(x)=COSX-(COSX-XSinX)=XSinX>。

TrTr

则函数/(X)在(0,5)上单调递增，于是/(x)>∕(0)=0,即x∈(0,]),sinx>xcosx

TT,

令g(x)=x-sinX,XG(0,—),求导得g'(x)=I-COSx>O

TTJT

则函数g(x)在(0,5)上单调递增，于是g(x)>g(O)=O,即x>sinx,当xe(O,])时COSX>0

ITtI

因此XCOSX>SinXCOSX=-sin2龙,贝IJ当Xe(0,—)时SinX>xcosx>—sin2x

222

取X=Ol,则有SinO.1>(Hcos(H>0.5sin0.2

所以CVaC江

故选：B

【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓

住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.

13.120

【分析】利用二项式展开式分两种情况求出即可.

【详解】由题意分两种情况：

①2xC；x『χ(_3x)2=108√

②(T)XC：xFX(-3X)=12X2

故犬的系数为：108+12=12()

故答案为：120.

π

14.§##60

【分析】由题意易得α∙6=∣d,结合夹角余弦公式可得结果.

【详解】:附1=2K|且α∙m-5)=0

Λp∕∣2-ab=0,即4∙Z?=同2

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.∙.cos(叫=卓i=£=：,此时夹角为锐角

同a∣2∖a∖2

π

：・a,b的夹角是

故答案为：ɪ

15.-7

【分析】法一：根据解析式和递推关系，分区间直接求解得到所有根，然后求和；

法二：绘出两个函数的整体图象，利用数形结合思想，结合对称性得到所有根的和.

【详解】法一：由题意，当x=l时〃1)=/(T)=0∙g(l)=-当OWl时一+1=9.即

3x+2

(x+l)(x2+x-l)=0,解得X=T域:WLISX<0时/(x)<Lg(x)>L无解；>'∣-2<r<-ll⅛∕(x)<2.

2

g(x)>2.无解;当-34x<-2时/(x)>0,g(x)<O,无解:当-44x<-3时〃x)=〃x+4)=(x+4)，l>l.

g(x)<l.无解；当一54x<-4时/(x)=f(x+4)=l-(x+4)2<l,g(x)<l,则I-(X+47=震.解得

X=T*;则上四+二1及=_4；"ix=-3时g(x)=∕(x)=0,可得所有根之和为-7.

222

法二：函数〃X)满足〃X)=H=Xm,则/(X)关干点(0.1)对称,又因为/(χ)=∕(χ+2),故/(χ)关

11—ʌ,x∈LLU)

于点(-2,1)对称，g(x)=三!也关于点(一2，1)对称，如图

g(x)=%过点(TO)和(-1,2)

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两函数的图象有如图所示的三个交点，其横坐标为对应方程的三个实数根.

X+毛=2x(-2)=YX2=-3

由于点(-1,2)不在/(x)上，所有根之和为-7.

【点睛】利用数形结合思想，注意函数的图象的对称性的应用，是快捷高效的方法.

16.317

【解析】根据弓形的锯口深1寸，锯道长1尺，求出圆的半径，从而求出弓形(阴影部分)面积后，由柱

体体积公式得木材体积

【详解】如图，设圆半径为尸寸(下面长度单位都是寸)，连接QAOD,已知Ao=；A8=5,

OD=OC-CD=T-I

在W一ADO中+㈤2=物2,即52+(r-I)2=/,解得r=13

AΓ)5

由SinNAOD=—二—得ZA00=22.5。，所以ZAoB=45。

AO13

图中阴影部分面积为S=S『上"]32jχlθx*6∙3325(平方寸)

Z∆Λ(√∏2Cπ2C

镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体

所以其体积为V=S∕7B6.3325X50N317(立方寸)

故答案为：317.

【点睛】本题考查柱体的体积，关键是求底面面积，方法是由扇形面积减去相应三角形面积得弓形面积,

属基础题.

17.(1)an=n

(2)2

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SnLn+↑FS1,(n=1)

【分析】(1)根据等差数列的定义及通项公式求出」=一厂，再根据∕=｛°c/、、、求出。“=〃；

an2b-S,,τ,5≥2)

(2)利用等比数列前〃项和公式求出Lz,然后应用二项式展开式求余数

［详解］(1)由且_&=_；有S_即&L-2=;

a

4+ιn2all+tall2a,,+lan2

S

又q=1,故-L=I

%

所以数列是以1为首项，g为公差的等差数列

S〃+1〃+1

所以j11=-Γ^,即S,,==i∕

a„22

,,r,n+2-∏--liχr,.rfzn"+2n+lππnn+1

故S“+i=-y-an+t,两式相减得α,,+l=-y-«„+|-——an,即-an+l=­an

所以41L=4L==幺=1

H+1nI

因此｛可｝的通项公式为4,="∙

(2)由(1)及4=2""，有d=2",所以弓I=22"-2=4"-2

又4"=(3+1)"=Cθ3,'+Cj,3n^'++C7'3'+1

因为C7,C),,C：T均为正整数，所以存在正整数k使得4"=3左+1

故J=2?"-2=4"-2=31

所以Aa除以3的余数为2.

18.(1)见解析

【分析】(1)先在面ABC。内证明5E)J_CE,再证明尸E_L面EBC,PElBD证得8。工面PEC,由面面

垂直的判定定理得到平面平面尸EC.

(2)建系，利用法向量求二面角的平面角的余弦值.

【详解】(1)证明：BC_L平面R4B,ADHBC,ADL平面PAB

E为AB的中点，R4=AB=BC=2AD=I

.∙.AD=BE,AB=BC,ZDAB=NEBClDABdEBC,

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.∙.ΛABD=NECB,NEBD+ZDBC=NECB+NDBC=90o

:.BDLCE

又.8Cl.平面PA8,PEU平面R4BΛBCLPE

又PELEC,BCEC=C8C,ECu平面EBC

.•.依,平面破。，又配>u平面£8C

.-.PELBD,又BD工CE,PECEC=E,PE,ECu平面PEC

..8。，平面PEC

QBQU平面PBD

3。_1平面皿，，82,8”,8(7两两相互垂直

以B为坐标原点，BP,BM,BC所在直线分别为X，KZ轴建立如图空间坐标系

由(1)知，PE_LAB,E为48中点，则PB=PA=AB=2

则P(2,0,0),C(0,0,2),A(L√3,0),E(∣,y,0),0(1,瓜1)

PC=(-2,0,2),PD=(-1,√3,1),BD=(1,√3,1)

BZ〃面PEC,：.面PEC的一个法向量是BD=(1,√3,1)

设面OPC的法向量"=(x,y,z)

n-PC=O-2x÷2z=0X=Z

则

n-DP=Or+Gy+z=0y=0

所以面。尸C的一个法向量为“=(1,0,1)

______2√io

:.cos(",3f>>=nBD

∣n∣∙∣BD∣^√2∙√5^5

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所以二面角。-PC-E的余弦值为叵

5

19∙ωΞ

Q

⑵分布列见解析，E(X)=∣,能获得吉祥物

【分析】(1)依据古典概型即可求得选出的3人中至少有一位是女生的概率；

(2)依据二项分布即可得到才的分布列及其数学期望E(X),再与获得2022冬奥会吉祥物的条件进行比较

即可预测甲能否获得冬奥会吉祥物.

(1)

由题可知，抽取的9名大学生中6名男生，3名女生；

则选出的3名学生中至少有一名女生的概率尸=1-冬=或

21

(2)

由题可知X~8(4,|j.∙.p(χ=o)=C,(gj=t

P(X=I)=C弱Y和p(χ=2)=喏j©*

所以才的分布列

才01234

18243216

P

81818?8181

9Q

所以E(X)=叩=4χ(=A2即能获得吉祥物.

20.(1)动点M的轨迹方程为(x+2)2+V=4,曲线C是以(-2,0)为圆心，2为半径的圆(2)/的方程为

2x-y=0或2x—29y+56=0.(3)证明见解析，所有定点的坐标为(-2,0)和(-5,-3)

∖MA∖1

【分析】(I)利用两点间的距离公式并结合条件扇=5,化简得出曲线C的方程，根据曲线C方程的表

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示形式确定曲线C的形状;

(2)根据几何法计算出圆心到直线的距离d=撞，对直线/分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜

5

率存在，结合圆心到直线的距离d=撞求出直线的斜率，于此得出直线/的方程；

5

(3)设点尸的坐标为根据切线的性质得出PGLGC',从而可得出过G、P、C'三点的圆的方

程，整理得出x2+y2+2x+8y+w(-x-2+y)=0,然后利用

『+v-+2Λ∙+8y^解出方程组可得出所过定点的坐标

-x+y-2=0

【详解】(1)由题意得聿Ei⅛=[,化简可得：(x+2)2+y2=4

J(X-2/+y22

所以动点M的轨迹方程为(X+2)2+∕=4.

曲线C是以(-2,0)为圆心，2为半径的圆；

(2)①当直线/斜率不存在时x=l,不成立；

②当直线/的斜率存在时设/：y-2=Z(X-I),叩履-y+2-2=0

圆心。(一2,0)至∣J/的距离为d=———V∣EF∣=2y∣4-d2=Cʌ/ʒ)

Λd2=-=a~3k)2,即29公-604+4=0,解得&=2或4=/

5∖+k229

Λ/的方程为2x-y=0或2x-29y+56=0；

(3)证明：∙.∙P在直线x+y+8=0上，则设P(a,τ"-8)

：C'为曲线C的圆心，由圆的切线的性质可得PGLGC

经过G,RC的三点的圆是以PC为直径的圆

则方程为(X+2)(x-㈤+My+m+8)=0

整理可得χ2+y2+2x+8y+%(-x-2+y)=0

4∙x2+y2+2x+8>,=0,且一x-2+y=0

则有经过G,P,C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为(-2,0)和(-5,-3).

【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题，解决圆

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所过定点问题，关键是要将圆的方程求出来，对带参数的部分提公因式，转化为方程组求公共解问题.

21.(1)a=l

⑵(2,+8)

【分析】(1)求出函数导数，令/(x)=l求得切点即可得出方程，比较可得出答案；

(2)构造函数g(x)=xlnx+lnx-0x+”,利用导数讨论g(x)的单调性，根据函数值变化可得.

【详解】(1)/5)的定义域为(0,+∞)和/'(X)=InX+1.

令f(x)=l,得x=l,又/⑴=。

所以曲线y=f(χ)的斜率为1的切线为y=χ-l+α

由题意知这条切线即y=χ,故a=l.

(2)存在Xc(l,+8),使得/(x)+lnx<G成立，即存在x∈(l,÷w),使得XInX+Inx—办+ovθ成立.

设g(x)=xlnx+lnx-0^+α,贝Ug'(x)=lnx+l+!-”.

X

设〃(X)=InX+1+工一〃,则h∖x)=---=jɪ.

XXX'X

当X∈(0,1)时h,(x)<O,当X∈(1,+∞)时hf(x)>O

所以Mx)min=A(l)=2-α.

若α≤2,则>(x)≥0,即g'3≥0,所以g(x)单调递增

故当χ∈(l,+∞)时g3>g⑴=0,不符合题意.

若a>2,//⑴=2-α<0和Me")=l+J>O

所以存在XOe(I,e"),使得//(%)=()

当xe(l,x°)时MX)<0,即g")<0,g(x)在(l,x0)上单调递减

所以当xe(l,%)时g(x)<g(I)=0,符合题意.

综上可知，。的取值范围是(2,+8).

22.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)由题意解得4,乩两点的坐标，表示α,,利用S“与S,-的关系证明结论；

2Sɪ