数学人教A版必修3学案第二章统计本章小结

本章小结一、抽样方法在生活中的应用本章学习了三种常用的抽样方法：简单随机抽样法、系统抽样法和分层抽样法．这几种抽样方法的共同特点是：在抽样过程中每一个个体被抽到的可能性是一样的，体现了抽样方法的客观性和公平性．简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样法．一般地，当总体中个体数较多时，常采用系统抽样法，当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样法．研究统计问题的基本思想方法就是用样本估计总体，对于样本的选择尤为重要．选择适当的抽样方法抽取具有代表性的样本对整个统计问题起着至关重要的作用．[例1]某社区有700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某中学高二年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调查投篮命中率情况，记作②；从某厂生产的604辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③，为完成上述三项抽样，则应采取的抽样方法是()A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样，③系统抽样C．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样[解析]注意三种抽样的区别．对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，故应采用分层抽样；对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对于12名调查对象是平等的，故应采用简单随机抽样；对于③，总体个数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采用系统抽样．[答案]B[例2]采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]内的人做问卷A，编号落入区间[451,750]内的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7 B．9C．10 D．15[解析]由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为eq\f(960,32)＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]内的有459,489，…，729，所以做问卷B的有10人．[答案]C我们在生活中有很多问题需要抽样，如某单位想对某项决策搞一个民意测验，抽取一部分员工做测试．像这样的例子有很多，同学们应注意多观察多举例．二、总体分布估计的应用总体分布反映了总体在各个范围内取值的可能性的大小，在实际问题中，总体分布可以为合理的决策提供依据，因此问题的解答就转化为求总体的分布问题．其解决的途径是通过样本来估计总体．在很多情况下，总体分布是由总体的几个数字特征所唯一确定的，或要解决的问题是关于总体数字特征的问题，这就需要估计总体的数字特征，其途径也就是通过样本来进行估计．样本估计总体有两种方法：(1)由样本频率分布直方图估计总体分布直方图；(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征．[例3]某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称购票用时，单位：min)，下面是这次抽样的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题.(1)这次抽样的样本容量是多少？(2)在表中填写缺失的数据并补全频率分布直方图．(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一小组？(4)若每增加一个购票窗口可使平均购票用时缩短5min，要使平均购票用时不超过10min，那么你估计最少要增加几个窗口？[解](1)样本容量为100.(2)(3)设旅客平均购票时间为smin，则有eq\f(0×0＋5×10＋10×10＋15×50＋20×30,100)≤s<eq\f(5×0＋10×10＋15×10＋20×50＋25×30,100)，解得15≤s<20，故旅客购票用时的平均数可能落在第四小组．(4)设需增加x个窗口，则20－5x≤10，解得x≥2，故至少需要增加2个窗口．[例4]某学校高一(3)班甲、乙两名同学的最近5次数学测验成绩(单位：分)统计如下：甲6598949895乙62989910071(1)分别写出甲、乙成绩的平均数和中位数；(2)分别用平均数和中位数分析甲、乙两位同学，哪位同学成绩较好；(3)又知同班同学丙的最近5次数学测验成绩(单位：分)如下：丙8090869995分别从平均数、中位数和方差等方面分析甲与丙的成绩谁好谁坏，并说明理由．[分析]先按平均数和中位数的定义求出数据的平均数和中位数．根据方差的公式求出它们的方差，判断成绩波动大小．[解](1)平均分：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(65＋98＋94＋98＋95)＝90，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(62＋98＋99＋100＋71)＝86.甲的中位数是95，乙的中位数是98.(2)从平均分看，甲的平均分高，甲的成绩较好；从中位数看，乙的中位数大，乙的成绩较好．(3)eq\x\to(x)丙＝eq\f(1,5)×(80＋90＋86＋99＋95)＝90，丙的中位数为90.seq\o\al(2,丙)＝eq\f(1,5)×[(80－90)2＋(90－90)2＋(86－90)2＋(99－90)2＋(95－90)2]＝44.4；seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(65－90)2＋(98－90)2＋(94－90)2＋(98－90)2＋(95－90)2]＝158.8.由于两人的平均分相同，所以从平均分看，甲、丙成绩一样好；从中位数看，甲的中位数高，甲的成绩好；从方差看，丙的方差小，丙的成绩较稳定，所以丙的成绩好．三、回归方程的应用除了函数关系这种确定性的关系外，还有大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系．本章主要学习一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．主要是作出散点图和求出回归直线方程．[例5]人口问题是我国最大的社会问题之一．预测人口数量及其发展趋势是我国制定一系列相关政策的基础．由人口统计年检查得我国从1949年至1994年人口数据资料如下：试估计我国1999年的人口数，并查阅有关资料证实你的结论．[解](1)在直角坐标系中描出数据的散点图(图略)，直观判断散点在一条直线附近．(2)用线性回归方程拟合二者关系，为便于计算，可将数据适当简化，如将年份减去1949并用x表示，以y表示人口数，则得到下表：再用计算器计算得：eq\o(b,\s\up6(^))≈14.51006，eq\o(a,\s\up6(^))≈526.5