新教材数学人教A版作业4-5-2用二分法求方程的近似解

第四章A组·素养自测一、选择题1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(C)A．x1 B．x2C．x3 D．x4[解析]用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C．2．函数f(x)＝x＋lgx－3的零点所在的大致区间是(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2)))[解析]∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(3,2)＋lgeq\f(3,2)－3＝lgeq\f(3,2)－eq\f(3,2)<0，f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝eq\f(5,2)＋lgeq\f(5,2)－3＝lgeq\f(5,2)－eq\f(1,2)<0，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝eq\f(7,2)＋lgeq\f(7,2)－3＝eq\f(1,2)＋lgeq\f(7,2)>0，又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C．3．(2021·锦州高一检测)函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1，1)和区间(1，2)上分别存在一个零点，则实数a的取值范围是(B)A．－3<a<1 B．eq\f(3,4)<a<1C．－3<a<eq\f(3,4) D．a<－3或a>eq\f(3,4)[解析]∵函数f(x)＝ax2－2x＋1在(－1，1)和(1，2)上分别存在一个零点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）f（1）<0,f（1）f（2）<0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋3）（a－1）<0,（a－1）（4a－3）<0))解得eq\f(3,4)<a<1.故选B．4．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围是(A)A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1][解析]记f(x)＝x2＋2px＋1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在点(1，0)的左方，另一个在点(1，0)的右方，∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0.∴p<－1.∴p的取值范围为(－∞，－1)．二、填空题5．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2).x－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892(1)(－1，0)；(2)(0，1)；(3)(1，2)；(4)(2，3)．[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147<0，F(0)＝－0.44<0，F(1)＝0.542>0，F(2)＝0.739>0，F(3)＝0.759>0，所以F(0)·F(1)<0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2)．6．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x>0))的零点个数是2．[解析]当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝eq\r(2)(舍)或x＝－eq\r(2)，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点．当x>0时，f(x)＝2x－6＋lnx，令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝6－2x.作出函数y＝lnx与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象(图略)，则两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋lnx(x>0)只有一个零点．综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.三、解答题7．已知方程2x＋2x＝5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间；(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．参考数值：x1.251.281251.31251.3751.52x2.3782.4302.4842.5942.828[解析](1)令f(x)＝2x＋2x－5.因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)内．(2)用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值符号(1，2)1.5f(1.5)>0(1，1.5)1.25f(1.25)<0(1.25，1.5)1.375f(1.375)>0(1.25，1.375)1.3125f(1.3125)>0(1.25，1.3125)1.28125f(1.28125)<0因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.3125－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数的零点近似值为1.3125，即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.3125.B组·素养提升一、选择题1．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝eq\f(a＋b,2)与其实零点的误差最大不超过(B)A．eq\f(ε,4) B．eq\f(ε,2)C．ε D．2ε[解析]真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－eq\f(a＋b,2)＝eq\f(a＋b,2)－a＝eq\f(b－a,2)<eq\f(ε,2)，因此误差最大不超过eq\f(ε,2)，故选B．2．(多选题)已知函数f(x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为(0，eq\f(a,2))，(0，eq\f(a,4))，(0，eq\f(a,8))，则下列说法不正确的是(ACD)A．函数f(x)在区间(0，eq\f(a,16))内一定有零点B．函数f(x)在区间(0，eq\f(a,16))或(eq\f(a,16)，eq\f(a,8))内有零点，或零点是eq\f(a,16)C．函数f(x)在区间(eq\f(a,16)，a)内无零点D．函数f(x)在区间(0，eq\f(a,16))或(eq\f(a,16)，eq\f(a,8))内有零点[解析]根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在(0，eq\f(a,16))或(eq\f(a,16)，eq\f(a,8))中或零点是eq\f(a,16).故选ACD．二、填空题3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝0.25．[解析]∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴f(x)在(0，0.5)内必有零点，利用二分法，则第二次应计算feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0.5,2)))＝f(0.25)，∴x1＝0.25.4．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称4次就可以发现这枚假币．[解析]将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．三、解答题5．已知函数y＝|3x－1|，试问k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[解析]作