2023年中考数学复习07 函数类综合问题

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重难点07函数类综合问题

命题趋势

首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏.涉及题目数量一

般3-4题，其中有1-2道大题.所占分值大约25分左右.二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压

轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大.二次函数在考

查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形、几何变换相结合，综合性很强，技巧性也

很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低.其实我们只

要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难

事，多多练习，多多总结.

满分技巧

1.通过思维导图整体把握二次函数所有考点

1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）；

2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）；

3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题）

2.二次函数的压轴题主要考向

1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）、几

何变换等）；

2）最值问题（线段、周长、面积）

3.熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略

1）线段最值（周长）问题——斜化直策略

2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略

3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题

4）线段差——三角形三边关系或函数

5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论

6）（特殊）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法

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限时检测1：最新各地模拟试题（90分钟）

yW3κY

1.（2023•安徽黄山•校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数’22的图象与

X轴交于点4C两点，与y轴交于点8,对称轴与X轴交于点若尸为y轴上的一个动点，连接产。，

-PB+PD

巫皇「海

A.4B.2C.ʌ/ɜD.4

2.（2023•江西南昌・南昌市外国语学校校考一模）如图，抛物线y=α-+bx+c与X轴交于点/（T'°）,

8（3°）,交N轴的正半轴于点C,对称轴交抛物线于点。，交X轴于点E,则下列结论：（↑）b+2c>0,

②a+b”-+.（加为任意实数）；③若点P为对称轴上的动点，则阿-PC有取大值，最大值为

户3;④若m是方程“χ2+bx+c=°的一个根，则一定有"YM=（2皿+6）2成立.其中正确的序号有

A.①②③④B.①②③C.③④D.①②④

y——（x+l）（x-4）

3.（2023•福建漳州•统考一模）已知抛物线"2'的图象与X轴交于A,8两点（点A在点B

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的左则），与y轴交于点C,连接8C,直线V=区+1小>°）与y轴交于点。，交8C上方的抛物线于点E

，交BC于点F,下列结论中错误的是（）

EFk_2

A.点C的坐标是（°©B.OC=WDC.当而的值取得最大时，一？D.A∕8C是直角三角形

4.（2023・重庆九龙坡•校考一模）已知点Na〃然）在二次函数y=∕-2x+l上，其中再=1,巧=2

xn

"=,令4=玉+力，A2=x2+y3........A,,=X,,+y„+i；纥为4的个位数字（〃为正整数），

1112022

----F1----FL+------=-------

贝Ij下列说法：①4=30；②芭+超+覆+匕=M-8+%-%+%；③4A2A20222023；④

4-24”的最小值为-132,此时〃=11；⑤q+冬+L+冬叱的个位数字为6.正确的有（）个

A.2B.3C.4D.5

5.（2023•山东枣庄•校考一模）二次函数N="/+队+c（"≠0）的图像的一部分如图所示，已知图像经过点

（一L°）,其对称轴为直线X=1.下列结论：①人<0；②尸-4K<0；③8a+c<0；④9q+3b+2c<0

；⑤点Ca‘必）。（马,力）是抛物线上的两点，若玉<%，则乂<%；⑥若抛物线经过点（-3，〃），则关于X

的一元二次方程"V+zυc+c-"=°S*°）的两根分别为-3,5；其中正确的有（）

6.（2023•浙江温州•校考一模）对于二次函数y="2+⅛x+c,规定函数卜。-—bx-c（x<0）是它的相关

f-l,ll化1）

函数.已知点M,N的坐标分别为I2A12九连接MN,若线段MN与二次函数y=-x+4x+”的

相关函数的图象有两个公共点，则〃的取值范围为（）

ʌ1<"≤-1≤/7≤ɪ

A.-3<"≤T或4B.-3<〃<一1或一一4

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5

1<Zj≤—

C."≤-l或4D.-3<拉<-1或〃≥1

7.（2023・安徽合肥・统考一模）己知点"（"力）是抛物线y=i-4x+5上一动点.

（1）当点又到y轴的距离不大于1时，6的取值范围是；

（2）当点用到直线X=W的距离不大于"（〃>°）时，6的取值范围是5≤b≤10,则加+〃的值为.

k

y=—

8.（2023•浙江宁波•校考一模）如图，A,8为反比例函数'X第一象限图象上任意两点，连接8°并延长

交反比例函数图象另一支于点C,连接"C交X轴于点尸，交N轴于点G,连接8G,连接/8并向两侧延

BE_2AB

长分别交X轴于点E,交y轴于点D已知/85,SAOBC=3,则。E,A的值为.

9.（2023•广东深圳・深圳外国语学校校考一模）如图，在正方形"5CO中，对角线ZC,8。相交于点°,

点E是°。的中点，连接"并延长交于点G,将线段CE绕点C逆时针旋转90。得到Ck,连接叱，

GE

点”为跖的中点.连接则次的值为.

10.（2023•河北石家庄•统考模拟预测）如图所示，已知在平面直角坐标系XS'中，点“（15,8）,点M是横

轴正半轴上的一个动点，°P经过原点0,且与ZM相切于点用.（I）当"M'χ轴时，点尸的坐标为

;（2）设点尸的坐标为（XJ）,则y关于X的函数关系式为（不用写出自变量X

的取值范围）；

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（3）当射线。尸与直线％”相交时，点〃的横坐标/的取值范围是

/7K=-（X>0）

11∙（2023∙四川成都•统考一模）如图，正比例函数M="3x与反比例函数…X的图像交于点4

另有一次函数y=-"r+b与必、力图像分别交于仄C两点（点C在直线°/的上方），且

OB'-BC2—

12.（2022•浙江金华•校联考三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线

BC为同一抛物线的一部分，AB,C°都与水平地面平行，当杯子装满水后48=4cm,CD=8cm,液体

高度12cm,将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角//8E=45。时停止转动，如图2所示，此时液面宽

度BE=Cm,液面BE到点C所在水平地面的距离是cm.

13.（2023•江苏常州•常州市校考模拟预测）如图1,抛物线y="2+bx+c的图像与无轴交于

/（-2,0），8（5,0）两点.过点C（2,4）动点。从点/出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，设运

动的时间为，秒.⑴求抛物线=+'的表达式；（2）过。作。E2Z8交/C于点£,连接BE,当，=3

时，求MCE的面积；⑶如图2,点F（4,2）在抛物线上.当f=5时，连接/尸、CF、CD,在抛物线上是否

存在点p,使得/Nb=/Oa7若存在，直接写出此时直线CP与X轴的交点。的坐标，若不存在，请简

要说明理由.

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14.(2023•广东佛山•模拟预测)如图1,对于平面内小于等于90。的NMON,我们给出如下定义：若点P

在NMCW的内部或边上，作PELOM于点E,PFLoN于点、F,则将尸E+PF称为点P与NMON的，，点

角距‘‘，记作"(N"°MP).如图2,在平面直角坐标系χQy中，x、y正半轴所组成的角为Nχ°y.

(1)已知点/(5，°)、点8(3,2),则“(NxOyJ)=,d(NxOy,B)=.

(2)若点尸为NX0内部或边上的动点，且满足"(Nx°y∕)=5,在图2中画出点尸运动所形成的图形.

=」2

(3)如图3,在平面直角坐标系'OP中，抛物线'--亍+"H月经过"6°)与点。(3,可两点，点。是A、

。两点之间的抛物线上的动点(点。可与A、。两点重合)，求当"(∕x°C'°)取最大值时点。的坐标.

15.(2023•广东佛山•统考一模)二次函数N=χ2-2mx+∕√+"L5.(])当机=1时，函数图象与X轴交于点

A、8,与V轴交于点C.①写出函数的一个性质；②如图1,点P是第四象限内函数图象上一动点，求

出点P坐标，使得A8CP的面积最大；③如图2,点°为第一象限内函数图象上一动点，过点。作OF,、

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轴，垂足为尸，A∕8°的外接圆与。尸交于点。，求。尸的长度；（2）点MajJ、N（X2,%）为函数图象上

任意两点，且看＜々.若对于再+%＞3时，都有求"的取值范围.

图1图2

16∙（2023∙黑龙江哈尔滨・统考一模）如图，在平面直角坐标系中，°为坐标原点，抛物线V="2+6x+c

与X轴交于点A、B（A左8右），与N轴交于点C,直线V=r+3经过点8、C,AB=A.

（1）求抛物线的解析式：（2）点。在直线BC上方的抛物线上，过点。作X轴的垂线，垂足为尸，交BC于点、

E,DE=IEF,求点。的坐标；（3）在（2）的条件下，点G在点8右侧X轴上，连接CG,AC,

ZACO=-ZAGC

2,过点G作GP,x轴交抛物线于点P,连接8尸，点”在V轴负半轴上，连接印"若

NoHF+NGPB=45。，连接O4,求直线。”的解析式

17.（2023•山东济南•统考一模）已知抛物线，="r+以+4过4-1，°＞以40）两点，交V轴于点C.

（1）求抛物线的表达式和对称轴；（2）如图1,若点P是线段OC上的一动点，连接NABP,将A∕8P沿直线

8尸翻折，得到AH8P,当点/'落在该抛物线的对称轴上时，求点尸的坐标；（3）如图2,点M在直线BC

上方的抛物线上，过点/作直线BC的垂线，分别交直线8C、线段/C于点N、点E,过点E作M∙LX

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轴，求EH+6EM的最大值.

18.（2023•山西晋中•统考一模）如图，抛物线N=-∕+3X+4与X轴交于4B两点（点/在点8左侧），

与y轴交于点C,连接ZC,BC,点E为线段BC上的一点，直线RE与抛物线交于点从

（1）直接写出/,B,C三点的坐标，并求出直线BC的表达式；（2）连接"B,HC,求AHBC面积的最大

值；

（3）若点尸为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点0,使得以B,C,P,。为顶点的四边形是以

BC为边的矩形？若存在，请直接写出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

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19.（2023・广东佛山・统考一模）如图，抛物线卜二公〜取+^^^①与工轴交于48两点，与了轴交于点

C（°'6）,顶点为。，且"O''）.（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M,过点。作

交8C的延长线于，，且Mo=“α,求点”的坐标；（3）点尸是N轴上一动点，点0是在对称

轴上一动点，是否存在点P,。，使得以点P,Q,C,。为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点。的坐

标；若不存在，请说明理由.

20.（2023∙湖南长沙•校联考一模）如图，抛物线故+C（'≠°）的顶点为与y轴交于点C.过点

Z作线段N8垂直>轴交于点反过点C作线段8垂直抛物线的对称轴交于点。，我们称矩形/8。为抛

物线V=苏+⅛X+C。≠0）的，，伴随矩形，，.⑴请根据定义求出抛物线y=2x2+4x-2的，，伴随矩形,，ABCD的

面积：（2）已知抛物线V=-X?-3x+2的“伴随矩形,,为矩形”8,若矩形"CO的四边与直线

3加

V=----

N=机x-,"+l共有两个交点，且与双曲线.X无交点，请直接写出机的取值范围；（3）若对于开口向上

33

y=ax~9+bx+-（b≠O）9Cax'+Ax÷—=O

的抛物线.2,当N=O时，方程2的两个根为％X2,且满足下列条件：

①该抛物线的“伴随矩形”/8CZ）为正方形；②l≤S.g>49（其中S,"表示矩形/8CQ的面积）；③

X,+x；+（2-----t）x,x-y

-3-的最小值为-20/.请求出满足条件的，值.

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21.（2023•山东泰安•宁阳二中校考一模）如图，抛物线N=/+辰+°过"（T°）,8（6,0）,C（0,8）三

点；点尸是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是〃?，且l<m<6.

（1）试求抛物线的表达式；直接写出抛物线对称轴和直线BC的表达式；（2）过点尸作尸N〃y轴并BC交于点

PM=-PN

N,作PA/〃X轴并交抛物线的对称轴于点M,若3,求点尸的坐标；（3）当点尸运动到使

ZPAB=-ZABC

2时，

22.（2023・广东深圳•深圳市南山外国语学校校考一模）小明同学在探究函数V=FTx+3∣的图象和性质

时经历以下几个学习过程：

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r，

ΓnTΓΓTΓn□IrO□IΓlπ□IΓΓ:工ΓΓ□IΓ二I∏IΓl

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LτLuJILUJILlr1L-JIL-IJILl

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LτL:工LLlJILuJILlnLLLJILJILl

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1_-LJ-1_一.-LX.L-IJ.L.1—1」XI-I1_-JJ.JLI-I-.-LL-1—1-Iɪ1-1-1-LXUl

（II）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）∙（III）根据图象解决以下问题：

（1）观察图象：函数∙y=--4x+3∣的图象可由函数X=X2-4χ+3的图象如何变化得到？

答：.

（2）探究发现直线J=8与函数夕=--4》+3］的图象交于点£F,E（T,8）,尸（5,8）,则不等式

11的解集是.

（3）设函数V=N-4x+3∣的图象与X轴交于4,8两点（8位于”的右侧），与y轴交于点C.

①求直线BC的解析式：②探究应用：将直线BC沿N轴平移Zn个单位长度后与函数VTX2一八+3］的图象

恰好有3个交点，求此时机的值.

23∙（2023∙湖北武汉•校考一模）在平面直角坐标系中，抛物线。号="一+近一3恰好经过（45）,（3,0）,

（%】）三点中的两点.（1）直接写出。，6的值；（2）抛物线G与X轴交于A,8两点，与V轴交于点。，C为

抛物线G的顶点，抛物线G的对称轴与X轴交于点£,在X轴上取点E,使ZfCO=ZSCE,求点尸的坐

标；

（3）将抛物线G向上平移4个单位，向左平移1个单位得到抛物线G,点M在X轴上，过"的直线与抛物

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线G交于点P,0,与V轴交于点N,求证：MN=MPMQ.

24.（2023•湖南长沙•校联考二模）如图1,抛物线夕=加+3"为常数，。＜。）与X轴交于O,4两

点，点8为抛物线的顶点，点。是线段°/上的一个动点，连接8。并延长与过O,A,8三点的°夕相交

于点C,过点C作O尸的切线交X轴于点E.（1）①求点A的坐标；②求证：CE=DE；（2）如图2,连接

2√3J____1_

AB,AC,BE,BO,当“一一亍，NOE=NOBE时，①求证：AB2≈ACBE.②求而一下的

值.

25.（2023•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）抛物线y="2-3αx+4交N轴于点C,交X轴负半轴于点A,交

X轴正半轴于点6,己知/8=5.

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(1)如图1,求抛物线解析式：(2)如图2,点尸是第一象限抛物线上一点，设P点横坐标为I,APBC面积为

S,试用，表示S；(3)如图3,在(2)的条件下，连接°尸，将射线尸°绕点P逆时针旋转45°得到的射线

与CB的延长线交于点G,与X轴交于点尸，连接/P与P轴交于点E,连接8E,过点C作N轴的垂线与

过点8作BE的垂线交于点Q,连接DE,与°P交于点，，且2NG+NPHD=90°,求点G点的坐标.

限时检测2：最新各地中考真题(90分钟)

zυr

1.(2022・福建・中考真题)在平面直角坐标系x。F中，已知抛物线y="∕+经过/(4,0),B(1,4)

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两点.P是抛物线上一点，且在直线48的上方.（1）求抛物线的解析式；（2）若4O48面积是4P∕8面积的

2倍，求点尸的坐标；（3）如图，OP交AB于煎C,PD〃BO交4B于点、D.记ACDP,∕∖CPB,ZXCBO的

区+邑

面积分别为E,邑，53.判断$2邑是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

2.（2022•贵州黔东南•中考真题）如图，抛物线y=α-+2x+c的对称轴是直线χ=l,与X轴交于点A,

BO，。），与y轴交于点C,连接NC.（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个

动点，过点。作OWX轴，垂足为点"，OM交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C

,N为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由：（3）已知点E

是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点尸，使以点B、C、E、尸为顶点的四边形为矩形，若

存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

t—KXvf4—

3∙（2022∙湖南长沙•中考真题）若关于X的函数H当22时，函数》的最大值为最小值为

M-N

n7=---------

N,令函数2,我们不妨把函数〃称之为函数V的“共同体函数”.

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⑴①若函数∙V=4044X,当f=l时，求函数y的“共同体函数，%的值；

②若函数y="+%d≠0,hb为常数），求函数y的“共同体函数”〃的解析式；

y=-（3≥1

（2）若函数X,求函数y的“共同体函数*的最大值；

（3）若函数V=一/+4x+%,是否存在实数鼠使得函数y的最大值等于函数y的，，共同体函数，%的最小

值.若存在，求出发的值；若不存在，请说明理由.

4.（2022•内蒙古包头•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线V=αχ2+c（α≠0）与X轴交于4B

两点，点8的坐标是（2，°）,顶点C的坐标是（0，4）,/是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线/〃与

V轴交于点G.（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1,N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接。必，记

A∕OG,AM°G的面积分别为力$2.当E=2Sz,且直线CN〃/〃时，求证：点N与点M关于y轴对称；

（3）如图2,直线8河与y轴交于点H,是否存在点使得20"-0G=7.若存在，求出点河的坐标；若

不存在，请说明理由.

图1图2

2

5.（2022・四川广安・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线V="-+'+777（α≠0）的图象与X轴

交于4、C两点，与y轴交于点8,其中点8坐标为（0,—4）,点C坐标为（2,0）.

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（1）求此抛物线的函数解析式.（2）点。是直线下方抛物线上一个动点，连接BD,探究是否存在点

D,使得A48O的面积最大？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得为直角三角形，请求出点尸的坐标.

6.（2022・海南•中考真题）如图1,抛物线N="f+2x+c经过点/（一1，0）、C（O，3）,并交X轴于另一点

8,点Ax/）在第一象限的抛物线上，NP交直线BC于点。.

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（L4）时，求四边形8°CP的面积；

（3）点0在抛物线上，当ZO的值最大且A/尸。是直角三角形时，求点0的横坐标；（4）如图2,作

CGLCP,CG交X轴于点G（〃,0）,点，在射线CP上，且S=CG,过G”的中点K作K/〃y轴，交抛物

线于点/,连接口，以田为边作出如图所示正方形”/MN,当顶点M恰好落在了轴上时，请直接写出点

G的坐标.

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y=—JV-+bx+c.

7.（2022•内蒙古呼和浩特•中考真题）如图，抛物线2经过点8n（z4,λ0x）和点C（0,2）,与X轴的

另一个交点为A,连接“C、BC.（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）如图1,若点。是线段ZC的中

点，连接8。，在V轴上是否存在点E,使得AME是以8。为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的

坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2,点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作尸0〃y轴，分别

交BC、X轴于点M、N,当△尸MC中有某个角的度数等于NO8C度数的2倍时，请求出满足条件的点P

的横坐标.

8.（2022•黑龙江哈尔滨•中考真题）在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线V="?+"经过点

128人点12切，与y轴交于点C.⑴求α,Z）的值；（2）如图1,点。在该抛物线上，点。的横

坐标为-2,过点。向y轴作垂线，垂足为点E.点产为y轴负半轴上的一个动点，连接。P、设点P的纵

坐标为A。EP的面积为S,求S关于/的函数解析式（不要求写出自变量，的取值范围）；（3）如图2,在

（2）的条件下，连接°/,点尸在°”上，过点尸向y轴作垂线，垂足为点4,连接。/交y轴于点G,

点G为。尸的中点，过点N作V轴的平行线与过点尸所作的X轴的平行线相交于点N,连接CN,PB,延

长PB交4N于点M,点R在「历上，连接秋，若3CP=5GE,ZPMN+ZPDE=2ΛCNR,求直线EN的

解析式.

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9.（2022・湖北宜昌•中考真题）已知抛物线y=αχ2+6x-2与X轴交于Z（T0）,以4,0）两点，与y轴交于

点C.直线/由直线BC平移得到，与了轴交于点后（&〃）.四边形MNPO的四个顶点的坐标分别为

N(加+1/77)P(τw+5,∕w)

Λ∕(∕%+l,m+3)。(m+5,+3).⑴填空:b=

y=∙~~∙

（2）若点M在第二象限，直线/与经过点M的双曲线∙X有且只有一个交点，求“2的最大值;

（3）当直线/与四边形MNP0、抛物线歹="2+以-2都有交点时，存在直线/,对于同一条直线/上的交

点，直线/与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线N="/+法-2的交点的纵坐标.

①当机=-3时，直接写出〃的取值范围；②求加的取值范围.

X轴交于力，8两点（点/在点8的左侧），与N轴交于点C,顶点为Zλ其对称轴与线段8C交于点E,

与X轴交于点E连接/C,BD（1）求4B,C三点的坐标（用数字或含机的式子表示），并求N08C的

度数；

（2）若N4C0=NC8D,求切的值；（3）若在第四象限内二次函数N=-/+2加x+2〃?+I（ZM是常数，且机＞0

）的图像上，始终存在一点P,使得43=75。，请结合函数的图像，直接写出机的取值范围.

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（备用图）

2

11.（2022・四川南充・中考真题）抛物^=线-x++bx"++cC与X轴分别交于点48（4,0）,与了轴交于点

C（0,-4）

（1）求抛物线的解析式.（2）如图1,丫顶点P在抛物线上，如果丫BCPQ面积为某值时，符合条件的

点P有且只有三个，求点P的坐标.（3）如图2,点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，

OM=ION,连接BN并延长到点。，使ND=NB.M。交X轴于点E,Ng与®E均为锐角，

tanZDEB=2tanNOBE,求点M的坐标.

12.（2022•湖南邵阳•中考真题）如图，已知直线产2x+2与抛物线厂"2+ftx+c相交于48两点，点力在

X轴上，点8在y轴上，点C（3,0）在抛物线上.

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（1）求该抛物线的表达式.（2）正方形OPZ）E的顶点。为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在

y轴正半轴上，若∙40B与4DPC全等,求点P的坐标.（3）在条件（2）下，点。是线段Co上的动点

（点。不与点。重合），将aPQD沿PQ所在的直线翻折得到4P0O,连接CD',求线段CO长度的最小

值.

y=-χ2+bx+Cj/n

13.（2022•重庆・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2与直线48交于点贝“-4）

,8（4,0）.（1）求该抛物线的函数表达式：（2）点P是直线/8下方抛物线上的一动点，过点P作X轴的平行

线交/8于点C,过点尸作y轴的平行线交X轴于点。，求尸C+PQ的最大值及此时点尸的坐标；（3）在

（2）中尸C+尸。取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点,

平移后的抛物线与歹轴交于点尸，/为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点

N,使得以点E,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出

求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

14.（2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与探究

如图，某一次函数与二次函数y=x2+",x+"的图象交点为4（-1,0）,B（4,5）.

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（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当ZC与BC的和最小时，点C的坐标

为;

（3）点Z）为抛物线位于线段/8下方图象上一动点，过点。作Z）ELX轴，交线段/8于点E,求线段。E长

度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点尸为直线48上一点，点N为平面直角坐标系内

一点，若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标.

15.（2022•山西・中考真题）综合与探究

13

y=—X24—X÷4ZI

如图，二次函数.42的图象与X轴交于43两点（点N在点8的左侧），与y轴交于点C,

点尸是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点尸的横坐标为机.过点尸作直线尸3,X轴于点。，

作直线BC交PD于点、E

（1）求Z,B,C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当ACEP是以PE为底边的等腰三角形

时，求点P的坐标；（3）连接/C,过点P作直线/〃4C,交y轴于点尸，连接。尸.试探究：在点P运动

的过程中，是否存在点P,使得CE=FD,若存在，请直接写出力的值：若不存在，请说明理由.

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16∙（2022∙广西玉林•中考真题）如图，已知抛物线：P"?/+加:+c与X轴交于点48（2,0）q在8的

1

X=——

左侧），与'轴交于点C,对称轴是直线2,P是第一象限内抛物线上的任一点.（1）求抛物线的解析

式；（2）若点。为线段℃的中点，则APoZ）能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作X轴的垂线与线

段BC交于点”，垂足为点”，若以尸，M,C为顶点的三角形与A8M”相似，求点尸的坐标.

备用图

17.（2022・湖北鄂州•中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=θ√（α>0）型抛物线图

1

象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点/到定点F（0,4。）的距离MR始终等于它到定直线

1

/：y=石上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点尸为图象的焦点，定直线/为图象的准线，

ɪ_L1

jv=□4α叫做抛物线的准线方程.其中原点。为F//的中点，FH=20F=,例如，抛物线y=2∕,其焦

ɪɪ

点坐标为尸（0,2）,准线方程为/：y=□5.其中MF=MN,FH=2OH=∖.

图1图2图3图4

（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=2%2的焦点坐标和准线/的方程：,.

ɪ

（2）【技能训练】如图2所示，己知抛物线y=W