数学-第1部分 第21讲

知识要点·归纳一般性质具有平行四边形的所有性质特殊性质(1)矩形的四个角都是①_______________(2)矩形的对角线②________且互相平分对称性既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴面积S＝③________(a，b表示长和宽)直角(或90°)

相等ab

2．判定(1)有一个角是④_______________的平行四边形是矩形；(2)有三个角都是⑤_______________的四边形是矩形；(3)对角线⑥________的平行四边形是矩形．直角(或90°)

直角(或90°)

相等1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使它变为矩形，还需要添加一个条件是__________________________.AC＝BD(答案不唯一)

2．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝_____.4

一般性质具有平行四边形的所有性质特殊性质(1)菱形的四条边都⑦________；(2)菱形的两条对角线⑧____________且互相平分，并且每条对角线平分一组对角对称性既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴面积S＝⑨__________(m，n分别表示两条对角线的长)相等互相垂直2．判定(1)有一组邻边⑩________的平行四边形是菱形；(2)四条边⑪__________的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的⑫______________是菱形．相等都相等平行四边形3．若菱形ABCD的两条对角线长分别为6和4，则菱形ABCD的面积是______.4．如图，四边形ABCD为平行四边形，请你添加一个合适的条件__________________________使其成为菱形．(只需添加一个即可)12

AB＝BC(答案不唯一)

知识点三正方形的性质与判定1．性质一般性质具有平行四边形的所有性质特殊性质(1)正方形的四条边都⑬________；(2)正方形的四个角都是⑭_______________；(3)正方形的两条对角线互相⑮____________且相等，并且每一条对角线平分一组对角对称性既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴面积S＝a2(a表示正方形的边长)相等直角(或90°)

垂直平分2．判定(1)有一个角是⑯_______________的菱形是正方形；(2)两条对角线⑰________的菱形是正方形；(3)有一组⑱________相等的矩形是正方形；(4)两条对角线互相⑲________的矩形是正方形．直角(或90°)

相等邻边垂直5．正方形的一边长为3cm，它的周长是____________，面积是___________，对角线长为_____________.6．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使□ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是_____________________________.(只需添加一个即可)12cm

9cm2

∠ABC＝90°(答案不唯一)

知识点四平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系1．如图所示：7．下列说法，错误的是 (

)A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．四个角都相等的四边形是矩形D．邻边相等的菱形是正方形8．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD成为正方形，这个条件可以是__________________________.(写出一种情况即可)D

AC＝BD(答案不唯一)

江西5年真题·精选重难点·突破例1(2)若AB＝5，∠AOB＝60°，求BC的长．2

2．(2019·宜春模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，MN∥BC分别交AB，CD于点M，N，在MN上任取两点P，Q，那么图中阴影部分的面积是_____.6

例2【解题思路】欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，再证明其对角线相互垂直．【解答】∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，∵CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD，∴EC＝AD，∴四边形ADCE是平行四边形．∵ED∥BC，∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°，即DE⊥AC，∴平行四边形ADCE是菱形．(2)若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．针对训练例3A

【解题思路】证明△BCE≌△CDF(SAS)，得到∠CBE＝∠DCF，则∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．4．如图，已知正方形ABCD的边长为8，O是AD上一个定点，AO＝5，点P从点A出发，以每