北京市西城区三帆中学2022-2023学年下学期九年级开学数学试卷

2022-2023学年北京市西城区三帆中学九年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一个不透明的盒子中装有3个红球，7个白球，这些球除颜色外，没有任何其它区别，从这个盒子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为(

)A.110 B.15 C.3102.如图所示，△ADE∽△ACA.AD：BD=AE：AC

B.DE：BC=AD：3.二次函数y=(x−A.(−3,−4) B.(4.一元二次方程ax2+aA.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根

C.无实数根 D.有两个实数根可能相等，也可能不相等5.如图所示，AB是圆O的一条弦.且AB=OA.则弦A.60°或120°

B.60°

C.30°或6.已知函数y=k(x−1A. B.

C. D.7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知M(0,5)，N(2,yN)，且A，B分别是OA.2个

B.3个

C.2个或3个

D.1个或2个

8.如图所示在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD，A(6,3)，B，A.y=32x

B.y=18x

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.请你写出一个一元二次方程，该方程有相同的两根，且根都为1______．10.一个底面半径为2，母线长为10的圆锥的侧面积是______．

11.已知平面直角坐标系xOy中，A(a,1)，B(b,2)，C(12.下列说法中正确的是______．

①若一个数的绝对值是1，则这个数为1“是必然事件；

②如图，已知正方形ABCD，以A为圆心，AB长为半径作⊙A，则“点C在⊙A外”是必然事件；

③在一定条件下，一件事情发生的频率会随着试验次数发生改变，随着大量重复性试验次数增加概率也会发生改变；

④我们可以利用频率估计概率的方法估算出圆周率的值；

⑤13.如图，⊙O中M，N分别是弦AB，CD的中点，且AB=CD，AB和CD不平行，则

14.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若BC：AB：AD=3：4：6，且四边形AB

15.在平面直角坐标系中，函数y1=x−2m+2与y2=x2−mx16.△ABC中，AB=AC，∠A=α，点D在AB边上(不与A，B重合)，过点D作DE/​/BC交AC于E，将△ADE绕点A旋转得到△AD′E′.下列结论一定正确的是______．

①△AD′E′∽△ABC

②只有当β>α时，BD′

三、计算题：本大题共1小题，共5分。17.解方程：2x2−四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题5分)

已知：a是方程x2−3x−19.(本小题5分)

已知关于x的方程mx2−(m+3)x+320.(本小题5分)

已知：直线l及直线l外一点A．

求作：直线AB，使得AB/​/l．

小锐同学的作法如下：

(1)在直线l上任取一点O；

(2)以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O交直线l于点C，D(点C在左侧)；

(3)作⊙O直径AE，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交⊙O于点B(点B与点A位于直线l同侧)；

(4)作直线AB，则直线AB即为所求．

请你依据小锐同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．

(1)使用无刻度的直尺和圆规，根据小锐同学的作法完成作图(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明：

证明：连接AC．

∵在⊙O中，OA=O21.(本小题5分)

甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”.两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负.三人游戏时，若三人的手势都相同或互不相同，则不分胜负；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时参照两人游戏规则.例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜.假设甲、乙、丙三人每次出这三种手势的可能性相同．

(1)用画树状图或列表的方法表示甲和乙玩“石头、剪刀、布”游戏，出第一次手势时所有可能出现的结果(其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示)；

(222.(本小题6分)

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(1,2)，B(n,−1)两点，与23.(本小题6分)

如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点(不与点C、D重合)，作AF⊥AE交CB的延长线于点F．

(1)求证：△ADE∽△AB24.(本小题6分)

如图，△ABC中，AB=BC，点A在⊙O外，BC是⊙O的弦，DO⊥BC，连接OD.若AC交OD于点E，交OB于点F，满足O25.(本小题5分)

如图1是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.其中蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图2所示的平面直角坐标系中，将投石机置于某山坡的底部(原点O处)，山坡横截面可近似用抛物线C1：y=−1120x2+35x表示，石块从投石机竖直方向上的点D处被投出，在山坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB.已知，石块运动轨迹所在抛物线C2的顶点坐标是(40,20)，OD26.(本小题6分)

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−3a经过点A(−3,0)，

(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)点M(27.(本小题7分)

如图，在四边形ABCD中，BC=CD，对角线AC，BD相交于点P，点M在AC上，连接BM，DM，∠ACD=∠CBM=∠ABD．

(128.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段PO(点P与O不重合)绕点P逆时针旋转90°得到线段PO′，延长PO′至点Q，使得PQ=2OP，若点M为线段PQ上一点(点M可与线段PQ端点重合)，则称点M为图形W的“二倍点”．

已知点A(0,1)、点B(0,2)．

(1)M1(1,1)，M2(3,1)，M3(1,2)，M4(1,4)答案和解析1.【答案】C

【解析】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有3个红球，7个白球，共10个，

摸到红球的概率为：310．

故选：C．

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P2.【答案】D

【解析】解：A、由△ADE∽△ACB，得到AD：AC=AE：AB，故A不符合题意；

B、由△ADE∽△ACB，得到DE：BC=AD：AC，故B不符合题意；

C、由△ADE∽△A3.【答案】B

【解析】解：∵二次函数y=(x−5)(x−1)=x24.【答案】D

【解析】解：∵Δ=a2−4×a×(−a)=a2+4a2≥0，

5.【答案】B

【解析】解：∵AB=OA，OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴A6.【答案】B

【解析】解：一次函数y=k(x−1)可化为：y=kx−k，(k≠0)，

A、y=kx−k过二、四象限，k<0；又y=kx−k与y轴负半轴相交，k>0，故A选项错误；

B、y=kx−k中k>0，y=−kx中k7.【答案】C

【解析】解：∵M(0,5)，N(2,yN)，且A，B分别是ON，MN的中点，

∴A(1,yN2)，B(1,5+yN8.【答案】D

【解析】解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，设BC与y轴交于G，

∵A(6,3)，

∴AE=3，OE=6，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=5，∠ABC=∠DCB=90°

∴BE=AB2−AE2=4，

∴OB=2，

过C作CH⊥x轴于H，

∵∠BOG=∠GCD=90°，∠CGD=∠BGO，

∴∠OBG=∠CDG，

∵∠ABE+∠GBO=∠BAE+∠ABE=90°，

∴9.【答案】(x−1【解析】解：该方程为(x−1)2=0，

故答案为：(10.【答案】20π【解析】解：根据题意得圆锥的侧面积=12×2π×2×1011.【答案】c<【解析】解：∵A(a,1)，B(b,2)，C(c,−2)三个点在反比例函数y=2x的图象上，

∴a=2，b=1，c=−1，

∴c12.【答案】②④【解析】解：①若一个数的绝对值是1，则这个数为1“是随机事件，故错误；

②如图，已知正方形ABCD，以A为圆心，AB长为半径作⊙A，因为AC>AB，则“点C在⊙A外”是必然事件，故正确；

③在一定条件下，一件事情发生的频率会随着试验次数发生改变，随着大量重复性试验次数增加概率不会发生改变，故错误；

④我们可以利用频率估计概率的方法估算出圆周率的值，故正确；

⑤在一个袋子里有若干个红球和黑球，随意摸一个球，不是红球，就是黑球，因为红球和黑球的个数不一定相同，所以摸出红球的概率不一定是0.5，故错误．

所以正确的是13.【答案】∠D【解析】解：连接ON，OM，

∵M，N分别是弦AB，CD的中点，

∴ON⊥CD，OM⊥AB，

∴∠OND=∠OMA=90°，

∵AB=CD，

∴ON14.【答案】20

【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，

∴AB+CD=BC+AD，

∵BC：AB：AD=3：4：6，

∴设BC=3x，AB=4x，AD=6x，

∵4x+CD=3x+6x，

∴CD15.【答案】1<【解析】解：∵函数y1=x−2m+2与y2=x2−mx的图象交于A(xA,yA)，B(xB,yB)两点，

∴x−2m+2=x2−mx，

∴x2−(m+1)x+2m−2=0，

∴xA+xB=m+1，xA⋅xB=2m−2，

Δ16.【答案】①③【解析】①∵DE//BC．

∴∠ADE=∠ABC.∠ACB=∠ABD

∴△ADE∽△ABC．

∵AB=AC．

∴ADAE=ABAC=1，AD=AE．

由旋转知：△ADE≌△AD′E′

∴△AD′E′∽△ABC.故①符合题意．

②∵∠DAE=∠D′AE′=∠BAC．

∴∠BAD′=∠CAE′

又AB=AC，AD′=AE′=AD=AE．

∴

∴△BAD′≌△CAE′(SAS)，

∴BD′=CE′与β无关．故②不符合题意．

③当D与E′重合时，

∴AD′=AE，DD′=DE，AD=AD．

∴AD′=AEDD′=DEAD=AD．

∴△17.【答案】解：(x−2)(2x+1)=0，【解析】利用因式分解法把原方程化为x−2=0或2x+1=0，然后解两个一次方程即可．

本题考查了解一元二次方程−18.【答案】解：∵a是方程x2−3x−1=0的一个根，

【解析】先根据一元二次方程根的定义得到a2−3a=19.【答案】(1)证明：∵m≠0，

Δ=(m+3)2−4m×3

=m2−6m+9

=(m−3)2，

而(m−3)2≥0，即△≥0，

【解析】(1)先计算判别式的值得到Δ=(m+3)2−4m×3=(m−3)2，再根据非负数的值得到△≥20.【答案】等边对等角

在同圆中，相等的弦所对的弧相等

在同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等

【解析】(1)解：如图所示．

(2)证明：连接AC．

∵在⊙O中，OA=OC，

∴∠ACD=∠CAE.(等边对等角)

∵CB=CE，

21.【答案】解：(1)ABCA(((B(((C(((由表格可知，共有6种等可能出现的结果．

(2)画树状图如下：

共有27种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人的手势都相同或互不相同的结果有：(A,A,A)，(A,B,C)，(A,C,B)，(【解析】(1)列表即可得出所有可能出现的结果．

(222.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(1,2)，B(n,−1)两点，

∴k=1×2=n×(−1)，

∴n=−2，k=2，

∴反比例函数解析式为：y=2x【解析】(1)根据待定系数法求出两个函数解析式即可；

(2)求出点C坐标得到线段OC长，根据S△AO23.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，

∴∠ABF=∠D=90°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=∠BAF+∠EAB=【解析】(1)根据矩形的性质可得∠DAB=∠ABC=∠24.【答案】(1)证明：∵OE=OF，

∴∠OEF=∠OFE，

∵∠OEF=∠CED，∠OFE=∠AFB，

∴∠CED=∠AFB，

∵AB=BC，

∴∠C=∠A，

∵DO⊥BC，

∴∠ODC=90°，

∴∠A+∠AFB=∠C+∠CED=90°，

∴∠A【解析】(1)由OE=OF，得∠OEF=∠OFE，则∠CED=∠AFB，由AB=BC，得∠C=∠A，则∠A+∠AFB=∠C+∠CED=9025.【答案】解：(1)∵石块运动轨迹所在抛物线C2的顶点坐标是(40,20)，OD=4，

∴石块运动轨迹所在抛物线C2的解析式为y=a(x−40)2+20，

将(0,4)代入，得1600a+20=4，

解得a=−1100

∴抛物线C2的解析式为y【解析】(1)设石块运行的函数关系式为y=a(x−40)2+20，用待定系数法求得a的值即可求得答案；

(2)把x=50代入抛物线C126.【答案】解：(1)A(−3,0)代入y=ax2+bx−3a，

0=9a−3b−3a，

∴b=2a

y=ax2+2ax−3a=a(x+1)2−4a．

抛物线对称轴为：x=−1，

顶点坐标为(−1,−4a)．

(2)①若a=−1，y=−x2−2x+3=−(x−1)(x+3)．

抛物线对称轴为：x=−1，

n−1≤xM≤n+3

Ⅰ若n+3≤−1，即n≤−4，

则x=n+3时，p=−(n+3)2−2(n+3)+3=−n2−8n−12，

x=n−1时，q=−(n−1)2−2(n−1)+3=−n2+4，

∴p−q=−8n−16，

∵n≤−4，

∴p−q≥16．

Ⅱ若n−1≤−1<n+3，即−4<n≤0，

则p=4．【解析】(1)二次函数一般式，化为顶点式，可得到对称轴和顶点坐标．

(2)①a=−1，当n=−2时，即一3≤x≤1时，p=4，q=27.【答案】(1)证明：∵∠CBM=∠ABD，

∴∠CBM+∠DBM=∠ABD+∠DBM，

即∠ABM=∠CBD，

∵∠ACD=∠ABD，∠APB=∠DPC，

∴∠BAC=∠CDB，

∵BC=CD，

∴∠CDB=∠CBD，

∴∠ABM=∠BAC，

∴AM=BM；

(2)证明：∵∠ACD=∠ABD，∠APB=∠DPC，

∴△APB∽△DPC，

【解析】(1)根据角的和差求出∠ABM=∠CBD，根据三角形内角和定理求出∠BAC=∠CDB