高中数学北师大版练习第四章2对数的运算

§2对数的运算水平1·题组一对数运算性质的应用1．计算的值为()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(1,2) C．2 D．1【解析】选D.＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)＝1.2．已知方程x2－8x＋4＝0的两根为a，b，则log8a＋log8b＝()A．eq\f(2,3) B．1 C．2 D．eq\f(1,2)【解析】选A.因为方程x2－8x＋4＝0的两根为a，b，所以ab＝4，所以log8a＋log8b＝log8ab＝log84＝eq\f(log24,3)＝eq\f(2,3).3．已知ln2＝a，ln3＝b，则ln(36e3)可以用a和b表示为()A．a＋2b－3 B．4a＋2b＋2C．2a＋2b＋3 D．2a＋3b＋3【解析】选C.ln(36e3)＝ln36＋lne3＝ln(22×32)＋3lne＝ln22＋ln32＋3＝2ln2＋2ln3＋3＝2a＋2b＋3.4．计算：lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.【解析】原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.·题组二换底公式的应用1．若2a＝3，3b＝4，4c＝ab，则abc＝()A．eq\f(1,2) B．1 C．2 D．4【解析】选B.根据题意，2a＝3，3b＝4，则a＝log23，b＝log34，则有ab＝log23·log34＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg4,lg3)＝2，则c＝log4ab＝log42＝eq\f(1,2)，故abc＝1.2．设logca，logcb是方程x2＋5x－3＝0的两个实根，则logeq\f(b,a)c＝________.【解析】根据题意，logca，logcb是方程x2＋5x－3＝0的两个实根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(logca＋logcb＝－5,logca·logcb＝－3))，变形可得：(logca－logcb)2＝(logca＋logcb)2－4×logca·logcb＝37，则logcb－logca＝±eq\r(37)，即logceq\f(b,a)＝±eq\r(37)，则＝eq\f(1,logc\f(b,a))＝±eq\f(\r(37),37).答案：±eq\f(\r(37),37)3．已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝________．【解析】因为log189＝a，b＝log185，所以a＋b＝log189＋log185＝log18(9×5)＝log1845，log1836＝log18(2×18)＝1＋log182＝1＋log18eq\f(18,9)＝2－log189＝2－a，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(a＋b,2－a).答案：eq\f(a＋b,2－a)·题组三对数的综合应用1．设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对于任意的正实数x，y，都有()A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)【解析】选B.由对数运算法则f(xy)＝loga(xy)＝logax＋logay，所以f(xy)＝f(x)＋f(y).2．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若loga(x1x2…x2020)＝7，则f(xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(1)))＋f(xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2)))＋…＋f(xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020)))＝()A．8 B．21 C．16 D．24【解析】选B.f(xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(1)))＋f(xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2)))＋…＋f(xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2020)))＝3f(x1)＋3f(x2)＋…＋3f(x2020)＝3loga(x1x2…x2020)＝21.3．设2a＝7b＝m且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝()A．2eq\r(7)B．eq\r(14)C．±eq\r(14)D．±2eq\r(7)【解析】选B.2a＝7b＝m，所以a＝log2m，b＝log7m，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logm2＋logm7＝logm14＝2，所以m＝eq\r(14).4．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列最接近eq\f(1000052,3361)的是()(注：lg3≈0.477)A．1025B．1026C．1035D．1036【解析】选D.由题意，将eq\f(1000052,3361)取对数，得lgeq\f(1000052,3361)＝lg1000052－lg3361＝52×4－361×lg3≈35.8，得eq\f(1000052,3361)≈1035.8，根据选项可得D中1036与其最接近．5．已知：3a＝6，2b＝36，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))×3eq\f(a,b)＝________．【解析】因为3a＝6，2b＝36，所以log36＝a，log236＝b，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(1,log36)＋eq\f(2,log236)＝eq\f(1,log36)＋eq\f(2,2log26)＝log63＋log62＝log66＝1，eq\f(a,b)＝eq\f(log36,log236)＝eq\f(log36,\f(log336,log32))＝eq\f(1,2)log32＝log3eq\r(2)，所以＝3log3eq\r(2)＝eq\r(2)，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))×＝1×eq\r(2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)6．已知函数f(x)＝5－x－1，求f(log499·log57)的值．【解析】log499·log57＝·log57＝eq\f(2ln3,2ln7)·eq\f(ln7,ln5)＝eq\f(ln3,ln5)＝log53，f(log53)＝－1＝－1＝eq\f(1,3)－1＝－eq\f(2,3).易错点一混淆“真数的乘法(除法)”和“对数的加法(减法)”1．已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则eq\f(x,y)的值为()A．1 B．4C．1或4 D．eq\f(1,4)或4【解析】选B.因为2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2＝lg(xy)，所以x2＋4y2－4xy＝xy，所以(x－y)(x－4y)＝0，所以x＝y(舍)或x＝4y，所以eq\f(x,y)＝4.2．(2021·溧阳高一检测)已知a＞b＞1，若logab＋logba＝eq\f(10,3)，ab＝ba，则ab＝________．【解析】因为a＞b＞1，所以logab＜1，所以解logab＋eq\f(1,logab)＝eq\f(10,3)，得logab＝eq\f(1,3)，所以b＝aeq\f(1,3)，即a＝b3，且ab＝ba，所以b3b＝bb3，所以b3＝3b，且b＞1，所以b＝eq\r(3)，a＝3eq\r(3)，所以ab＝9.答案：9【易错误区】同底数的对数相加可化为真数相乘的形式，容易记错公式导致错误．易错点二混淆“换底公式中的底数”和“真数”若lgx－lgy＝a，则lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(3)＝()A．3aB．eq\f(3,2)aC．aD．eq\f(a,2)【解析】选A.lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(3)＝3(lgx－lg2)－3(lgy－lg2)＝3(lgx－lgy)＝3a.【易错误区】在利用换底公式化简求值时，混淆换底之后的真数，导致化简错误．水平1、2限时30分钟分值60分战报得分____一、选择题(每小题5分,共30分)1.lnQUOTE等于 ()A.0 B.QUOTE C.1 D.2【解析】选B.lnQUOTE=QUOTElne=QUOTE.2.计算1QUOTE+log24的结果是 ()A.6B.7 C.8 D.10【解析】选A.1QUOTE+log24=(42QUOTE+log222=4+2=6.3.若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a1)+lg(b1)的值等于 ()A.0 B.lg2 C.1 D.1【解析】选A.因为a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,所以lg(a+b)=lgab,所以a+b=ab,所以lg(a1)+lg(b1)=lg(a1)(b1)=lg[ab(a+b)+1]=lg1=0.4.若lg2=a,lg3=b,则log524等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.log524=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.5.(2021·扬州高一检测)已知log2(a2)+log2(b1)=1,则2a+b取到最小值时,a+2b的值为 ()A.3+2QUOTE B.9 C.8 D.QUOTE【解析】选B.根据对数定义域可知a2>0,b1>0,则a>2,b>1,由对数运算,化简log2(a2)+log2(b1)=1,可得log2(a2)(b1)=1,即(a2)(b1)=2,化简可得ab=a+2b,则QUOTE+QUOTE=1,所以2a+b=(2a+b)·QUOTE=QUOTE+QUOTE+5≥2QUOTE+5=9,当且仅当QUOTE=QUOTE时取等号,此时2a2=2b2,即QUOTE,解得QUOTE,所以a+2b=9.6.一种放射性元素最初的质量为500g,按每年10%衰减.则这种放射性元素的半衰期为________年.(注:剩余质量为最初质量的一半,所需的时间叫做半衰期),(结果精确到0.1,已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771) ()

A.5.2 B.6.6 C.7.1 【解析】选B.设放射性元素的半衰期为x年,所以500(110%)x=250,所以(110%)x=QUOTE,所以log0.9QUOTE=x,所以x=loQUOTE2,所以x=QUOTE,所以x=QUOTE,所以x≈QUOTE,所以x≈6.6.二、填空题(每小题5分,共20分)7.QUOTE+2QUOTE+lg5+lg20=________.

【解析】QUOTE+2QUOTE+lg5+lg20=QUOTE+(52QUOTE+lg5+lg(4×5)=2+5+2lg5+lg4=7+2lg5+2lg2=7+2(lg2+lg5)=9.答案:98.已知ab>0,下面四个等式中:①lg(ab)=lga+lgb;②lgQUOTE=lgalgb;③QUOTElgQUOTE=lgQUOTE;④lg(ab)=QUOTE.其中结论正确的为________(填序号).

【解析】由于ab>0,故a>0,b>0或a<0,b<0,故对于①,当a<0,b<0时,lg(ab)=lga+lgb不成立;对于②,当a<0,b<0时,lgQUOTE=lgalgb不成立;对于③,ab>0⇒QUOTE>0⇒QUOTElgQUOTE=lgQUOTE,故成立;对于④,当ab=1时,lg(ab)=QUOTE不成立.综上,结论正确的为③.答案:③9.如果x,y∈R,且2x=18y=6xy,xy≠0,则x+y=________.

【解析】令2x=18y=6xy=t,t>0且t≠1,则x=log2t,y=log18t,xy=log6t,所以QUOTE+QUOTE=logt2+logt18=logt36=2logt6=QUOTE,所以xyQUOTE=2,即x+y=2.答案:210.已知log2(a+4b)=2log2(2QUOTE),则a+b的最小值是________.

【解析】因为2log2(2QUOTE)=log2(2QUOTE)2=log24ab,所以log2(a+4b)=log24ab,所以a+4b=4ab>0,所以QUOTE+QUOTE=4,所以a+b=QUOTE(a+b)QUOTE=QUOTE,由题意知ab>0,则QUOTE>0,QUOTE>0,则a+b=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=2b时取等号.答案:QUOTE三、解答题11.(10分)(1)求值:(lg2)2+lg2·l