2023年高考数学一轮复习习题：第三章第1节　变化率与导数、导数的计算

第三章DISANZHANG

ʒ导数及其应用

第1节变化率与导数、导数的计算

考纲要求1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根

据导数的定义求函数y=c(c为常数)，y-χ,y=；，y—A2>y=χ∖y=g'的导数；4.能利用

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

L函数y=y(x)在X=尤O处的导数

⑴定义：称函数y=7(χ)在X=Xo处的瞬时变化率Iim/°。十~~)=Iim笠为函数

Δr→02Δ,V→OAʌ

y=於)在X=XO处的导数，记作/(Λ0)或y'∖x=Xo，即f(xo)=Iim2=

ΔΛ-→O3

f(Λ⅛+ΔX)—f(xo)

Iim_-------------7---------=

4r→0ʌʌ

(2)几何意义：函数Mr)在点M处的导数/(xo)的几何意义是在曲线y=∕U)上点(xo,人河))处的

切线的斜率.相应地,切线方程为y一光=J(Xo)(X-Xo).

2.函数y=Ax)的导函数

如果函数y=Ax)在开区间3,份内的每一点处都有导数，当X=XO时，了(Xo)是一个确定的数,

当X变化时，/(x)便是X的一个函数，称它为段)的导函数(简称导数)，)，=穴尤)的导函数有时

f(x+∆x)—f(X)

也记作即/(x)=y'=Iim

y',∆X

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

y(x)=c(c为常数)/(x)=Q

Λv)=d(αGQ*)f(x)=ax,i"l

Xx)=sinXf(x)=COSX

fix)=COSXf(x)=~sinX

於)=e"/(x)=重

yU)=/3>0,a≠l)f(x)=ax∖na

F(X)=2

βx)=lnx

於)=Iogd

F(X)=盒

3>0,a≠l)

4.导数的运算法则

若/(x),g，(x)存在，则有:

(l)[∕(x)±g(x)]'=∕ω⅛3;

(2)f∕U)火(X)1'=/X)0X)+∕U)R'(X)；

P(X)].f(x)R(X)—f(X)女'(X)

⑶,8(X)J(g(x)WO).

收(X)P

常用结论与微点提醒

1/(出)代表函数7U)在X=沏处的导数值；(/Uo))'是函数值yuo)的导数，且(/Uo)y=o.

r1∏f(ɪ)

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共

点.

4.函数y=y(x)的导数/(x)反映了函数T(X)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其

大小/(X)I反映了变化的快慢，IT(X)I越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

诊断自测

►•思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1»(XO)是函数y=AX)在X=Xo附近的平均变化率.()

(2)函数y(x)=sin(-X)的导数/(x)=COSX.()

(3)求/Qo)时，可先求yUo),再求了(Xo).()

(4)曲线y=Ax)在某点处的切线与曲线y=∕(x)过某点的切线意义是相同的.()

答案(I)X(2)×(3)×(4)×

解析(1»(XO)表示y=∕(x)在X=XO处的瞬时变化率，⑴错.

(2)/(X)=Sin(—x)=-sinX,则了(X)=—cosx,(2)错.

(3)求/(xo)时，应先求/(x),再代入求值，(3)错.

(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；

而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在

曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.

►•教材衍化

2.已知函数TU)=我，则函数在X=-I处的切线方程是()

A.2χ-y+l=0B.x—2y+2=0

C.2r-y-l=0D,x+2y~2=0

答案A

X2

解析由yu)=m，得/(X)=(t+0)2,

又D=-1，/(-1)=2.

因此函数在X=-I处的切线方程为y+l=2(x+l),即2x—y+l=0.

3.若曲线y=(ox+l)e，在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则α=.

答案一3

解析y'=aeκ+(ax+ɪ)e`,则y∣*=o=α+l=—2,所以a=-3.

►•考题体验

f+〃，χW0,

4.(2020・唐山模拟)已知函数/W='为奇函数，则曲线火X)在x=2处的切线斜

-χ^+ax,x>0

率等于()

A.6B.-2C.-6D.-8

答案B

解析丸X)为奇函数,则式一X)=—fix).

取x>0,得x2—2x=—(―x2+ar),则a=2.

当QO时，/(x)=-2x+2.

∙V(2)=-2.

5.(2020•全国I卷)函数√(x)=χ4-2√的图象在点(1,式1))处的切线方程为()

A.γ=-2χ-1B.y=-2x÷1

C.y=2x~3D.y=2x+∖

答案B

解析χi)=l-2=-l,切点坐标为(1,-1),

又/(x)=4x3—6x2,

所以切线的斜率⅛=∕(l)≈4×l3-6×l2=-2,

切线方程为y+l=-2(x—1),即y=—2x+l.故选B.

6.(2021・日照质检)己知函数yU)=e%ιx,/(x)为/U)的导函数，则/(1)的值为.

答案e

解析由题意得/(x)=e'lnx+e∙W,则了(l)=e.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一导数的运算自主演练

1.下列求导运算正确的是()

A(十)'=XB.(Λ⅛γ=2x+e]

C.(xcosXy=—sinxD.Q-5}=1+5

答案D

解析对于A,~i⅛(,nχY=~χh？xt对于B,(x2et),=(x2+2x)ev,对于C,(xcosx)t

=cosχ-χsinX,对于D,(χ-τΓ=ɪ÷T∑.

%3÷2χ-Λ21Πχ-

2•若危)=则Ia)=

21

解析由已知«r)=x—Inx+,-

.VW=ι-∣-j+5.

3.(2020・全国III卷)设函数兀¥)=.+〃.若/(I)=W则a=

答案

Fsex(X+α)-e*一,,口eaeaIy

解析由1/(x)=-(D2，可付八D=(i+α)2=不即(l+α)2=不解付

4.已知函数./(%)的导函数为/(x),且满足关系式/(x)=x2+3M7(2)+lnx,则7(1)=，

解析因为#尤)=Λ2+34(2)+In%,

.∖f(x)=2x+3f(2)+^.

1Q

令x=2,得/(2)=4+3∕(2)+g,则八2)=一1

.∙,ΛD=l+3×l×(-∣)+0=-y.

感悟升华1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用

运算法则求导.

2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

考点二导数的几何意义多维探究

角度1求切线的方程

【例1】(1)曲线y=3(x2+x)er在点(0,0)处的切线方程为.

(2)(2020.全国I卷)曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

答案(l)3χ-y=0(2)2r-y=0

解析(1)/=3(2x+1)ev+3(x2+x)ev=3ev(√+3x+1),

所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=e°X3=3,所以所求切线方程为3χ-y=0.

(2)设切点坐标为(M),yo)t

因为y=lnx+%+l,所以y=1+l,

所以切线的斜率为;+1=2,解得XO=L

所以yo=ln1+1+1=2,即切点坐标为(1,2),

所以切线方程为y-2=2(x—1),即2Λ->=0.

角度2求曲线的切点坐标

【例2】(2019•江苏卷改编)在平面直角坐标系Xo)，中，点A在曲线y=lnX上，且该曲线在

点A处的切线经过点(一e,一l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是,此时切

线方程为.

答案(e,1)x—ey—O

解析设A(S,〃)，则曲线y=lnx在点A处的切线方程为y—"=∖(χ-附.

又切线过点(一e,—1),所以有n+l--^(m+e).

再由"=Inm，解得，w=e,H-1.

故点A的坐标为(e,1),

切线方程为x—ey=O.

角度3导数与函数图象问题

【例3】己知y=∕(x)是可导函数，如图，直线尸履+2是曲线y=∕U)在x=3处的切线，令

g(x)=M(X),g<x)是g(x)的导函数，则g<3)=________.

y=kx+2

答案0

解析由题图可知曲线y=∕(x)在x=3处切线的斜率等于一;，.∙."3)=-/

g(x)=项x),.∙.g'(x)=βx)+xf(x),

Λgf(3)=Λ3)+3∕(3),

又由题意可知/3)=1,

"(3)=1+3x]-9=0.

感悟升华1.求曲线在点P(Xo,")处的切线，则表明尸点是切点，只需求出函数在P处的

导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于X轴，

切线方程为X=Xo.

2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要

设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.

【训练1】(1)设函数y(x)=x3+("-1)小+以.若大X)为奇函数，则曲线y=∕(x)在点(0,0)处的

切线方程为()

A.y=~2xB.y=-%

C.y=2xD.y=x

(2)(2021•长沙检测)如图所示，y=∕(x)是可导函数，直线/：y=fcc+3是曲线y=∕(x)在x=1

f(X)

处的切线，令∕7(x)=U∖,Y(X)是/Z(X)的导函数，则的值是()

答案(I)D(2)D

3

解析(1)因为函数TU)=x+(α-l)∕+αT为奇函数，所以。一ι=o,则。=晨所以兀r)=χ3

+x.

.∙.∕(x)=3x2+l,则/(O)=L

所以曲线y=∙∕(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.

(2)由图象知，直线/经过点(1,2).

则1+3=2,k=-∖,

从而/(D=-1，且八1)=2,

,,,,f(X),xf(X)—f(X)

由人(X)=~->付zbh'(x)-^2,

所以I(I)=/(1)-/(1)=一1-2=-3.

考点三导数几何意义的应用师生共研

【例4】(1)已知曲线y=αe*+xlnx在点(1,αe)处的切线方程为y=2x+i>,则()

A.α=e,h=-∖B.α=e,b=∖

C.α=e',b=1D.a=e^*,b=~∖

(2)(2020-合肥质检)已知函数段)="e*(α>O)与g(x)=2『一〃?(机>0)的图象在第一象限有公共

点，且在该点处的切线相同，当实数机变化时，实数”的取值范围为()

C(O,S)D(O,匀

答案(I)D(2)D

,

解析(l)∙.y=ae'+ln%+1,.∖k=y∖x-∖=ae+1,

，切线方程为y—4e=(ge+l)(χ-1),

即y=(αe+l)χ-1.又已知切线方程为y=2x+b,

(2)设在第一象限的切点为A(Xo,yo),

4XO=2Λ⅛-//ɪ,

d)

Oe=ZTQ一M,整理得卜o>O,

所以

QeA°=4‰

m>0,

由m=2xi-4xo>O和xo>O,解得沏>2.

由上可知4=,，令〃(x)=3，x>2,

.4(1-x)

贝"h'(x)=-G-.

4(1—χ)

因为x>2,所以h,(x)=---G-----<0,

4γ

力(X)=G在(2，+8)上单调递减，

所以O<Λ(x)</,即a∈(θ,菅)

感悟升华1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数

的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线

上.

2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.

【训练2】(I)QO21•洛阳检测)函数段)=lnx—ax在x=2处的切线与直线OX-5-1=0平行，

则实数α=()

A.—1BAWD.I

(2)若函数y=2x3+l与y=3f-〃的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b=.

答案(I)B(2)0或一1

解析(l)∙.∙y(x)=lnχ-∙αx,

∙,∙∕ω=^-«.

.∙.曲线y=Ax)在x=2处切线的斜率k=f(2),

因此£—4=4,.,.a=∣∙

(2)设公共切点的横坐标为xo,函数y=2x3+l的导函数为y=6x2,y=3∕-人的导函数为y

=6x,由图象在­■个公共点处的切线相同，可得6Λ⅞=6XO且1+2X8=3J⅛-h,解得Xo=O,h

=-1或Xo-1.b—0.

故实数b=0或一1.

课后巩固作业分层训练・提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.下列求导数的运算中错误的是()

A.(37=3∙vln3B.(x2lnx),=2χ]nx+x

COSX

D.(sinx∙cosx);=cos2x

答案C

G力“—/cosx∖-xsinχ-cosx

解析因为(V/=--------7---------，C项错误.

2.(2021∙北师大附中月考泄线y==在点(3,2)处的切线的斜率是()

A.2B.-2C，2D.一；

答案D

&力打，(x+l),(χ-1)—(X+1)(%—1)'

解析片--------------；~~rvʒ---------------------------------

•(ɪ-1)/

一2

(%—1)2，

故曲线在点(3,2)处的切线的斜率

f〃21

k=y"3=~(3-∣)2=-2∙

3.若函数人尤)在R上可导，且兀V)=X2+4I(1)X+3,则()

A.Λ0)<A4)B.χθ)=Λ4)

C<0)44)D.以上都不对

答案B

解析函数7U)的导数/(X)=2Λ+4(1),

令x=l,得/(1)=2+4(1),即/(l)=-2,

故T(x)=x2-4x+3=(χ-2)2—1,

所以大O)=A4)=3.

4.(2021•豫北十校联考)已知危)=x2,则过点P(—1,0),曲线y=∕U)的切线方程为()

A.y=OB.4x+y+4=0

C.4χ-γ+4=0DJ=O或4x+y+4=0

答案D

解析易知点尸(一i,0)不在yu)=χ2上，

设切点坐标为(X0,焉)，由凡T)=X2可得/(x)=2x,

二切线的斜率左=∕(xo)=2xo.

：切线过点P(—1,0),

k=ɪɪ=ς2Λ⅛∙解得XO=O或XO=-2,

/.Jt=O或一4,

故所求切线方程为y=0或4x+y+4=0.

5.(2021・昆明诊断)若直线y=αr与曲线y=lnχ-l相切，贝!Jα=()

A.eB.leɪD⅛

Ce

答案D

解析由y=lnχ-1,得y=1，设切点为(迎，1∏ΛO-1),

PzXO=InXO_1,

f(4)—f(2)

6.已知函数y(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设Z曰——=小则下列不等式正

确的是()

1<牛丁(

A.β<√(2)<T(4)B/⑵4)

C〃4)勺Q)<αD,⑵<f(4)<“

答案B

解析由函数y(x)的图象可知，在［o,+∞)±,函数值的增长越来越快，故该函数图象在［0,

+8)上的切线斜率也越来越大.

f

因为Z一(4)1—⅛f一(2)=。，所以7(2)<。q(4).

7.(2020•九江十校模拟)若曲线y=χ4-V+αx(x>0)存在斜率小于1的切线，则a的取值范围为

-OO

答案C

解析由题意，y,=4xi-3x2+a<∖,当第>0时有解.(*)

设7U)=4x3—3x2+q(x>0),

则/(x)=lit2—6x=6x(2χ-1).

令/(x)<0,得Oa<3；

令/(x)>0,得x>g.

15

-

4yQ7

8.给出/£义：设/(%)是函数y="r)的导函数，广。)是函数/(x)的导函数.右方程广(幻=0有头

数解M)，则称点(即，於o))为函数y=,")的“拐点”.已知函数/(x)=5工+4SinX—cosX的“拐

点”是Ma0,兀咐)，则点M()

A.在直线y=-5x上B.在直线y=5x上

C.在直线y=-4X上D.在直线y=4x_h

答案B

解析由题意，知了(X)=5+4COSX+sinX,

,

f(x)=—4sinx÷cosx9

,z

由f(xo)=09知4sinxo—cosXO=0,

所以/Uo)=5xo,

故点M(X0,./Uo))在直线y=5x上.

二、填空题

9.(2019・天津卷)曲线y=cosX一5在点(0,1)处的切线方程为.

答案x+2y-2=0

解析V=-SinX—将X=O代入，

可得切线斜率为一g.

所以切线方程为y—1=-今，即x+2y—2=0.

10.(2020•江南十校联考)函数Xx)=(2r-l)eʃ的图象在点(0,#)))处的切线的倾斜角为

答案I

解析由.益)=(2%-1户，得/(x)=(2x+l)e*,

.V(O)-I1则切线的斜率Z=I,

又切线倾斜角6W[O,π),

因此切线的倾斜角6=今

11.(2021•济南检测)曲线y=√(x)在点P(-l,1—1))处的切线/如图所示,则/(-1)+八一1)

答案-2

解析：直线/过点(-2,0)和(0,-2),

0+2

二直线/的斜率,∕7(-l)==7T5=-1，直线/的方程为y=-χ-2.

则-1)=1-2=-1.

故/(T)+D=TT=-2.

12.已知直线y=A是曲线y=xe'的一条切线，则实数m的值为.

答案一e

解析设切点坐标为(〃，

由y=xex,得y,=(xex)r=ex+xex.

若直线y=A是曲线y=χe*的一条切线,

y'|x=〃=e"+〃e"=0,解得〃=—1,

因此藐=〃,〃=—展，故加=—e.

B级能力提升

13.若曲线y=e'在X=O处的切线也是曲线y=lnx+Z?的切线，则6=()

A.-1