第05讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）解析版

第05讲利用导数研究函数的零点（方程的根）目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查函数零点唯一问题 1题型二：重点考查讨论函数零点（方程根）的个数问题 9题型三：重点考查数形结合法讨论函数零点（方程根）的个数问题 15题型四：重点考查已知函数零点（方程根）的个数求参数（选填） 20题型五：重点考查重点考查已知函数零点（方程根）的个数求参数（解答题） 26题型六：重点考查函数零点（方程根）中的隐零点问题 33题型七：重点考查函数零点（方程根）中的极限问题 39题型一：重点考查函数零点唯一问题典型例题例题1．（2022下·内蒙古赤峰·高二校考期中）已知函数在上存在唯一零点x，则实数k的值为．【答案】e【详解】因为函数在上存在唯一零点x，所以方程有唯一正实数根，当时，由，所以当时，函数与函数的图象有唯一的公共点，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数有最小值，函数的图象如下图所示：所以当时，两个函数的图象有唯一交点，符合题意，故答案为：e例题2．（2023上·北京西城·高三北京十五中校考阶段练习）设函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若，当时，求证：.(3)若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)证明过程见解析(3)【详解】（1）时，，，故，故，故在点的切线方程为，即；（2），，故，令，，则在上单调递增，故，故在上单调递增，又，故在恒成立，故在上单调递增，故，故当时，；（3），，则，当时，在上恒成立，故在单调递增，又，故在恒成立，在区间上无零点，舍去；当时，，令，显然在上单调递增，故，当时，，，故在上单调递减，又，故在恒成立，在区间上无零点，舍去；当时，存在，使得，即，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，又，要想在区间上存在唯一零点，只需，解得，故实数m的取值范围是.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；【答案】【详解】当时，显然不满足题意，当时，若函数只有一个零点，即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为只有一个根，即直线与函数（且）的图象只有一个交点.，令，得，在和上，，在上，，所以在和上单调递减，在上单调递增.在时有极小值，图象如图所示：由图可知：若要使直线与函数的图象只有一个交点，则或，综上.例题4．（2022上·陕西安康·高二校考期末）设函数，(1)讨论的单调性(2)当时，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）由得，函数的定义域是，；①当时，，所以在上单调递增，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；②当时，由得或（舍去），当时，，当时，令，所以的递减区间是，递增区间是综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的递减区间是，递增区间是；（2）证明：由（1）知，当时，在上的最小值为．因为存在零点，所以，解得．当时，在上递减，且，所以是在,上的唯一零点．当时，在上单调递减，且，，所以在区间,上仅有一个零点．综上可知，若存在零点，则在,仅有一个零点.精练核心考点1．（2022上·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）设函数有且仅有一个零点，则实数=【答案】【详解】当时，恒成立，在上无零点．当时，即有在上有且仅有一个解．则，当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，又，∴若方程在上有且仅有一个解，则故答案为：2．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知函数，其中.(1)当时，求的单调区间；(2)已知，若只有一个零点，求的取值范围.【答案】(1)详见解析；(2)【详解】（1）当时，，则，令，则，则在上单调递增，又，则当时，，当时，，故单调递增区间为；单调递减区间为.（2），又，则的定义域为则，令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，则当时，取得最小值，①当时，，则在恒成立，则即在恒成立，故在上单调递减，当时，；当时，，故只有一个零点.②当时，，，而，设，，则，又，则，故在为减函数，故，故，则，故在上有两个零点且，且当时即，在上单调递减；当时即，在上单调递增；当时即，在上单调递减；而，令，则，，令，，则，，又，则在上恒成立，在上单调递减，则，即，则，而，且即，其中，故，故设，，则，令，则，则在上单调递减，又，则在上恒成立，故，故在上为减函数，故，故，又，，当时，，时，，故此时有3个不同的零点，故舍去.综上，.3．（2023上·全国·高三专题练习）已知函数.证明：函数在上有且只有一个零点.【答案】证明见解析【详解】证明：由，得，令，，求导得，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减，而，，则，由零点存在性定理可知，函数在上有且只有一个零点，所以函数在上有且只有一个零点.4．（2023上·广东珠海·高三校考阶段练习）已知函数，为的导数．(1)求曲线在处的切线方程：(2)证明：在区间存在唯一零点；【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1），所以切点为，又，所以，所以切线方程为，即；（2）由（1）知，令则，令，解得，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，所以，又，所以在区间上恒成立，，所以存在使得，所以在上存在唯一的零点，即在区间存在唯一零点，得证.题型二：重点考查讨论函数零点（方程根）的个数问题典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)若，判断的零点个数．参考数据：，．【答案】(1)1(2)零点个数为2【详解】（1）当时，，则，易知单调递增，且，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以．（2）由题，，又，所以单调递增，因为，所以存在唯一的，使，且当时，单调递减，当时，单调递增．又，所以在内有1个零点．令，则，令，则．所以单调递增，，所以单调递增，，即，故在内有1个零点．综上，当时，的零点个数为2．例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值．(2)在（1）的条件下，若，试探究在上零点的个数．【答案】(1)(2)只有1个零点【详解】（1）解：由，得，则有所以切线方程为．又因为曲线在点处的切线方程为，所以．（2）由（1）知，则．令，则．当时，，则单调递减，所以．所以在上单调递增．当时，；当时，．所以在上存在零点，且只有一个零点．当时，，则单调递减，，，所以存在，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减．而，所以在上无零点．综上，在上只有1个零点．例题3．（2023下·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知是函数的极值点，则：(1)求实数的值．(2)讨论方程的解的个数【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）,因为是函数的极值点，所以，即，解得或，当时，，令，则或，令，则，所以函数在上递增，在上递增，所以的极小值点为，极大值点为，符合题意，当时，，所以在上递增，所以无极值点，综上所述；（2）由（1）可得，函数在上递增，在上递增，则，又当时，，当时，，作出函数的大致图象，如图所示，当或时，方程有个解，当或时，方程有个解，当时，方程有个解.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，在点处的切线方程是.(1)求，的值；(2)设函数，讨论函数的零点个数.【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）因为，所以，又因为在点处的切线斜率为，又，求得：.（2）由（1）知，，令，则，求函数的零点个数即与图象的交点个数，，，令，解得：；令，解得：或，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，的图象如下：

当或，与图象有1个交点，当或，与图象有2个交点，当，与图象有3个交点.2．（2024·浙江温州·统考一模）已知（）.(1)求导函数的最值；(2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.【答案】(1)最大值等于(2)答案见解析【详解】（1）∵，记∴，解得：当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值等于.（2）方法1：由，即，即.令，∴，由解得：∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.方法2：由，即，即.令，，∴，由解得：∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.方法3：由，即，两边取对数得：，即.令，所以由，解得当时，，单调递增，当时，，单调递减所以当，即时，方程无解；当，即时，方程有1个解；当，即时，方程有2个解.3．（2024上·重庆·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数，其导函数为.(1)求的单调区间;(2)若函数，求关于的方程的解的个数.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）令，则，当时，，则在上递减；当时，，则在上递增；所以的递减区间为，递增区间为.（2）由题设，即求解的个数，令，则，当时，恒成立，即递增，又，即此时仅有一个零点；当时，当时，，则在上递减；当时，，则在上递增；则，令，则，所以，，故递增；，，故递减；则，即，而趋向于或时都趋向，所以，当时，，此时仅有一个零点；当且时，，此时有两个零点；综上，或，仅有一个解；且，有两个解.题型三：重点考查数形结合法讨论函数零点（方程根）的个数问题典型例题例题1．（2023上·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）的零点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】由得，构造函数，求导得在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且，及时，的图像如图，得到有3个解.

故选：D.例题2．（多选）（2023上·江西宜春·高三江西省铜鼓中学校考阶段练习）已知函数，若关于x的方程的实根个数可能有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】ABC【详解】设，关于的方程，即，两根，.函数当时，（时取等号），，当时，，即在上为增函数，当时，，即在上为减函数，在处取得极大值.当时，，，即在上为减函数，作出函数的图象如图所示：当时，方程有1个解，当时，方程有2个解，当时，方程有3个解，当时，方程有1个解，当时，方程有0个解，所以当，即时，关于x的方程的实根有1个；当，即时，关于x的方程的实根有2个；当，即时，关于x的方程的实根有3个.故选：ABC.例题3．（2023下·北京石景山·高二统考期末）已知函数(1)判断函数的单调性，并求出的极值；(2)在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像；(3)讨论关于x的方程的实根个数．【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为；极小值为，无极大值(2)图象见解析(3)答案见解析【详解】（1），即函数的单调递增区间为，单调递减区间为极小值为，无极大值.（2）当时，；当时，，且结合单调性，可画出函数的大致图像，如下图所示（3）画出函数与函数的简图，如下图所示由图可知，当时，方程没有实数根；当或时，方程只有一个实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；精练核心考点1．（2023下·江苏南京·高二江苏省溧水高级中学校考期中）已知关于的方程在上解的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】关于的方程在上解的个数，即为关于的方程在上解的个数，令，，则，则当时，单调递增；当时，单调递减.又，，在同一坐标系内作出与在上的图像，两图像有1个交点则关于的方程在上解的个数为1.故选：A.2．（2023上·全国·高三专题练习）已知函数，.求函数的零点个数．【答案】答案见解析【详解】令＝0，得，当时，无解，∴无零点，当时，，令，，∴，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，且，又时，；时，，∴的大致图象如图所示．当，即时，无零点；当，即时，有一个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有一个零点．综上，当时，无零点；当或时，有一个零点；当时，有两个零点．3．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)求的极值；(2)讨论函数的零点个数．【答案】(1)，(2)答案见解析【详解】（1）定义域为：,由题意可得．由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，故，．（2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，，，且当时，，当，．的图象如下图所示：

令，得．当或时，方程有且仅有1个实根，即有1个零点；当或时，方程有2个实根，即有2个零点；当时，方程有3个实根，即有3个零点．题型四：重点考查已知函数零点（方程根）的个数求参数（选填）典型例题例题1．（2023上·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）已知函数有且只有一个零点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】定义域为R，且，令，则恒成立，故在R上单调递增，当，即时，，单调递增，当，即时，，单调递减，故在处取得极小值，也是最小值，故要想满足有且只有一个零点，只需，即，解得.故选：A例题2．（2023上·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围.【答案】【详解】解：因为函数有两个不同的零点，所以函数有两个不同的根，即与有两个不同的交点，则，令，则，当时，，递增，且，所以在上存在零点，且，当时，，当时，，即时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以有最小值，又，则，两边取对数得，所以，又时，，时，，所以要使与有两个不同的交点，则，故答案为：例题3．（2023上·江苏无锡·高三校联考阶段练习）已知函数，令，当时，有，则；若函数恰好有4个零点，则实数的取值范围为.【答案】0或【详解】当时，，即，当时，，令，，在上恒成立，故在上单调递增，又，故在恒成立，无解，当时，，即，故或，解得或或，但舍去，其余两个满足要求，当时，，故0为的一个零点，当时，令，当时，，当时，，令，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在时取得极大值，也是最大值，且，且当时，恒成立，画出其图象如下，要想有3个不同的零点，只需；故答案为：0或；例题4．（2023上·海南·高三海南中学校考阶段练习）设函数，.若在区间上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】由于，即在区间上没有零点．因为，当时，，①当时，在区间上单调递增，时，，符合题意；②当时，在区间上单调递减，时，，符合题意；③当时，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，只需即可，所以，综上，的取值范围是.故答案为：精练核心考点1．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）已知函数，若关于的方程恰有6个不同实数根，则实数的取值范围为.【答案】【详解】当时，，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递增，且，画出函数的图象，如图所示，关于的方程恰有6个不同的实根，令，令，则在上有两个不同的实数根据，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.

2．（2023上·河南濮阳·高三濮阳一高校考期中）已知函数，若在存在零点，则实数的最小值是.【答案】1【详解】令，即，令，，而，令，，则，即函数在上单调递增，因为，，即，所以存在唯一的，使得，即，即，，所以当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增，所以，又时，，所以要使在存在零点，则，所以实数a的最小值为1.故答案为：13．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围为．【答案】【详解】函数有两个零点，则函数与函数的图像有两个交点．作出函数的图像，如图：

当时，，则，所以，故曲线在处的切线方程为，则．当时，，则，所以，故曲线在处的切线方程为，则．综上所述：实数a的取值范围为．故答案为：.4．（2023上·辽宁大连·高三大连市第一中学校联考期中）函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是．【答案】【详解】由得，设，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，又，当时，；当时，，又当，，由此画出的大致图象如图所示，由于函数恰有两个零点，所以的取值范围是.

故答案为：.题型五：重点考查重点考查已知函数零点（方程根）的个数求参数（解答题）典型例题例题1．（2023上·北京·高三景山学校校考期中）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【详解】（1）由题设，则，故，，所以在点处的切线方程为，即.（2）由，当，定义域为，此时，故，即在上递减；当，定义域为，若，则，在上递增；若，则，在上递减；（3）由题设，，故在有两个不同零点，所以在在有两个不同根，令，则，在，则，在上递减，在，则，在上递增，且，趋向于0或时都趋向于，故只需，满足题设.例题2．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数，且.(1)求在上的最大值；(2)设函数，若函数在上有三个零点，求的取值范围.【答案】(1)最小值为，最大值为.(2)【详解】（1）解：由函数，可得，因为，可得，解得，所以且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；当，函数取得极大值；当，函数取得极小值，又由，所以函数在区间上的最小值为，最大值为.（2）解：由函数和，可得，因为函数在上有三个零点，即有三个实数根，等价于与的图象有三个不同的交点，又由，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当，函数取得极小值；当，函数取得极小值，又由当时，，当时，，要使得与的图象有三个不同的交点，可得，即实数的取值范围是.例题3．（2023·广东梅州·统考三模）已知函数，，为函数的导函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若方程在上有实根，求的取值范围.【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增(2)【详解】（1），令，则当时，，函数在上单调递增；当时，，得，，得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，，方程在上有实根等价于方程在上有实根.令，则当时，，函数在上单调递增，，不合题意；当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减，，不合题意；当时，，得，，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，所以综上所述，的取值范围为例题4．（2023下·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值7.(1)求的值；(2)求函数的单调性及极值；(3)若关于的方程在上恰有2个不同的实数解，求的取值范围.【答案】(1)(2)答案见详解(3)【详解】（1）∵，则，由题意可得，解得，故，令，解得或；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，故为极大值点，则符合题意，∴.（2）由（1）可得：，且在上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，极小值为.（3）若，则，原题意等价于在上恰有2个不同的实数解，∵，由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，且，函数的图象如图所示：若在上恰有2个不同的实数解，则，故的取值范围为.精练核心考点1．（2023上·湖南衡阳·高三湖南省衡南县第一中学校联考期中）设函数．(1)求在上的最大值；(2)设函数，关于x的方程有3个不同的根，求m的取值范围．【答案】(1)(2)．【详解】（1）因为，所以．令，解得，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减．所以在上的最大值为．（2），它的定义域是，且，解得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．因为，，且当x趋于0时，趋于，当x趋于时，趋于.所以可得的草图如图所示：由图可知，要使方程有3个不同的根，只需满足，解得，即m的取值范围为．2．（2023上·全国·高二期末）已知函数在及处取得极值．(1)求a，b的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．【答案】(1)，(2)【详解】（1）∵，∴，由已知得，是的两个根，故，解得，；此时，则，令，解得，令，解得或，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.可知和均为极值点，符合题意，，.（2）由（1）得，，结合（1）可知，该函数的零点为，令，解得，令，解得或，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.∴的极小值为，极大值为，若方程有三个不同的实根，只需，解得，∴a的范围是.3．（2023下·广东东莞·高二统考期末）已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)若是的极值点，且方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，故，故，故函数在处的切线方程为，即（2）由于是的极值点，故，此时，当或时，，即在上单调递增，当时，，在上单调递减即为函数的极大值点，是函数的极小值点，故，故，故方程有3个不同的实数解，即的图象由3个不同交点，而，，结合的图象，当时，可取负无穷小，当时，可取正无穷大，

可得到.4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数）.(1)求在上的最值；(2)若函数没有零点，求实数的取值范围.【答案】(1)最小值为，最大值为.(2)【详解】（1）解：，所以，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因为，，，，所以，函数在上的最小值为，最大值为.（2）解：因为函数没有零点，所以方程无实数根，即方程没有实数根，令，则，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，函数在处取得最大值因为当时，当时，所以，函数的值域为，所以，当方程没有实数根，，即，所以，实数的取值范围为.题型六：重点考查函数零点（方程根）中的隐零点问题典型例题例题1．（2023上·全国·高三专题练习）设函数（a为大于零的常数），已知有唯一零点，求的最小值．【答案】【详解】的定义域为，．当时，设，，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增．设在上的唯一零点为，当时，＜0；当时，＞0.故在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为．由，可得，两边取对数整理得，所以，（当且仅当时等号成立）故当时，.故的最小值为.例题2．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)求证：当时，函数有且仅有个零点.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1），，在处的切线方程为.（2）由（1）令，则，①当时，，即.②当时，，③当时，在上单调递增.，存在唯一，使得.当时，，当时，，当时，单调递减；当时，单调递增.又，存在唯一，使得，即当时，，当时，，当时，有且仅有个零点.④当时，.综上，当时，有且仅有个零点.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有唯一零点，求实数a的值．【答案】【详解】，，，令，则，令，则，即在单调递减，在单调递增，，，；，；由零点存在性定理可知，，使得，即①∴在单调递减，在单调递增，且，；，；∴，即②由①②可得，令，因为，所以单调递增，又，所以方程有唯一解，将代入，解得，所以，当函数有唯一零点，实数a的值为.精练核心考点1．（2023下·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点（其中），求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，则，所以，即切点坐标为，切线斜率，故切线方程为，即.（2）由题意有两个不等的正根，等价于有两个不等的实根，设，则，设，则在为增函数，且，所以存在唯一的，使，得①，当时，，即，所以在内单调递减；当时，，即，所以在内单调递增；所以，代入①式得，当趋向于0或时，趋向，

若函数有两个零点，即函数有两个零点，可得，所以实数的取值范围.2．（2023下·湖北·高二武汉市第六中学校联考期中）已知函数.(1)求的极值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)有极小值，无极大值.(2)【详解】（1）求导得所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.（2）由题知不等式在上恒成立，则原问题等价于不等式在上恒成立，记，则记则恒成立，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，即当时，，此时；当时，，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，由得，即，所以，.3．（2023上·北京·高三统考开学考试）已知函数，曲线在的切线为．(1)求a，b的值；(2)求证：函数在区间上单调递增；(3)求函数的零点个数，并说明理由．【答案】(1).(2)证明见解析(3)零点个数为0，证明见解析.【详解】（1），则有，解得，，则.（2）由（1）知，，设，因为在上单调递增，则，所以在上恒成立，所以函数在区间上单调递增.（3）因为，令，令，得，设，由（2）知在上单调递增，且，，故存在唯一零点使得，即存在唯一零点满足，即得，则，且当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，当时，，，则，则函数的零点个数为0.题型七：重点考查函数零点（方程根）中的极限问题典型例题例题1．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)讨论函数的零点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）由题意可得，则.因为，所以所求切线方程为，即；（2）由题意可得.由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.当时，，当时，，且，.当，即时，有且仅有1个零点；当，即时，有2个零点；当时，即时，有3个零点；当，即时，有2个零点；当，即时，有且仅有1个零点.综上，当或时，有且仅有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.例题2．（2023上·山东·高三校联考开学考试）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见详解；(2)【详解】（1）由题意可得，①若，则，即函数在R上单调递增，②若，令，即，令或，即函数在上单调递减，在和上单调递增，综上：时，函数在R上单调递增；时，函数在上单调递减，在和上单调递增.（2）由（1）知，欲满足题意则需：，当时，当时，，即函数存在三个零点从小到大分布在区间上，故实数的取值范围为.例题3．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知函数.(1)求函数图象在处的切线方程:(2)若函数有两个零点，求m的值.【答案】(1)(2)或【详解】（1），故，又，故图象在处的切线方程为，即；（2），令，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，且时，，时，，若有两个零点，则必有或，即或，解得或，故m的值为或例题4．（2023下·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）已知函数．(1)若时，恒成立，求的取值范围；(2