2023年高考数学一轮复习讲义：第十二章 12-3绝对值不等式

§12.3绝对值不等式

【考试要求】1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

∣0+⅛∣≤∣α∣+∣⅛∣(α,⅛∈R);∣0-c∣≤∣α-⅛∣÷∣⅛-c∣(a,b,CeR).2.会利用绝对值的几何意义求

解以下类型的不等式：Iar+A∣≤c;∣0v+⅛∣≥c;∖x-a∖+∖x-b∖^c.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式∣M<α与∣R>α的解集

不等式a>0a=0a<0

M<a(一。，〃)00

∖x∖>a(—8,—a)U(a,+∞)(—8,0)U(0,+o0)R

⑵Iar+h∣<c(c>O)和欣+例》C(C>0)型不等式的解法

①Iar+6IWc。-cWαr+6Wc.

②Iar+例》K≠0r+62C或0r+6≤-c.

(3)∣x-c∕∣+∖x~b∣2C(C>0)和|x—a∣+∣χ-目Wc(c>O)型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

2.含有绝对值的不等式的性质

(1)如果mb是实数，则IIaITbII≤kz±4WIal+|夙

(2)如果α,b,C是实数，那么∣α~~c∣W∣α-加+仍一d，当且仅当(a—h)(⅛>—C)NO时,等号成立.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴若IXI>c的解集为R,则CWo.(×)

⑵不等式IX—l∣+∣x+2∣<2的解集为0.(√)

(3)对口+目>同一团当且仅当a>b>O时等号成立.(X)

⑷对Ia—臼Wlal+1旬当且仅当HWO时等号成立.(√)

【教材改编题】

1.不等式3W∣5—2R<9的解集为()

A.[-2,1)U[4,7)B.(-2,1]U(4,7]

C.(-2,-1]U[4,7)D.(-2,1]U[4,7)

答案D

∣2χ-5∣<9,

解析由题意得

∣2χ-5∣≥3,

I—9<2χ-5<9,—2<x<7,

即上解得，

〔2x—523或2x—5W—3,x24或x<l,

・・・不等式的解集为(-2,1]U[4,7).

2.不等式仅一1|一仅一5|<2的解集为.

答案(一8,4)

解析①当x≤l时，原不等式可化为1—x—(5—x)<2,

Λ—4<2,不等式恒成立，Λx≤l;

②当14<5时，原不等式可化为

X-1—(5-x)<2,

Λχ<4,Λl<x<4;

③当x25时，原不等式可化为工一1一(工一5)<2,该不等式不成立.

综上，原不等式的解集为(一8,4).

3.设mZ?£R,∣4一例>2,则关于实数X的不等式仅一α∣+∣χ-加>2的解集是

答案R

解析V∣x—α∣+∣x—b∖^∖(x—d)—(x—b)∖-∖h—a∖=∖a—h∖.

又・・・|。一切>2,

.∖∖χ-a∖+∖χ-b∖>2恒成立,

即该不等式的解集为R

■探究核心题型

题型一绝对值不等式的解法

例1(2021,全国乙卷)已知函数7(x)=IX-3+∣x+3∣.

(1)当α=l时,求不等式7U)26的解集；

(2)若人r)>∙-α,求”的取值范围.

解(1)当〃=1时，7U)=k—l∣+∣x+3∣,

即求∣χ-l∣+∣x+3∣26的解集，

当XNl时，2x+2N6,得x22；

当一3<x<l时，4-6,此时没有X满足条件；

当XW—3时，一2x—226,得XW—4.

综上，不等式次x)26的解集为

{x∣x≤-4或x22}.

(2)∕(x)=∣χ-Λ∣+∣X+3∣>∣(X-Λ)-(X+3)∣=∣Λ+3∣,

当且仅当a—a)a+3)wo时，等号成立.

所以“r)min=∣d+3∣>一〃，

当a<-3时，-Q—3>一4,无解；

3

当—3时，〃+3>—a,解得〃>—2»

综上所述，4的取值范围是(一方+∞).

【教师备选】

已知穴X)=IX+1|+十一”.

⑴求不等式式x)<4的解集；

⑵若不等式兀V)-Ia+l∣<0有解，求”的取值范围.

-2x,x≤-I,

2,-l≤x≤L

2x,x>l,

∙∙τω<4,1

—2x<4,(2<4,f2x<4,

：.\/或«1或«

x≤-1I—l<x≤l[x>l,

/.—2<x≤—1或一l<xWl或l<r<2,

故不等式的解集为(一2,2).

(2)∙∙7(x)=∣x+l∣+k-l∣

>∣(x+l)-(χ-1)1=2,

∙W)∏1in=2,当且仅当(x+I)(X—1)WO时取等号，

•.求x)Tα+l∣<0有解，

∣α+1∣>∕(x)min=2,

Λ∣α+l∣>2,

.,.α+l<—2或α+l>2,即α<-3或α>l,

故”的取值范围是(-8,-3)U(1,+∞).

思维升华解绝对值不等式的基本方法

(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.

(2)当不等式两端均为正数时，可通过两边平方的方法，转化为不含绝对值符号的普通不等式.

(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.

跟踪训练1(2021•全国甲卷)已知函数汽X)=IX-2|,g(x)=∣2x+3∣-∣2χ-l∣.

(1)画出y=∕W和y=g(x)的图象；

(2)若/(x+α)2g(x),求”的取值范围.

χ-29x22,

解(1求X)=

2-χ,x<2,

-4,x<-∣,

3

g(x)=W4x+2,-2

4,x*,

作出图象，如图所示.

[x~2f%22,

⑵由⑴得兀V)=CC

[2-χ,x<l,

函数4x+α)的图象即为将函数兀0的图象向左或向右平移同个单位长度，

当“W0时，即为将函数7U)的图象向右平移同个单位长度得到y(x+e)的图象，此时函数

+a)的图象始终有部分图象位于函数g(x)的图象下方，无法满足yu+α)>g(x),

则要满足«x+α)2g(x),

需«>0,Xx+α)≈∣x+α-2∣,

当函数y=∣x+α-2∣的图象过点Q,4)时，1+«-2=4,

解得α=:或“=一方(舍去)，

根据图象可得若./U+α)2g(x),则a

即°e[争^*^o°)∙

题型二利用绝对值不等式的性质求最值

例2已知函数/W=∣2x+1|+|工一4|.

(1)解不等式yu)<6；

(2)若不等式yu)+|x—4|<〃2—8α有解，求实数a的取值范围.

—3x+3,x<—

解⑴由已知得益)={χ+5,-l≤x≤4,

<3χ-3,Λ>4,

当x<一3时，-3x+3W6,即x2一1,

—1≤x<一；；

当一时，x÷5≤6,即xWl,

...-2IVWXUW1；

当X>4时，3χ-3W6,即x≤3(舍去).

综上得式x)W6的解集为[-1』].

(2)∕(x)+∣jc-4∣=∣lr+l∣+∣2χ-8∣≥9,(当且仅当一^≤xW4时取等号)

*."∕(x)+∣x—4∣<α2—Sa有解，

Λa2-8α>9,(«—9)(“+1)>0,

a<—1或a>9,

实数”的取值范围是(一8,-1)U(9,+∞).

【教师备选】

已知,*x)=|x—3∣,g(x)=|x一川(其中&》2).

(1)若火=4,求危)+g(x)<9的解集；

(2)VXW[1,2],不等式«r)—g(x)NA-X恒成立，求实数Z的值.

解(1)若发=4,则|x)+g(x)<9,即|x—3|十|x—4|<9,

x<3,[3≤JC≤4,fx>4,

即｛或"j或｛

3—x÷4-x<9[x—3÷4-x<9[JC—3÷χ-4<9,

解得一1<Λ<3或3≤x≤4或4<Λ<8,

；•原不等式的解集为｛x[—I<x<8｝.

(2),.∙⅛>2,且x∈[l,2],

'.X—3<0,X一⅛≤0,

/.y(x)=∣χ-3∣=3-ɪ,g(x)=∣χ-&|=k-X,

则VXG],2],不等式√(x)-g(x)》上一X恒成立，

即Vχ6[l,2],x+322%恒成立，

；.422鼠即ZW2,

又无》2,：.k=2.

思维升华求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种

(1)利用绝对值的几何意义.

(2)利用绝对值的三角不等式,即∖a∖+∖b∖^∖a±b∖^∖∖a∖~∖b∖∖.

(3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值.

跟踪训练2已知心)=k+l∣-∣2χ-l∣.

(1)求不等式<x)>0的解集；

(2)若XGR时，不等式/(x)Wα+X恒成立，求。的取值范围.

解⑴由题意得∣x+l∣>∣2χ-1|,

所以∣X+1∣2>∣2X-1∣2,

整理可得*-2x<0,解得。令<2,

故原不等式的解集为{X∣0<Λ∙<2}.

(2)由已知可得，α河力一X恒成立,

设g(χ)=yu)—X,

'—2,x<_1,

则g(x)=<2x,TWxW',

—2x+2,x>2，

由g(:v)的单调性可知，当X=T时，g(x)取得最大值，且最大值为1,

所以。的取值范围是[1,+∞).

题型三绝对值不等式的综合应用

例3设函数/U)=∣2%+l∣+∣χ-1|.

(1)画出y=#x)的图象；

(2)当X£[0,+8)时，"r)<0r+力，求。+人的最小值.

—3x,x<-2,

解（g）=.+2,—吴3,

<3x,x≥l.

y=∕U)的图象如图所示.

(2)由(1)知，y=∕(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,

故当且仅当“23且匕22时，>(x)Wnx+h在[0,+8)上恒成立，因此。+人的最小值为5.

【教师备选】

(2020・全国∏)已知函数兀V)=IX-“2|+仅一2〃+1].

(1)当α=2时，求不等式√U)24的解集：

⑵若«r)》4,求”的取值范围.

解⑴当α=2时，,/(x)=∣χ-4∣+∣x—3|

l-1x,x≤3,

=7,3<r<4,

.2x—7,x24.

3

当xW3时，令7—2x》4,解得XW]；

当34<4时，124,无解；

当x24时，令2L724,解得万瑞.

3

因此，不等式兀v)>4的解集为伊2一

(2)将题目转化为兀024恒成立，

即T(X)Inin24.

因为fix')=IX-O2∣+∖χ-2a^sτ1|

≥∣a2-2α+l∣=(a-l)2,

所以(“一1>》4,即1“一1|22.

解得"N3或α≤-1.

所以α的取值泥围是(一8,—1]U[3,+oo).

思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.

(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.

跟踪训练3(2022.白山联考)已知函数y(x)=∣x—2|一“∣x+l∣.

⑴当。=1口寸，求不等式五x)<x的解集；

(2)当a=2时，若关于X的不等式火x)>"+l恰有2个整数解，求实数,〃的取值范围.

解(1)由已知不等式仅一2|一∣x+l∣<r,

得|x—2∣<x+∣x+1］,

当x22时，不等式为X—2<x+x+1,

解得x>—3,所以x22；

当一l<x<2时，不等式为2—x<x+x+1,

解得x>g,所以;<χv2;

当x≤-1时，不等式为2—x<x一无一1,

解得X>3,此时无解.

综上，原不等式的解集为g,+8).

(2)由题意,函数於)=∣χ-2|—2∣x+1|,

x+4,x≤—1,

可得於)="-3%,—l<r<2,

「x-4,x22,

人幻的图象如图.

犬一3)=1,人-2)=2,A-I)=3,1O)=0,

因为关于X的不等式<x)>"+l恰有2个整数解，

由图可知，l≤τn+l<2,所以OWm<1,

故m的取值范围为［0,1).

课时精练

1.已知函数"T)=Ix-l∣+∣χ-4∣.

(1)若函数./U)的值域为［2,+∞),求实数。的值；

⑵若12—〃)宓2),求实数〃的取值范围.

解(1)V∣χ-l∖+∖χ-a∖^∖(χ-1)—(X—a)∣=∣α-1|,

Λb—11=2,解得a=3或a=—}.

(2)由12—〃)2人2),

得3∣a-1|—∣α-2∣≥1,

4Z≤I,

则’

、[3(l-q)-(2-α)2]

[l<6r≤2,

或

[3(。-1)一(2一々)21

a>29

或‹

13(4—1)—俗一2)21,

解得tz≤O或,WαW2或a>2,

综上，实数。的取值范围是(-8,0]u[∣,+8).

2.已知函数於)=∣X+1L∣X∣+”.

(1)若α=0,求不等式./U)》o的解集；

(2)若方程yu)=x有三个不同的解，求实数。的取值范围.

—1,Λ<-1,

解(1)当α=0时，"r)=∣x+1|—∣x∣=<2x+l,—l≤x<0,

,1,x20.

所以当x<—1时，_/U)=一ι<o,不符合题意；

当一IWXeO时，贝X)=2x+lN0,

解得一；WXe0；

当x20时，<X)=I>0,符合题意.

综上可得加)20的解集为[一/+∞).

(2)设M(X)=∣X÷1∣-∣x∣,y="(x)的图象和y=x的图象如图所示.

易知y=“(x)的图象向下平移1个单位长度内(不包括1个单位长度)，与y=x的图象始终有3

个交点,从而一l<α<0.

所以实数α的取值范围为(一1,0).

3.已知函数贝X)=I2x+α∣-∣x一3∣(α∈R).

(1)若a=—1,求不等式火x)+l>0的解集；

(2)已知a>0,若大尤)+3a>2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围.

解(1)因为。=-1,

fC1

—X-2,x<2，

所以_/W=1L4,∣≤X≤3,

、x+2,x>3,

所以不等式y(χ)+ι>o等价于

r1

咆，∖≤x≤3,

或J2

.-χ-2+l>0k3χ-4+l>0

fx>3,

或

[x+2+1>0,

解得XV—1或x>l.

所以不等式火x)+l>O的解集为

{x∣x<-1或x>l}.

(2)因为a>O,

'.a

-X-a_3,x<-2,

所以加)=<3χ+α-3,-f≤x≤3,

∖x+α+3,x>3.

根据函数的单调性可知函数HX)的最小值为

/'V)T-3,

因为兀c)+34>2恒成立，

所以一5一3+3a>2,解得a>2.

所以实数”的取值范围是(2,+∞).

4.(2022.郑州模拟)已知函数y(x)=∣2x+α∣+1.

⑴当α=2时,解不等式丸x)+x<2;

(2)若存在“C-∣,1,使得不等式式外26+|2%+序|的解集非空，求b的取值范围.

解(1)当α=2时，函数7(X)=∣2Λ+2∣+1,

解不等式式尤)+x<2化为∣2x+2|+1+x<2,

即∣2x+2∣<l—X,

.*.x—l<2x+2<1—x(x<1),

解得一3<rv-g,

不等式的解集为卜I-3<x<-g∣.

(2)由∕x)2b+∣2x+4九

得⅛≤∣2x+0∣-∣2x+α2∣+1,

设g(x)=∖2x+a∖-∖2x+a2∖+i,

则不等式的解集非空，等价于6Wg(x)max,

由g(%)z≤∣(2x+a)-(2r+∕)∣+1

=|c——α