2023年高考数学一轮复习讲义：第八章 8-6几何法求空间角

§8.6几何法求空间角

【考试要求】以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.理解异面直线所成角、直线

和平面所成角和二面角的定义，并会求值.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线α,h,经过空间任一点。分别作直线//a,h'//h,把直线

a'与Z√所成的锐比(或直角)叫做异面直线α与匕所成的角(或夹角).

⑵范围：(0,f]-

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的螃所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的

角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是9(Γ;一条直线和平面平行或在平面内，则它

们所成的角是0°.

⑵范围:0.5.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①OG/；

②OAUa,OBCβ∙

③OAL/,OBLl,则二面角a-IT的平面角是/AOA

(3)二面角的平面角α的范围：[0,π].

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若直线/1,/2与同一个平面所成的角相等，则∕∣“∕2∙(X)

π

(2)异面直线所成角的范围为［θ,2J∙(×)

(3)如果平面ɑ〃平面ɑ∣,平面夕〃平面小，那么平面α与平面夕所成的二面角和平面内与平

面向所成的二面角相等或互补.(√)

TT

(4)线面角的范围为0,2，二面角的范围为［O,π］.(√)

【教材改编题1

1.如图所示，在正方体ABCD-AIBeQl中，E,尸分别是A8,4。的中点，则异面直线BC

与EF所成角的大小为()

C.60oD.90°

答案C

解析连接B∣D∣,O∣C(图略)，则BχDy//EF,故NDIBlC即为所求的角或其补角.又BQl

o

=β∣C=DlC,.∙.Z∖BQC为等边三角形，ΛZD,B∣C=60.

2.如图所示，AB是。。的直径，%_1。0所在的平面，C是圆上一点，且乙4BC=30。，PA

=AB,则直线PC和平面ABC所成角的正切值为.

答案2

解析因为以，平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以NPCA即为PC

11PA

和平面ABC所成的角.在Rt中，因为AC=5A8=7/汛所以tan/PCA=XK=2.

ZZ/1

3.如图，在正方体ABCZ)—A'B'C'D1中:

①二面角D'一48一。的大小为

②二面角4一A8一。的大小为

答案①45。②90。

解析①在正方体ABCD-A1B'C1D'中，ABl.平面ADD'A',所以AB±AD',

AB±AD,因此ND'AO为二面角D1-AB—。的平面角.在Rt△£>'DA中，ZD'AD=

45°,所以二面角。'-AB-O的大小为45。.

②因为ABj_平面AD£)'4',所以ABlAA',因此NA'AO为二面角4'一48一力的平

面角，又NA'AD=90o,所以二面角A'—A3-。的大小为90。.

■探究核心题型

题型一异面直线所成的角

例1(1)在长方体ABCD-A181Goi中，AB=BC=∖,AA∣=√5,则异面直线Aol与Z)Bl所成

角的余弦值为()

答案C

解析如图，连接BD1,交于0,取AB的中点M,连接。M,OM.易知。为BA的中

点，所以ADx//OM,则NM。。为异面直线AD1与DBl所成角或其补角.因为在长方体

ABCD-43CQl中，AB=BC=I,AAι=√3,

AD∣=√AD2+DDT=2,

DM=-∖JAD2+GA=坐,

DBI=√AB2+Af>2+BBτ=√5.

所以OAf=TAZ)I=1,OD=3DBi=坐,

于是在aDMO中，由余弦定理,

=亚

得

cos/MOQ=5，

2X1X专

即异面直线An与。Bl所成角的余弦值为坐.

延伸探究若将本例（1）中题干条件''A4=√5''变为"异面直线A山与AoI所成角的余弦值

9

为15”.试求A4的值.

解设Λ4ι=/,∖ΛAB=BC=↑,

ΛA∣Cι=√2,48=BCI=W+1.

2

.z4rλ,AiB+BC]-A^

..cosZAlBCι2×A∖B×BC∖

r2+l+r2+l-29

-2×√Z2+l×∙√∕2+l-1°,

解得f=3,则AAl=3.

（2）（2022•衡水检测）如图，在圆锥SO中，AB,CD为底面圆的两条直径，A8∩8=0,且

ABLCD,SO=OB=3,SE=%B,则异面直线SC与。E所成角的正切值为（）

迤近

AMcnD

a∙2a-3J6LZ3

答案D

解析如图，过点S作"〃OE,交AB于点F,连接CE则∕CSF（或其补角）为异面直线SC

与OE所成的角.

"：SE=^SB,.".SE=^BE.

又0B=3,.,.OF=^OB=I.

∖'SO±OC,So=OC=3,

ΛSC=3√2.

,：SOA.OF,：.SF=√SC>2+OF2=√10.

,：OCVOF,：.CF=√10.

.∙.在等腰ascF中,

【教师备选1

（2022•郑州模拟）如图，在直三棱柱ABC-AIBIG中,AC=BC=4,ACLBC,Cel=5,D,E

分别是AB,SG的中点，则异面直线BE与CZ）所成的角的余弦值为（）

答案C

解析如图，取AICl的中点F,连接。F,EF,CF.

易知E尸是A4∣8ιCl的中位线，

所以EF∕∕A↑B↑且EF=^AiBl.

又A3〃4囱且AB=AIB。为AB的中点，

所以BD//AiB↑且BD=^A↑Bl,

所以EF//BD且EF=BD.

所以四边形BoFE是平行四边形，

所以DF//BE,

所以NQ）F就是异面直线BE与CO所成的角或其补角.

因为AC=BC=4,AC±BC,CC,=5,D,E,F分别是A8,B1Ci,AICl的中点,

所以C∣F=%ιG=2,

BtE=∕Cι=2且CD±AB.

由勾股定理得AB=］再不=4√5,

由勾股定理得CF=√药，DF=BE=啊

在ACZ)P中，由余弦定理得

思维升华求异面直线所成的角的三个步骤

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角或其补角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.

跟踪训练1(1)(2021•全国乙卷)在正方体ABCr)—4以CQl中，P为BQI的中点，则直线PB

与Aol所成的角为()

答案D

解析方法一如图，连接GP,因为ABCO-A∕∣CQ∣是正方体，且P为BIA的中点，所

以GP又ClPLBBi,所以CIP_L平面B山P.又BPU平面8∣BP,所以CIPJ_BP.连接

BCi,则AD↑∕∕BC↑,所以NPBG为直线PB与AD↑所成的角.设正方体ABCD-A↑B↑CiDt

的棱长为2,则在RtaC∣PB中，ClP=消Dl=巾,BC1=2√2,SinNPBG=5云=],

TT

所以/PBG=不.

方法二

如图所示，连接8G,AiB,AtP,PCi,则易知AQ所以直线PB与ADl所成的角等

于直线PB与BCl所成的角.根据P为正方形4B∣CιD∣的对角线BQl的中点，易知A∣,P,

Cl三点共线，且P为AIG的中点.易知A∣B=8G=4G,所以4A∣8C∣为等边三角形，所

以NAIBCl昔又P为4G的中点，所以可得NPBGK/4BG=全

(2)如图，已知圆柱的轴截面A8B∣4是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，Cl是圆柱上底

面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为

答案√2

解析如图，取圆柱下底面弧AB的另一中点。，连接C∣O,AD,

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以4O〃BC,

所以直线AG与AQ所成的角等于异面直线Ac与BC所成的角.

因为Cl是圆柱上底面弧4B∣的中点，

所以CQL圆柱下底面，所以CQLAD

因为圆柱的轴截面ABBiAi是正方形，

所以CID=@AD,

所以直线AG与A。所成角的正切值为小，

所以异面直线AG与BC所成角的正切值为√Σ

题型二直线与平面所成的角

例2如图，在长方体4BCO-4B∣G。中，E,尸分别为BC,CCl的中点，AB=AD=2,

AAI=3.

(1)证明：EF〃平面4ADO|；

(2)求直线AC,与平面AiADDi所成角的正弦值.

⑴证明如图，连接BC∣,ADi,由E,F分别为BC,CCI的中点，可得EF//BG,

在长方体ABCD-48∣GQ∣中，

AB/∕ClD∣,AB=C1D1,

因此四边形ABGA为平行四边形，

所以BC1//ADi,

所以EF//AD1,

又ERI平面AIADA,AAU平面AIA

所以EF〃平面A∣AOO∣.

(2)解在长方体ABCO-A山∣C∣D∣中，

因为平面44。。，

所以4G在平面AlAQA中的射影为AO∣,

所以∕GAZλ(或其补角)为直线AC∣与平面A1ADD1所成的角，

由题意知4G=√22+22+32=√I7,

在Rt∆ADιCι中，SinNCjAZ)I==^∙j∙^=,

即直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值为喟.

【教师备选】

如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为正方形，PD=BC=I,二面角P-Cc-A为直

二面角.

(1)若E为线段PC的中点，求证：DELPB-,

(2)若PC=√5,求PC与平面∕¾B所成角的正弦值.

⑴证明：PQ=QC=I,且E为Pe的中点，

：.DElPC,

又Y二面角P-CD-A为直二面角，

，平面PCQ_L平面ABC。，

VBCVCD,平面PCf>∩平面ABCO=CD,

.∙.BCLL平面PCD,

：.BCLDE.

：BCu平面PBC,PCU平面PBC,8CΓ∖PC=C,

；.OE_L平面PBC,

又：PBu平面PBC,

.∖DE±PB.

⑵解若PC=#,

由余弦定理可求得NPOC=120。，

过点P作P”,C。的延长线于“，如图，

可得P”_L平面ABCD,

在RtAPWD中，

PH=PDsin60。=咨

过“点作“G〃D4,且HG与24的延长线交于G点.

可得HG-LAB,从而PGj_AB.

_________∏j

在RtZkPHG中，PG=y∣PH2+HG2ɪɪ-,

.v=乂PH=LX1义亚=亚

•∙yP-ABC—3∖AABC,产H—ɜ^2^2—12'

设点C到平面PAB的距离为h,

则三棱锥C-必B的体积

,7Ic,U业√3

V=^S∆AHP-h=^×2×2l^i2,

解得/1=音，设PC与平面BAB所成的角为仇

.__h__亚

SinθaPC7，

S

即尸C与平面∕¾B所成角的正弦值为年.

思维升华求线面角的三个步骤

一作（找）角，二证明，三计算，其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作

垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.

跟踪训练2(1)如图,在直三棱柱ABC—4向Cl中,。为AC的中点.若AB=BC=BBl,ZABC

_7t

=2'则CC,与平面BCiD所成角的正弦值为.

答案坐

解析过点C作C4LG。于点H,

：三棱柱ABC-A1BiCi为直三棱柱,

.∙.CG∙L平面ABC.

U平面ABC,

：.CCiIBD.

'：AB=BC,。为AC的中点,

：.BDA.AC,

XCC1∩AC=C,CG,ACU平面ACG,

L平面ACG,

VCHc-sPWACC↑,

C.BDLCH.

又C”J_G。，GDCBD=D,CtD,BoU平面BCQ,

...C4_L平面BCD

：.NCC\D为Cel与平面8G。所成的角,

设AB=2a,

则CD=巾a,CιD=yβa,

../RRR.CDyf2a√3

..SinZCClD-C|D-^-ɜ.

(2)(2022・贵溪市实验中学模拟)如图，在长方体ABCQ-ABiCIA中，AB=AD=I,Λ4l=2,

点P为。。的中点.

①求证：直线32〃平面B4C；

②求直线Br)I与平面ABC力所成角的正切值.

①证明如图，设AC和8。交于点。，则。为8。的中点,

连接PO,又是力。I的中点，故P0〃BDi,

又YPOu平面Λ4C,BON平面7¾C,

直线BDl〃平面PAC.

②解在长方体ABCD-AlBIC中，

平面ABCD,

：.NDlBD是直线BA与平面ABCD所成的角，

∙.∙OD∣=2,BD^AB2+AD2=√2,

∙,∙tan∕DιBD=1^=^∖f^,

直线BDi与平面ABCD所成角的正切值为由.

题型三二面角

例3(2022.上海市延安中学模拟)如图，在多面体ABCDE/中，四边形ABCD是边长为2的

菱形，ZBAD=60o,四边形8。EF是正方形，平面BDERL平面ABCD

(1)证明：平面ACE_L平面3。Ea

(2)若点M是线段B尸上的一点，且满足DMJL平面ACE,求二面角A-OM-B的正切值.

(1)证明：四边形ABCD是菱形，

.".AC-LBD,

由四边形BCEF是正方形有DEVBD,

又平面BDEFL平面ABCD,平面BDEFC平面ABCD=BD,DEU平面BDEF,

：.QEJ_平面ABCD,

又ACU平面ABCD,

：.DElAC,

又BDCDE=D,且BD,DEU平面BDEF,

...AC，平面Bz)EP,由ACU平面ACE,

平面ACE平面BDEF.

⑵解设。是AC,8。的交点，连接OE交OM于G,连接AG,如图.

由Z)M_L平面ACE,AG,OEU平面ACE,

：.AG-LDM,OELDM,

/AG。是二面角A-DM-B的平面角，

由射影定理知，。。2=OGOE,00=1,DE=I,

则0E=yβ,OG=坐

ΛQ_

.*∙tanNAGo=Cr="∖∣15,

ULJ

二面角A-DM-B的正切值为仃.

【教师备选1

如图，在正方体ABC。-AIBIGa中，点E在线段Cz)I上，CE=2EDl,点F为线段A8上的

动点，AF=λFB,且EF〃平面AooIA1.

⑴求义的值；

(2)求二面角E—OP—C的余弦值.

解⑴过E作EGJ_D。于G,连接GA,如图.

贝IJEG〃C。，而C。〃布，所以EG〃6V

因为EF〃平面AoZ)IA1,EFU平面£7豕7,

平面EGA尸C平面Ar)DIAl=GA,所以EFV/GA,

所以四边形EGAF是平行四边形，所以GE=AE

因为CE=2ED∖,

GED∖E1

所以,

DC~D∖C~y

所以箓=W,即党=⅛所以2=，

(2)过E作EHLCD于H,过”作HMLDF于M,连接EM,如图.

因为平面CDDlGj■平面ABCD,EHLCD,

所以E4_L平面ABCD.

因为。尸U平面ABCD,所以EH±DF.

又HM工DF,HMCEH=H,

HM,EHU平面EMH,

所以Z)F_L平面EMH.

因为EMU平面EMH,所以DFVEM.

所以NEM”是二面角E—DF-C的平面角.

设正方体的棱长为3a,则EH=24

在Rt△£>“尸中，DH=a,HF=3a,DF=√lθα,

DHHFa×3a__3_

所以HM=DFy[∖0ay[↑C∣a

7

在Rt∆E∕∕M中,求得EM=JEH?+HM2=常'

所以cosZEMH=^τj=τj,

ΓJ1V1/

所以二面角E一。F-C的余弦值为方

思维升华作二面角的平面角的方法

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平

面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可

得二面角的平面角.

跟踪训练3如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，APBC为

正三角形，M,N分别为P。，BC的中点，PNl.AB.

(1)求三棱锥P-AMN的体积；

(2)求二面角M-AN-D的正切值.

解(I)VPB=PC,

：.PNlBC,

又YPNLAB,ABHBC=B,

AB,BCc5FWABCD,

.∙.PML平面ABCQ,

•：AB=BC=PB=PC=2,

：.PN=事,

M为PD的中点，Vp-AMN-YD-MdN=VM-ADNt

；•½>-AMN=±V>-AZW=*p-ABeD="xgx4又小=坐.

⑵如图，取ON的中点E,连接ME,

,/M,E分别为尸。，DN的中点，

：.ME//PN,

：PN，平面ABCQ,

.∙.ME1,平面ABCD,

过E作EQLAM连接M。，

又ME_L4N,EQCME=E,EQ,MEU平面MEQ,

平面MEQ,

.∖AN±MQ,

/MQE即为二面角M-AN-O的平面角,

tan/MQE=畏,

YPN=小,

：.ME=

•：AN=DN=#,AO=2,

∙∙.QE=手，

Ian∕Λ∕QE=当ɪ.

即该二面角的正切值为华.

课时精练

区基础保分练

1.（2020•新高考全国I）日皆是中国古代用来测定时间的仪器，利用与愚面垂直的唇针投射到

号面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为0）,地球上一点A的纬度是指OA与

地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与。4垂直的平面.在点A处放置

一个日唇，若愚面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40。，则劈针与点4处的水平

面所成角为（）

A.20oB.40oC.50oD.90°

答案B

解析如图所示，。。为赤道平面，。01为A点处的日署面所在的平面,

由点A处的纬度为北纬40。可知NoAOl=40。,

又点A处的水平面与OA垂直，唇针AC与。Oi所在的面垂直，

则署针AC与水平面所成角为40°.

2.如图，∕¾，圆。所在平面，AB是圆。的直径，C是圆周上一点，其中AC=3,PA=Ar,BC

=5,则PB与平面MC所成角的正弦值为（）

答案A

解析根据题意，48是圆。的直径，C是圆周上一点，则BCJ_AC,

又由孙，圆。所在平面，则∕¾LBC,

因为出∩4C=4,PA,ACU平面∕¾C,

则BC，平面∕¾C,故/8PC是PB与平面BAC所成的角，在aACB中,AC=3,8C=5,ACLBC,

则AB^y]AC2+BC2=√34,

在△外B中，Aβ=√34,PA=4,PAlAB,

则PB=y∣PA2+AB2=5√2,

在RtZV>C8中，BC=5,PB=5√2,

则SinNBPC=^^=彳.

FDZ

3.（2022•哈尔滨模拟）已知在直三棱柱ABe-AlBlG中，NABC=I20。，AB=2,BC=CCt=

1,则异面直线4B∣与BG所成角的余弦值为（）

√Tb

答案C

解析如图所示，补成直四棱柱ABCZ）—AIBlGOI,

则所求角为/BCQ,

VfiC∣=√2,BD=√22+1-2×2×1×cos60o=√3,ClD=ABI=小,易得GU=BD2+Bα,

即BCi±BD,

BC∣√2√Iθ

因此COSNBGn=

C0-√5-5-

4.在正四面体P-ABC中，点M是棱BC上的动点（包含端点），记异面直线PM与AB所成

的角为。，直线PM与平面ABC所成的角为6，则（）

A.a>βB.a<β

C.a^βD.aWβ

答案C

解析根据题意，如图，作尸0,底面A8C,连接OM,

则NPAYO是直线PM与平面4BC所成的角,

即NPMo=£,

过点例作/平行于48,过点P作PNJJ,与/交于点N,/PMN是直线PM与A8所成的角,

即NPMN=a,在Rt△尸OM和RtAPMN中，有PN^PO,贝!∣sin«≥sinβ,则a^β.

5.在长方体ABS-AlBlGA中，4B=2,AO=AAl=1,则二面角G—AB—C为（）

C2兀

A,^B.—

Cπ

D4

答案D

解析由图可知GB_LAB,CBLAB,

G

A1

C

所以/G2C是二面角C∣-AB—C的平面角,

tan∕C∣BC=签=1,所以NGBC=今

6.在正方体ABC。-4B∣CQ∣中，下列说法不正确的是（）

A.A∖C∖VBD

B.Λ∣C1BD

C.BIC与BC所成的角为60。

D.AG与平面ABCO所成的角为45。

答案D

解析对于A,如图，

由正方体性质可知

βlD∣!Λ1Cι,

又因为88|〃。£>1,

且BBI=DDI,

所以四边形BBlDQ为平行四边形,

所以B1D1//BD,

所以A∣C∣L8C,故选项A正确；

对于B,如图，

由正方体ABCf)-4BιCS可得CGl.平面ABCD,

8。U平面ABCD,

所以CCJBD,

由选项A可知AIel_LBD,又AIGnCG=C1,

A∣G,CClU平面AlClC,

所以平面AIGC,因为ACU平面4C∣C,

所以8Z)LAιC,故选项B正确；

对于C,如图，

由选项A可知BD∕∕B↑D∖,

所以/CBiQi为直线SC与直线20所成的角,

由正方体性质可知ABiCQ为正三角形，

所以NCBIA=60。，故选项C正确；

对于D,如图，

由CClJ.平面ABCD,

所以/GAC为直线AG与平面ABC。所成的角，

在正方体A5CC-A∣8∣C∣Q∣中，AC=y∣2CCl,

CCi√2

tanz_CAClAC2,

所以NCAGr45。，

故选项D错误.

4

7.在正四棱锥P-A88中，底面边长为2,四棱锥的体积为小则二面角P—A8-C的大小

为.

答案45°

依题意，PE_L平面ABCr>,

取AB的中点F,连接FE,FP,易知AB_LEF,ABLPF,

则NPFE为二面角P—A8—C的平面角，

14

又Vp^BCD=^×2×2×PE=y

故PE=I,；.PE=EF=I,

...△PEF为等腰直角三角形,

.,.ZPFE=450.

8.在三棱锥S-ABC中，Z∖4BC是边长为2的正三角形，SA，平面ABC,且SA=2,则A8

与平面SBC所成角的正弦值为.

较口案e7ɪ

解析如图，取BC的中点。，连接AO,SD,过4作40LS3,交SD于点0,连接08,

S

：在三棱锥S-ABC中，AABC是边长为2的正三角形,

SA_L平面ABC,且SA=2,

：.AD±BC,SDLBC,SA±AD,

∖'ADC∖SD=D,AD,SoU平面S4。，

.∙.BUL平面SAD,

：.BClAO,

AD=√4-1=√3,SD=N4+4-I=市,

∖,^×SA×AD=^×SD×A0,

"：AOlSD,SDQBC=D,SD,BCU平面SBC,

；.A。，平面SBC,

：./A80是AB与平面SBC所成的角，

：.AB与平面SBC所成角的正弦值为

2幅

.3c_也__Z__叵

sinz-√AoC∕AB27,

9.如图，己知在三棱锥A-BC。中，平面ABO_L平面ABC,AB1,AD,BC±AC,BD=3,AD

=1,AC=BC,M为线段A8的中点.

C

(1)求证：BCJL平面AC。；

(2)求异面直线MD与BC所成角的余弦值；

(3)求直线MD与平面ACD所成角的余弦值.

(1)证明；平面A3。，平面ABC,平面ABQrI平面ABC=AB,AD±AB,A。U平面ABO,

...AD，平面ABC,.∖ADA,BC,

又AULBC,ADHAC=A,AD,AeU平面AC。，

...Be,平面ACD

⑵解如图，取AC的中点N,连接Λ∕MDN,

是AB的中点，

：.MN//BC,

.∙.NNME）（或其补角）为异面直线MD与BC所成的角,

由（1）知BC_L平面ACD,

.∙.MNJL平面ACE>,MNLND,

VBD=3,AD=∖,AB±AD,

ΛAB=2√2,

XVAC=BC,ACLBC,：.AC=BC=2,

在RtZXMND中，MN=/C=1,

MD=√AD2+AM2=√3,

•∕flm,nMN√5

..COSZ∕VΛZL)-ɜ,

即异面直线M。与BC所成角的余弦值为由.

(3)解由(2)知NM£>N为直线MO与平面ACn所成的角，

在RtZYMND中，NDKMD2-AlM=也,

•W_蟹_啦—逅

..cosZMDN-md-^~3,

即直线MQ与平面ACO所成角的余弦值为博.

10.如图，在三棱锥A—BCD中，Z∖ABZ)为等边三角形，BC=BD,平面48£>_L平面8CZ)且

BAlBC.

⑴求证：BCLAD-,

(2)求二面角A-CD-B的正切值.

⑴证明如图，取BQ的中点E,连接AE,

则4E_LBD,因为平面ABO_L平面BCD,平面ABO∩平面8Cf>=8O,AEU平面AB。,

则AE，平面BCD,

所以AE_L8C,

又因为A8_LBC,ABΠAE=A,

AB,AEU平面AB。，

则BCJ_平面ABO,因为AOU平面AB。，

则BCLAD.

(2)解如图，过点E作EF_LCO交C。于点尸，连接A凡

由(1)知AE_LC£>,AE∏EF=E,AE,EFU平面AEF,

所以Cr)J_平面AEF,

因为AFu平面AEF,

则CDlAF,

所以NAFE为二面角A-CO-B的平面角.

因为AABO为等边三角形，设BD=2,

则AE=√5,EF=号

ΔΓyfltL

则tan/AFE=EF=.

2

所以二面角A-CD-B的正切值为黄.

生技能提升练

11.在长方体ABC。一AIBlCQl中，底面ABC。是正方形，异面直线AB与Ac所成角的大

小为余则该长方体的侧面积与表面积的比值是()

4一2啦R4∑3^

7B∙4

c8~2√24-√2

D^8

答案C

解析如图，连接8C,

因为AB"Aι8∣,

所以/Bι4C是异面直线AB与AC所成的角,

JT

即ZBiAiC=J.

设AB=X,AA↑=y,

在AAiBiC中，BiC2=X2+/.AιC2=2x2+yi,

x2+2x2+y2-(x2+r)1

则CosZfiiAiC=

2x-y]2x2+y22,

整理得y-y{2x,

从而该长方体的侧面积Sι=4*y=4√∑r2,

该长方体的表面积

S2=4xy+2x2=（46+2）Λ2,

劫54^X28-2也

故豆=（4啦+2）f=7-

12.某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E,则PE与底面所成的角为（）

俯视图

λπC兀

A∙3B-4

一兀C兀

c∙6D2

答案A

解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，

ZPEA为PE与底面所成的角.

V∕¾=√6,Af=√2,

tanZPE4≈∙T7=-J3,

AZS

π

.*.NPEA=T

13.已知正四面体A—BCQ的棱长为2,点E是AD的中点，点F在线段BC上，则下面四

个命题中：

03F∈BC,EF//AC-,

②X∕F∈BC,CF≤√3;

03F∈BC,EF与AO不垂直；

④RFGBC,直线所与平面BCz）夹角正弦的最大值为坐.

所有不正确的命题序号为.

答案①③

解析如图，

对X∕F∈BC,EF与AC异面或相交，故①错误；

当点尸为BC的中点时，EF为异面直线A。和Be的公垂线段，此时EF取得最小值，当尸

与B,C重合时，E尸取得最大值小，故②正确；

因为AC_LBE,ADLCE,BECCE=E,所以AQ_L平面BEC,故A£>_LEF,故③错误；

因为E到平面BCO的距离为定值d,设直线M与平面BC。的夹角为仇则sinθ=∙⅛,当F

L,Γ

为BC的中点时，易知EF为异面直线AQ和8C的公垂线段，此时EF取得最小值，sinO=蛊

tLr

有最大值，此时QF=√5,DE=I,故EF=73-1=巾,在Rt△£："）中，EFDE=DFd,解

得d=哗,所以Sine=急=坐，故④正确.

JL,ΓJ

14.如图，在矩形A8C。中，AB=2,