《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》教学设计、导学案、同步练习

第五章三角函数《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.2正弦函数、余弦函数的性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．2.掌握y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。a.数学抽象：函数性质的总结；b.逻辑推理：由正余弦函数性质解决y＝Asin(ωx＋φ)的性质；c.数学运算：运用函数性质解决问题；d.直观想象：运用函数图像归纳函数性质；e.数学建模：正余弦函数的性质及应用；【教学重难点】教学重点：y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．教学难点：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．【教学过程】教学过程设计意图（一）创设问题情境提出问题类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？问题探究根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sinx+2kπ=sinx（k∈Z）中得到反映，即自变量x（二）问题探究1.周期性一般地，对于函数fx,如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fx+T=周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上∀k∈Z，且k≠０，常数2如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２典例解析例2．求下列三角函数的周期：(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；（3）y=2sin12分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式fx+T=fx而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos2(x+T)=cos2x，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出【解】(1)QUOTE∀k∈Z，有3sin(x＋π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.(2)令，由，得，且的周期为2π.即因为cos(z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，所以cos2(x＋π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.令z=12x-π6,由x∈R即，2sinz+2π所以，由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？归纳总结求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq\f(2π,|ω|).(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．2.奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点犗对称，余弦曲线关于x轴对称．这个事实，也可由诱导公式sin-x=-sinx；cos知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助?做一做1．(1)函数f(x)＝eq\r(2)sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数(2)判断函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))的奇偶性．【答案】A【解析】(1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝eq\r(2)sin2(－x)＝－eq\r(2)sin2x＝－f(x)，∴函数为奇函数．(2)∵f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))＝－coseq\f(3,4)x，∴f(－x)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)x))＝－coseq\f(3,4)x，∴函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))为偶函数.归纳总结1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．3.单调性由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间（如[-观察图5.4-8，可以看到：当x由-π2增大到π2时，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到1；当x由π2增大到sinx的值的变化情况如表5.4.2所示：就是说，正弦函数y=sinx在区间[-π正弦函数在每一个闭区间[-π2+2kπ,π类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如[-π由此可得，余弦函数y=cosx,x余弦函数在每一个闭区间,上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间,上都单调递减，其值从1减小到-1．函数名递增区间递减区间y=sinxy=cosx４.最大值与最小值从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，正弦函数当且仅当x＝时,取得最大值１，当且仅当x＝时,取得最小值－１；余弦函数当且仅当x＝时,取得最大值１，当且仅当x＝时,取得最小值－１．例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．（１）y=cosx+1，x∈R；（２）y=-3sin2x，x∈解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．（１）使函数y=cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y=cosx，x∈R，取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝；使函数y=cosx+1，x∈R，取得最小值的狓的集合，就是使函数y=cosx，x∈R取得最小值的x的集合｛x｜x＝（2k+1）π，k∈Z｝．函数y=cosx+1，x∈R的最大值是１＋１＝２；最小值是－１＋１＝０．(2)解：令z＝2x，使函数）y=-3sin2x，z∈R取得最大值的z的集合，就是使y=sinz，z∈R取得最小值的z的集合｛z｜z＝-π2+2kπ，k∈Z｝由z＝2x＝-π2+2kπ，得x＝-π4+kπ．所以，使函数y=-3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝-π4+kπ,k∈Z｝．理，函数y=-3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是｛x｜函数y=-3sin2x，x∈R例4.不通过求值，指出下列各式的大小：(1)sin(-π18分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．解：（１）因为-π正弦函数y=sinx在[(2)cos(-23π解：cos-23π5=cos23π5=cos3π5因为0<所以cos3π5>cosπ4；例5.求函数y=sin(12x+π分析：令z=12x+π3当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数解：令z=12x+π3，x∈因为y=sinz，z∈-2π3,4且由-π2≤所以，函数y=sin(12x+π3通过对函数学习的回顾，提出研究正弦与余弦函数性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；三、当堂达标1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin(60°＋60°)＝sin60°，则60°为正弦函数y＝sinx的一个周期．()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．()(3)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()1．【解析】(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin40°，所以60°不是正弦函数y＝sinx的一个周期．(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确．(3)×.因为定义域不关于原点对称．【答案】(1)×(2)√(3)×2.函数f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为()A.eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π2.【解析】因为eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋4π－\f(π,4)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋2π))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4π.【答案】D3.函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的一个递减区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))B．[－π，0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)π，\f(2,3)π))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2,3)π))3.【解析】令x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3,2)π＋2kπ))，k∈Z，得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，\f(4,3)π＋2kπ))，k∈Z，k＝0时，区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))是函数f(x)的一个单调递减区间，而eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2,3)π))⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3))).故选D.【答案】D4．比较下列各组数的大小：(1)cos150°与cos170°；(2)sineq\f(π,5)与sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,5))).4．【解】(1)因为90°<150°<170°<180°，函数y＝cosx在区间[90°，180°]上是减函数，所以cos150°>cos170°.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,5)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(3π,5)))＝sineq\f(3π,5)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5)))＝sineq\f(2π,5).因为0<eq\f(π,5)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，函数y＝sinx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，所以sineq\f(π,5)<sineq\f(2π,5)，即sineq\f(π,5)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,5))).通过练习巩固本节所学知识，巩固对正余弦函性质的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、小结1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性2.求函数的单调区间：（1）.直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》导学案【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．2.掌握y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．【重点难点】重点：y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．难点：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．【知识梳理】1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得当x取定义域内的________值时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，_________叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．两种特殊的周期函数(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.2.正、余弦函数的奇偶性1．对于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函数y＝sinx是____函数，正弦曲线关于______对称．2．对于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函数y＝cosx是____函数，余弦曲线关于________对称．3.正、余弦函数的单调性与最值不同处图象奇偶性____函数____函数单调性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是________；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)上是________在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是________；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上________不同处对称轴x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)对称中心(kπ，0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)最值x＝___________时，ymax＝1；x＝___________时，ymin＝－1x＝_____时，ymax＝1；xx＝______时，ymin＝－1【学习过程】提出问题类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？问题探究根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sinx+2kπ=sinx（k∈Z）中得到反映，即自变量x的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“1.周期性一般地，对于函数fx,如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fx+T=fx那么函数fx就叫做周期函数（周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上∀k∈Z，且k

≠０，常数2如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期（根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，2k

π（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数，2k

π（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．典例解析例2．求下列三角函数的周期：(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；（3）y=2sin122.奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点犗对称，余弦曲线关于x轴对称．这个事实，也可由诱导公式sin-x=-sinx；cos-x=cosx得到．所以正弦函数是奇函数知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助?做一做1．(1)函数f(x)＝eq\r(2)sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数(2)判断函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))的奇偶性．3.单调性由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间（如[-观察图5.4-8，可以看到：当x由-π2增大到π2时，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到1；当x由π2增大到3π2时，曲线逐渐下降，sinxsinx的值的变化情况如表5.4.2所示：就是说，正弦函数y=sinx在区间[-π正弦函数在每一个闭区间[-π2+2kπ,π2+2kπ]（k∈Z）上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[π类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如[-π,由此可得，余弦函数y=cosx,x其值从-1增大到1；上单调递增，在区间余弦函数在每一个闭区间,上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间,上都单调递减，其值从1减小到-1．函数名递增区间递减区间y=sinxy=cosx４.最大值与最小值从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，正弦函数当且仅当x＝时,取得最大值１，当且仅当x＝时,取得最小值－１；余弦函数当且仅当x＝时,取得最大值１，当且仅当x＝时,取得最小值－１．例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．（１）y=cosx+1，x∈R；（２）y=-3sin2x，x∈R例4.不通过求值，指出下列各式的大小：(1)sin(-π18(2)cos(-23π例5.求函数y=sin(12x+π3),x【达标检测】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin(60°＋60°)＝sin60°，则60°为正弦函数y＝sinx的一个周期．()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．()(3)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()2.函数f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为()A.eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π3.函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的一个递减区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))B．[－π，0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)π，\f(2,3)π))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2,3)π))4．比较下列各组数的大小：(1)cos150°与cos170°；(2)sineq\f(π,5)与sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,5))).【课堂小结】1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性2.求函数的单调区间：（1）.直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间参考答案：知识梳理1最小的正数;2π;2π2奇;原点;偶;y轴3奇；偶；增函数；减函数；增函数；减函数；2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)；2kπ＋π；2kπ学习过程例2．分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式fx+T=fx而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos2(x+T)=cos2x，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin【解】(1)QUOTE∀k∈Z，有3sin(x＋π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.(2)令，由，得，且的周期为2π.即因为cos(z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，所以cos2(x＋π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.令z=12x-π6,由x∈R得Z即，2sinz+2π=2sinz所以，由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？做一做：【答案】A【解析】(1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝eq\r(2)sin2(－x)＝－eq\r(2)sin2x＝－f(x)，∴函数为奇函数．(2)∵f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))＝－coseq\f(3,4)x，∴f(－x)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)x))＝－coseq\f(3,4)x，∴函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))为偶函数.例3.解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．（１）使函数y=cosx+1，x∈R取得最大值的狓的集合，就是使函数y=cosx，x∈R，取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝；使函数y=cosx+1，x∈R，取得最小值的狓的集合，就是使函数y=cosx，x∈R取得最小值的x的集合｛x｜x＝（2k+1）π，k∈Z｝．函数y=cosx+1，x∈R的最大值是１＋１＝２；最小值是－１＋１＝０．(2)解：令z＝2x，使函数）y=-3sin2x，z∈R取得最大值的z就是使y=sinz，z∈R取得最小值的z的集合｛z｜z＝-π2+2kπ，k∈Z由z＝2x＝-π2+2kπ，得x＝-π4+kπ．所以，使函数y=-3sin2x，取得最大值的x的集合是｛x｜x＝-π4+kπ,k∈Z同理，使函数y=-3sin2x，x∈R取得最小值的x｛x｜x＝π4+kπ,k∈Z函数y=-3sin2x，x∈R例4.分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．解：（１）因为

-π正弦函数y=sinx

所以(2)解：cos-23π5=cos23π5=cos3π5因为

0所以cos3π5>cosπ4；例5.分析：令z

=12x+π3当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数y=sinz在某个区间上单调递增，则解：令z

=12x+π3，x

∈［-２π，２π］，则因为y=sinz，z

∈-2π3,4且由-π2≤1所以，函数y=sin(12x+π3),，x

∈［-２π三、达标检测1．【解析】(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin40°，所以60°不是正弦函数y＝sinx的一个周期．(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确．(3)×.因为定义域不关于原点对称．【答案】(1)×(2)√(3)×2.【解析】因为eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋4π－\f(π,4)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋2π))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4π.【答案】D3.【解析】令x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3,2)π＋2kπ))，k∈Z，得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，\f(4,3)π＋2kπ))，k∈Z，k＝0时，区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))是函数f(x)的一个单调递减区间，而eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2,3)π))⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3))).故选D.【答案】D4．【解】(1)因为90°<150°<170°<180°，函数y＝cosx在区间[90°，180°]上是减函数，所以cos150°>cos170°.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,5)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(3π,5)))＝sineq\f(3π,5)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5)))＝sineq\f(2π,5).因为0<eq\f(π,5)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，函数y＝sinx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，所以sineq\f(π,5)<sineq\f(2π,5)，即sineq\f(π,5)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,5))).《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》同步练习一基础巩固1．若函数（）的最小正周期为,则（）A.5 B.10 C.15 D.202．若函数的图象关于点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.3．在内使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.4．函数是（）A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数5．已知函数，下面结论错误的是（）A．函数的最小正周期为B．函数是偶函数C．函数的图像关于直线对称D．函数在区间上是减函数6．比较大小：______cos（）7．已知函数是定义在上的周期为的奇函数，且，则___________.8．判断下列函数的奇偶性：（1）（2）能力提升9．设，，，则（）A. B.C. D.10．函数为偶函数，则的最小值为__________．11．函数的单调递减区间为_______________.12．已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.素养达成13．已知关于的方程有实数解，求实数的取值范围．5.4.2正弦函数、余弦函数的性质答案解析基础巩固1．若函数（）的最小正周期为,则（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B【解析】根据周期公式以及得,故选.2．若函数的图象关于点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由f(x)＝sin（2x+φ），令2+φ＝kπ，（k∈z）得：φ，（k∈z）又φ＞0，所以k=1时则φmin，故选：C．3．在内使成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∴.在同一坐标系中画出，与，的图像，如图.观察图像易得使成立的.故选A.4．函数是（）A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数【答案】A【解析】依题意，所以最小正周期为，且为偶函数.故选：A.5．已知函数，下面结论错误的是（）A．函数的最小正周期为B．函数是偶函数C．函数的图像关于直线对称D．函数在区间上是减函数【答案】C【解析】由函数可得它的最小正周期为，且是偶函数，故A，B中结论正确；当时，，故的图像不关于直线对称，故C中结论错误；在区间上，，函数是减函数，故D中结论正确．故选C．6．比较大小：______cos（）【答案】＞【解析】cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，∵y＝cosx在（0，π）上为减函数，∴coscos，即cos（π）＞cos（π）．故答案为：＞．7．已知函数是定义在上的周期为的奇函数，且，则___________.【答案】【解析】∵函数是定义在上的周期为的奇函数，∴.又∵，∴.8．判断下列函数的奇偶性：（1）（2）【答案】（1）奇函数；（2）偶函数【解析】（1）依题意，，故函数为奇函数.（2）令，函数的定义域为，且，故函数为偶函数.能力提升9．设，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】,因为且是单调递减函数，所以，故选A10．函数为偶函数，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为函数为偶函数，所以，，故答案为：11．函数的单调递减区间为_______________.【答案】【解析】依题意，对于函数，由，解得，令，得到函数区间上的单调递增区间为和.也即求得的单调递减区间为和.故填：.12．已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（Ⅰ）的递调递增区间为，；单调递减区间为，.（Ⅱ）最小值和最大值分别为-1，.【解析】（Ⅰ）令，，得，，令，，得，，故函数的递调递增区间为，；单调递减区间为，.（Ⅱ）当时，，∴当，即时，取得最大值，，当，即时，取得最小值，，∴函数在区间上的最小值和最大值分别为-1，.素养达成13．已知关于的方程有实数解，求实数的取值范围．【答案】【解析】由，得，即．令（），则关于的方程在区间上有实数解．则，因为故实数的取值范围是．《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》同步练习二一、选择题1．函数，是()A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数2．函数（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．是非奇非偶函数3．在内，不等式的解集是（）A．B．C．D．4．函数的一个单调增区间是（）A．B．C．D．5．下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．6．下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（）A． B． C． D．二、填空题7．函数的最小正周期是_____________.8．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为____________.9．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.10．函数在区间上为增函数，则的取值范围是________．三、解答题11．已知函数f(x)＝cos(2x－)，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x