《专题09对数与对数函数》重难点突破与专题训练

《专题09对数与对数函数》重难点突破一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理重难点一对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.重难点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).重难点三对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数三、重难点题型突破重难点1对数与对数式的化简求值如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．例1．（1）已知lg9=a,10b=5，则用a，b表示log3645为．（2）.求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq\f(1,x－3)；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．【变式训练】（1）．已知10m＝2，10n＝4，则的值为()A.2 B. C. D.2（2）．已知，则的值为（）A． B．4 C．1 D．4或1重难点2对数函数的图像与性质例2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq\f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；例3．（1）函数，x∈(0,8]的值域是()A.[－3，＋∞) B.[3，＋∞)C.(－∞，－3] D.(－∞，3]（2）．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（）A． B． C． D．（3）．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0（4）．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()ABCD重难点3对数函数的单调性与最值（比较大小）例4．函数的单调递增区间是()A．B．C．D．例5．设，则()A．B．C．D．【变式训练】．(1)设，，则（）A． B．C． D．（2）已知，则（）A． B． C． D．重难点4对数型复合函数的应用例6．函数在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【变式训练】．（1）判断f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x的单调性，并求其值域．（2）已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为()A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)(3)函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是________．课堂定时训练（45分钟）1．=()A．B．C．2D．42．如果那么()A．B．C．D．3.在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是()4．当时，，则的取值范围是（）A．B．C．D．5．已知，，，则的大小关系为()A．B．C．D．6．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，则的大小关系为()A．B．C．D．7.的值是____________．8.已知函数．（1）判断奇偶性并证明你的结论；（2）解方程．9．已知，函数.（1）求的定义域；（2）当时，求不等式的解集.10.已知函数且．当时，，求实数x的取值范围．若在上的最大值大于0，求a的取值范围．《专题09对数与对数函数》重难点突破答案解析一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理重难点一对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.重难点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).重难点三对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数三、重难点题型突破重难点1对数与对数式的化简求值如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．例1．（1）已知lg9=a,10b=5，则用a，b表示log3645为．【答案】【解析】由已知得，则，因为，所以，即.（2）.求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq\f(1,x－3)；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．【解析】(1)要使函数有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,x－3≠0，))解得x>2且x≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－1<x<0或0<x<4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．【变式训练】（1）．已知10m＝2，10n＝4，则的值为()A.2 B. C. D.2【答案】B【解析】＝＝＝＝.答案：B（2）．已知，则的值为（）A． B．4 C．1 D．4或1【答案】B【解析】因为，所以，，,解得=1（舍去），=4，故选B.重难点2对数函数的图像与性质例2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq\f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；【解析】(1)要使函数f(x)有意义，则logeq\f(1,2)x＋1>0，即logeq\f(1,2)x>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,2－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－1，,x<2，))解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．例3．（1）函数，x∈(0,8]的值域是()A.[－3，＋∞) B.[3，＋∞)C.(－∞，－3] D.(－∞，3]【答案】A【解析】∵，故选A.（2）．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为，则其关于直线的对称点的坐标为，由对称性知点在函数的图象上，所以，故选B．（3）．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0【答案】D【解析】由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D.（4）．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()ABCD【答案】C【解析】∵a>1，∴0<eq\f(1,a)<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.重难点3对数函数的单调性与最值（比较大小）例4．函数的单调递增区间是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得或，设，则，关于单调递减，，关于单调递增，由对数函数的性质，可知单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为．选D．例5．设，则()A．B．C．D．【答案】D【解析】，由下图可知D正确．【变式训练】．(1)设，，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以，所以，得．又，，所以，所以．故选B．（2）已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可知，，，所以最大，，都小于1，因为，，而，所以，即，所以，故选A．重难点4对数型复合函数的应用例6．函数在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以在上是减函数，又因为在上是减函数，所以是增函数，所以；又因为对数的真数大于零，则，所以；则.故选：C.【变式训练】．.（1）判断f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x的单调性，并求其值域．（2）已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为()A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)(3)函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是________．【解析】（1）令u＝x2－2x，则原函数变为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)，∴0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．（2）∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＞f1，,a>1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＞loga2－a，,a>1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,2－a>0，))∴1＜a＜2.(3)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)＝logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2。所以logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]≤logeq\f(1,2)2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]课堂定时训练（45分钟）1．=()A．B．C．2D．4【答案】D【解析】．2．如果那么()A．B．C．D．【答案】D【解析】根据对数函数的性质得．3.在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是()【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.4．当时，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选B5．已知，，，则的大小关系为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，可知，．，所以最大，，都小于1．因为，，而，所以，即，所以，故选A．6．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，则的大小关系为()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数为偶函数，所以，即，所以，，，所以，故选C．7.的值是____________．【答案】1【解析】．8.已知函数．（1）判断奇偶性并证明你的结论；（2）解方程．【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）根据题意，为奇函数；证明：，所以定义域为，关于原点对称；任取，则．则有，为奇函数；（2）由（1）知，，即，，即，或，又由，则有，综上，不等式解集为9．已知，函数.（1）求的定义域；（2）当时，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得：，解得因为，所以故的定义域为（2）因为，所以，，因为，所以，即从而，解得故不等式的解集为.10.已知函数且．当时，，求实数x的取值范围．若在上的最大值大于0，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=3时，，，得（2）∵a＞0，∴在定义域内单调递增，当a＞1时，函数在上单调递增，，得即a＞，又a＞1，故a＞1；当0<a＜1时，函数在上单调递减，，得；又因为在上恒成立，故，即综上：的取值范围《专题09对数与对数函数》专题训练【基础巩固】1．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（）A． B．C． D．2.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知函数（为常数，其中）的图象如图，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．5．设函数，则（）A．3B．6C．9D．126．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（）A．B．C．D．7.若，则_______．8．函数的单调增区间是__________．9.计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).10.比较下列各组值的大小：(1)log5eq\f(3,4)与log5eq\f(4,3)；(2)logeq\f(1,3)2与logeq\f(1,5)2；(3)log23与log54.【能力提升】11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．12．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：≈0．48）A．B．

C．D．14．已知函数的图象过点．Ⅰ判断函数的奇偶性并求其值域；Ⅱ若关于x的方程在上有解，求实数t的取值范围．15.已知函数.（1）当时，求f(x)的值域和单调减区间；（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．16．设为正数，且，则（）A．

B．

C．

D．17．在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（）18．已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．19．设，则（）A．B．C．D．20．若，则（）A． B． C． D．21．设函数，则（）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减22．已知．设，则（）A．B．C．D．23．设，则的大小关系为（）A． B． C． D．24．已知，则（）A． B． C． D．《专题09对数与对数函数》专题训练答案解析【基础巩固】1．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由的图象可知，，所以，得，，所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.故选：B.2.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选：C．3.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，f（x）＝，单调递减，∴f（x）的最小值为f(2)=1，当x＞2时，f（x）＝单调递增，若满足题意，只需恒成立，即恒成立，∴，∴a≥0，故选：D．4．已知函数（为常数，其中）的图象如图，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由图象可知，当时，，得．5．设函数，则（）A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】由于，，所以，故选C．6．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C．7.若，则_______．【答案】【解析】∵，∴，∴．8．函数的单调增区间是__________．【答案】【解析】由题意知，函数的定义域为，所以该函数的单调增区间是．9.计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).【解析】(1)原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)·eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\f(lg1.8,2lg1.8)＝eq\f(1,2).10.比较下列各组值的大小：(1)log5eq\f(3,4)与log5eq\f(4,3)；(2)logeq\f(1,3)2与logeq\f(1,5)2；(3)log23与log54.【解析】(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而eq\f(3,4)<eq\f(4,3)，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3).法二(中间值法)：因为log5eq\f(3,4)<0，log5eq\f(4,3)>0，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3).(2)法一(单调性法)：由于logeq\f(1,3)2＝eq\f(1,log2\f(1,3))，logeq\f(1,5)2＝eq\f(1,log2\f(1,5))，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(1,3)>eq\f(1,5)，所以0>log2eq\f(1,3)>log2eq\f(1,5)，所以eq\f(1,log2\f(1,3))<eq\f(1,log2\f(1,5))，所以logeq\f(1,3)2<logeq\f(1,5)2.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logeq\f(1,3)x及y＝logeq\f(1,5)x的图象，由图易知：logeq\f(1,3)2<logeq\f(1,5)2.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.

【能力提升】11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，．所以，故选D．12．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意为偶函数，且在上单调递增，所以，又，，所以，故，选C．13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：≈0．48）A．B．

C．D．【答案】D【解析】设，两边取对数得，，所以，即最接近，选D．14．已知函数的图象过点．Ⅰ判断函数的奇偶性并求其值域；Ⅱ若关于x的方程在上有解，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】函数的图象过点即：（Ⅰ）则的定义域为，关于原点对称且故为偶函数又由故，即和值域为（Ⅱ）若关于的方程在上有解即，即在上有解即在上有解由对勾函数的图象和性质可得：当时，取最小值；当或时，取最大值故实数的取值范围是15.已知函数.（1）当时，求f(x)的值域和单调减区间；（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，，设，由，得，得，即函数的定义域为，此时，则，即函数的值域为，要求的单调减区间，等价