浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题1.10 二次根式（全章复习与巩固）（知识讲解）（附参考答案）

专题1.10二次根式（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.特别说明：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质

特别说明：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.要点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：特别说明：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼有意义条件✭✭二次根式的性质1．(2023春·四川乐山·九年级统考期中）已知实数、满足，求的值．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，从而得出的结果．解：由题意可知，解得：，则，∴【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件及负整数指数幂的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．举一反三：【变式1】(2023秋·上海·七年级校考期中）化简：．【答案】【分析】首先根据题意，由二次根式存在性可得，，化简得，再由a的取值范围，求得，化简及，最后进行整式运算即可．解：∵，∴，∴，∴，，原式===【点拨】本题考查了二次根式的存在性，绝对值的化简，根式的化简，掌握二次根式的存在性及正确化简是解题的关键．【变式2】(2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知，且x为偶数，求的值．【答案】【分析】首先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解不等式组，可求得x的范围，然后根据x是偶数即可确定x的值，然后对所求的式子进行化简，然后代入求解即可．解：由题意得，解得：6＜x≤9，∵x为偶数，∴x＝8．∵原式＝（1+x）＝（x+1）=．∴当x＝8时，原式=．【点拨】本题主要考查了二次根式，分式，不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解不等式组，二次根式的化简求值，是解决问题的关键．2．(2023·全国·八年级专题练习）已知a、b、c是三角形的三边，化简：．【答案】【分析】根据三角形三边关系确定出每个括号内的正负，然后根据二次根式的性质去根号即可．解：∵a，b，c为三角形三边，∴，，，，∴．【点拨】本题主要考查二次根式的化简，整式加减运算，三角形的三边关系的应用，掌握三角形的三边关系，是解题的关键．举一反三：【变式1】(2023·全国·八年级专题练习）比较和的大小（平方法）【答案】【分析】利用平方法，即可比较出大小．解：，，，，又，，．【点拨】本题考查了无理数大小的比较方法，积的乘方运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．【变式2】(2023春·山东枣庄·八年级统考期中）一天老师在黑板上出示：求代数式的值，其中．如图是小明和小芳的解答过程：的解法是错误的；求代数式的值，其中．【答案】(1)小亮 (2)2028【分析】（1）根据二次根式的非负性可判断小亮的解法是错误的；（2）根据二次根式的非负性化简原式并代值求解即可．（1）解：∵，∴，，∴小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；（2）解：∵，∴．【点拨】本题考查二次根式的性质、代数式求值，熟记完全平方公式，掌握二次根式的非负性是解答的关键．类型二、二次根式➽➼相关概念➽➼最简二次根式✭✭同类二次根式3．(2023·全国·八年级假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．【答案】1【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：，∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；【点拨】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．举一反三：【变式1】(2023秋·山东济南·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值．【答案】x=4，y=3．【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．解：∵最简二次根式与同类二次根式，∴3a+4=19-2a，解得，a=3，∴，即∵≥0，≥0，∴12-3x=0，y-3=0，解得，x=4，y=3．【点拨】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键．【变式2】(2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）阅读下面的解题过程：已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．解：因为与能合并，所以为正整数）．所以，所以．又为正整数，所以为偶数，所以为奇数．所以当时，；当时，；当时，．所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）请根据上面的信息，回答问题：已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．【答案】1，21，61（答案不唯一）【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可．解：与能合并，为正整数），，，又为正整数，为偶数，为奇数，当时，；当时，；当时，．所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）．【点拨】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．类型三、二次根式➽➼二次根式的乘除➽➼运算✭✭化简4．(2023春·上海·八年级校考阶段练习）【答案】【分析】根据二次根式的乘除计算法则和化简法则求解即可．解：原式【点拨】此题主要考查了二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．举一反三：【变式1】(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）计算：；（2）；（3）．【答案】(1) (2)1 (3)18【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可．（1）解：（2）＝1；（3）＝18．【点拨】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．【变式2】(2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）计算；（2）【答案】(1) (2)【分析】（1）先将根号下的带分数化成假分数，然后跟号外与跟号外相乘，根号内与根号内相乘即可；（2）先将根号进行化简，然后跟号外与跟号外相乘除，根号内与根号内相乘除即可；（1）解：原式===（2）解：原式===【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则．类型四、二次根式➽➼二次根式的加减➽➼运算✭✭化简5．(2023春·上海·八年级校考阶段练习）计算：【答案】【分析】先根据二次根式性质化简，再结合去括号法则及二次根式混合运算逐步计算，最后合并同类二次根式即可得到答案．解：．【点拨】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、去括号法则、二次根式加减乘除运算法则及合并同类二次根式等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．举一反三：【变式1】(2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）计算下列各题；；（2）【答案】(1) (2)【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解；（2）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解．（1）解：；（2）解：．【点拨】本题考查二次根式的性质及加减运算，正确化简各个二次根式是解答的关键．【变式2】(2023春·全国·八年级期末）计算：；（2）．【答案】(1) (2)【分析】（1）先计算乘方与开方，再计算加减即可；（2）先求绝对值，再去括号，然后合并同类二次根式即可（1）解：原式；（2）解：原式．【点拨】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，绝对值，熟练掌握实数法则和合并同类二次根式法则是解题的关键．类型五、二次根式➽➼二次根式的混合运算➽➼运算✭✭化简6．(2023秋·重庆渝中·八年级重庆市第二十九中学校校考期中）计算．；（2）．【答案】(1) (2)【分析】（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．（1）解：原式．（2）解：原式．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，在二次根式的混合运算中，解题的关键是结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．举一反三：【变式1】(2023春·四川攀枝花·九年级统考期中）计算题【答案】(1) (2)【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；（2）根据二次根式的运算求解即可．（1）解： ；（2）解：【点拨】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【变式2】(2023春·河南平顶山·八年级统考期中）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】(1) (2)8 (3) (4)0【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；（2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案；（3）直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；（4）直接利用二次根式的性质与化简，再利用二次根式的除法运算法则计算，进而得出答案．解：（1）原式；（2）原式=8；（3）原式；（4）原式．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．(2023春·上海静安·八年级校考期中）先化简：，再求当，时的值．【答案】原式，当，时，原式【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可．解：原式，当，时，原式．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式．举一反三：【变式1】(2023春·上海奉贤·八年级校考期中）化简并求值：已知，求的值．【答案】；5【分析】将的值分子分母同时乘以化简，把所求式子配方变形，将的值代入计算即可得到结果．解：∵，∴．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，完全平方公式，以及配方法的应用，是一道技巧性较强的试题．【变式2】(2023秋·安徽安庆·八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）已知，，求的值．【答案】18【分析】先将条件变形为：，，然后将结论变形，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．解：∵，，∴，，∴ab＝1，，∴．【点拨】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式的运用，正确求出，是解答本题的关键．类型六、二次根式➽➼综合与拓展8．(2023春·江西抚州·八年级统考期中）小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下＝＝=结合以上化简过程，请你动手尝试化简．善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若，则，所以，若，且a，m，n为正整数，；求a，m，n的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）根据阅读材料和完全平方公式以及二次根式的性质解答；（2）先将展开，然后与对边得到、，再根据确定m、n的值，进而求得a的值．（1）解：==．（2）解：∵∴，∵∴，，．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式1】(2023秋·广西南宁·八年级统考期中）【阅读材料】宾宾在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的