2023年高考数学一轮复习习题：第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ

ɔ/

第二章DIERZHΛNG

函数概念与基本初等函数I

第1节函数及其表示

考纲要求1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;

3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.函数与映射的概念

函数映射

两个集合

设A,8是两个非空数集设A,8是两个非空集合

A,B

如果按照某种确定的对应关系/,使如果按某一个确定的对应关系f,

对应关系对于集合A中的任意一个数X,在集使对于集合A中的任意一个元素

AfB合B中都有唯一确定的数/U)和它对X,在集合B中都有唯一确定的元

应素y与之对应

称声AfB为从集合A到集合B的一称人AfB为从集合A到集合B

名称

个函数的一个映射

记法函数y=7(χ),XeA映射：fiA-B

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y=Λx),XeA中，X叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的定义域;与X的值相

对应的y值叫做函数值，函数值的集合做x)kWA∣叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这

种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.

•——常用结论与微点提醒

L函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.

2.直线x="(α是常数)与函数y=4x)的图象至多有1交点.

3.注意以下几个特殊函数的定义域

(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

(3次X)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若"r)=N,则定义域为{x∣XW0}.

⑸正切函数y=tanx的定义域为{x∣x≠E+;,⅛∈Z∣.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)函数y=l与y=∙x0是同一函数.()

(2)对于函数力A-B,其值域是集合8.()

(3求X)=5τ5+产三是一个函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)错误.函数y=l的定义域为R,而y=√)的定义域为{4r≠0},其定义域不同，故不

是同一函数.

⑵错误.值域CU8,不一定有C=B.

(3)错误J》)=、0-3+、2—4中X不存在.

(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.

〉教材衍化

2.若函数y="r)的定义域为M={川-2WX<2},值域为N={j∣0≤y≤2},则函数yfx)的图

象可能是()

答案B

解析A中函数定义域不是I一2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2].

3.下列各组函数中是同一函数的是()

A.y=x与y^~

χ^,~∖~χ

Bj=RY与y=x(x#—1)

C.y=x(x20)与y-,∖β?

D.y=k+l∣+⅛⅛y=2x+1

答案B

解析A中，y=x的定义域为R,y=9的定义域为{#vWO},定义域不同，不是同一函数.B

_r--4-γ

中，y=；+[=x的定义域为{x∣x≠-1},y=x(xW-1)的定义域是{x∣XW—1},定义域和解析

式都相同，是同一函数C中，＞=迎的定义域为R,与y=x(κ20)的定义域不相同，所以不

—2χ-1(XV-1),

是同一函数，D中，y=∣x+l∣+M=*I(―l≤x≤0),与y=2r+1中解析式不同，不是

.2x÷1(x>0)

同一函数.

►•考题体验

3.(XW0),

4.(2021・贵阳诊断)已知函数段)=则

log⅛r(x>0)，

A.-lB.2

C.yβD.1

答案D

解析VjQ^=log3∣<0,

•••{/©]=《1唯9=3(混忌

5.(2020•北京卷涵数火X)=mɪ+InX的定义域是.

答案(0,+o°)

[x+l≠O,

解析要使函数有意义，需满足C

lx>O,

所以函数的定义域为(0,+8).

6.(2020・临沂一中月考)已知,仆A)=X—1,则#X)=.

答案X2-1(x›0)

解析令f=也，则t20,X=Z2,所以y(f)=p-1«20),故KX)=/—1(x20).

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一求函数的定义域自主演练

1.(2020・江南十校联考)函数./U)=√l-4x2+ln(3χ-1)的定义域为()

B0ɪ

c[Td∙[^?2.

答案B

1—4x2≥0,

解析要使函数f(x)=71-4x2+ln(3x—1)有意义,=铲1fJ.

3χ-l>0

函数y(x)的定义域为(；，

2.(2021・西安检测)已知函数y=∕(x)的定义域为[—8,1],则函数g(x)的定义域是

()

A.(-8,-2)U(-2,3JB.(-8,-2)U(-2,1]

9

)-

C∙[W'_2U(—2,0]-2

D.2,

答案C

-8≤2x+1≤1,9

解析..√(x)的定义域为[-8,1],J1_解得一弓WXW0,且XW-2.∙∙∙g(x)的

x+2≠0,乙

定义域为-2>一2)U(—2,OJ.

3.函数y=gi=？+log2(tanl1)的定义域是.

答案你L

解析要使函数y=q1二/+k)g2(tan1-1)有意义，则1—/2()，且Ianχ-1>0,且x≠E

+界£Z).；.一1WXWl且j+⅛π<x<E+],⅛≡Z,解得+XWI.则函数的定义域为《，1

3r-1

4.已知函数段)=言晟与的定义域是R,则实数。的取值范围是()

C.(-12,O)D.1-8,-

答案B

3y—1

解析因为函数式X)=F——≠⅛定义域是R,所以or2+Or—3W0对任意实数X都成立.

当。=0时，显然成立；当“W0时，需/=*+124<0,解得一12<α<0.综上所述，实数。的

取值范围为一12<αW0.故选B.

感悟升华1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，

列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

⑴若已知函数y(x)的定义域为m,b],则复合函数y[g(x)]的定义域可由不等式aWg(x)W6求

出.

(2)若已知函数Hg(X)]的定义域为[a,b],则式x)的定义域为g(x)在x∈[α,加上的值域.

考点二求函数的解析式师生共研

【例1】(1)已知yθ+l)=lgx,则XX)=；

⑵(2021.黄冈检测)已知,公+/)=/+/,则以)=.

(3)已知函数兀r)的定义域为(0,+8),且小)=4(3)5一1,则於)=.

2

答案(I)Ig^ΞΞγ(x>l)(2)x2-2,x∈[2,+o°)

(3)∣√Λ-+∣

22

解析⑴(换元法)令贝!∣x=;~

Xt—1

22

■'∙fit)=lgy=γ,即fix)-(χ>1).

2

(2)(配凑法)：(/+/)=(/+9)-2,

..√(X)=Λ2—2,x∈[2,+∞).

⑶(构造法)在於i中，

将X换成则[换成工,

得於)=2负X)AyIτ,

[∕∞=2^∙√I-1.21

由JR解得段)=油+?

[T⅛>2f∞∙√--ι

感悟升华求函数解析式的常用方法

⑴待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.

(2)换元法：已知复合函数,Zfg(X)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

(3)配凑法：由已知条件y⅛(x))=f(x),可将尸(X)改写成关于g(x)的表达式，然后以X替代g(x),

使得AV)的解析式.

(4)构造法：已知关于加)与乂£)或负一X)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式,

通过解方程组求出兀V).

【训练1】(1)已知y=Ax)是二次函数，若方程4x)=0有两个相等实根，且/(X)=2Λ+2,

则TU)=.

(2)若段)满足2J(X)+J(-X)=3X,则«r)=.

⑶已知火I-sin尤)=cos⅛,则fix)=.

答案(l)x2+2x+l(2)3X(3)2Λ-%2,x∈[0,2]

解析(1)(待定系数法)设,/(X)=OX2+bx+c(αWO),

则/(X)=2Or+6,

2ax+b=2x+2,则<7=1,h=2.

所以.*x)=χ2+2t+c=0,且有两个相等实根.

.,.J=4-4c=0,则C=I.故/(x)=x2+2x+l.

(2)(构造法)因为纨x)+y(—x)=3x,①

所以将X用一X替换，得4—x)+y(x)=-3x,②

由①②解得段)=3x.

⑶(换元法)设I-SinX=f,r∈[0,2],

则sinx=1~t,'.'/(I-sinx)=COS2χ=l-siιAc,

.∙.X0=l-(l-Z)2=2/-/2,Z∈[0,2],

即∕X)=2X-X2,x∈[0,2].

考点三分段函数多维探究

角度1分段函数求值

2x—X,

9,二’则/仅-1)]=()

{χ-÷1,x<O,

A.2B.3

C.4D.5

答案A

[2v-%,x2O,

解析由于於)=

IJr+1,x<O.

所以犬-1)=(-1)2+1=2,故力(-1)]=/(2)=22—2=2.

角度2分段函数与方程、不等式问题

lθg2X>x>l>

【例3】(1)(2021.合肥模拟)己知函数於)=,…贝IJ火x)<√(x+l)的解集为()

Xr1ιfX^∖1f

A.(-l,+∞)B.(-l,1)

c(^l'+8)D(一/1)

23%>0,

]c若式公+/(I)=0,则实数4的值为________.

{x∣1,九W0.

答案(I)C(2)-3

解析(1)当XWo时，X+1W1,./U)勺(x+l),

等价于x2—l<(x+l)2-1,解得一；<%W0,

当(XXWl时，x+l>l,此时y(x)=χ2-lW0,

χx+l)=log2(x+l)>0,

.∙.0<r≤l时，恒有y(x)勺α+l),

当x>l时，,«x)勺(x+l)u>log2x<log2(x+l)恒成立，

综上知，不等式©勺(X+1)的解集为(一；,+8).

(2)∙.V(D=2,且-α)t∕U)=0,.∙√(α)=-2.

当α≤0时,y(α)=α+l=-2,Ja=-3；

当0>0时，)=2">0,此时,∕<z)≠-2.

综上可知α=-3.

感悟升华1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定

相应的解析式代入求解.

2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，

但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

ɑʌ—3XV1

【训练2】（1）（2020•成都诊断）函数/U）=’则关于函数/）的说法不正确的是

InX,1,

)

A.定义域为RB.值域为（一3,+∞）

C.在R为增函数D.只有一个零点

0,x<0,

（2）函数y（x）=、则满足x2AX）+4x+l）W2的X的取值范围是（）

1,x30,

A.（_8,0]B.（-8,ɪ

c.（-∞,1]D.（-8,--

答案（I）B（2）C

e'—3,x<1,

解析（1）/U）='、'.\/U）的定义域为R,值域为（-3,e-3）U[0,+∞）,且e-

,lnx,XNU,

3<0,.∙√（x）在R上为增函数，且<1）=0,；.段）只有一个零点.

（2）当XNo时，原不等式化为/+xW2,得OWX<1,

当一lWx<0时，原不等式化为xW2,则一lWx<0;

当x<—1时，原不等式化为0W2,则x<—1.

综上可知，原不等式的解集为（-8,1].

拓展视野/函数值域的求法与抽象函数问题

一、函数的值域

求函数值域的一般方法

（1）分离常数法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）单调性法；（6）换元法；（7）数形结

合法；（8）导数法.

【例1】求下列函数的值域：

(l)y=/—2x+3,Λ∈LO,3)；

2x+l

⑵尸』；

(3)y=2χ-Λ∕X-1；

(4)y=∖x+1+山-1.

解(1)(配方法)y=χ2-2x+3=(χ-1>+2,

由X£[0,3),

再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为［2,6).

-

八七生业L、_L2x+12(x3)+77

(2)(力离常数法)y=X_3=K_3XςΞ3,

7

显然三*0,.∙.y/2∙

故函数的值域为(一8,2)U(2,+∞).

(3)(换元法)设1,则X=尸+1,且f20,

.,.y=2(t2+1)—∕=2θ-ξ)+y,

由f20,再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为［中，+8)

(4)函数的定义域为口，+∞),

*.'y=、x+］与y=、x—1在［1,+8)上均为增函数，

.∙.y=∖x+1+山一1在［1,+8)上为单调递增函数，

当x=l时，ymin-y∣2,即函数的值域为［陋，+∞).

二、抽象函数

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=

兀0表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、

奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.

【例2】⑴设函数y=∕(x)的定义域为(0,+8),加y)=∕ɑ)+a∙),若.*8)=3,β∣J∕√2)=

⑵设函数於)的定义域为R,对于任意实数X∣,X2,都有人制)+於2)=#要)/("虫)，人兀)

=-1,则的)=.

答案(l)ɪ(2)1

解析(1)因为犬8)=3,所以12X4)=∕(2)+y(4)=A2)+A2X2)=A2)+∕(2)+7(2)=现2)=3,

所以加2)=1.

因为QEgXe=/鹤)+4近)=纸物，所以级扬=1,所以火

(2)令Xl=X2=兀，

贝∣ly(π)+y(π)=M兀加O),Λ∕0)=l.

【例3】(1)(2021・山东名校模拟)已知函数火X)=In(—X-/),则函数√(2x+1)的定义域为

(2)若函数42')的定义域是[-1,1],则y∏og2x)的定义域为.

答案(1)(-1，一今(2)[√2,4J

解析(1)由题意知，一x—x2>0,

Λ-l<x<0,即TU)的定义域为(一1,0).

Λ-l<2x+l<0,则一IVXV

⑵对于函数y=Λ2'),-l≤x≤I,

Λ2l≤2x≤2.

则对于函数y=∕(k>g2x),2^^1≤log2X≤2,

Λ√2≤x≤4.

故y=yθog2x)的定义域为(正，4J.

【例4】(多选题)(2021・潍坊调研)定义在R上的函数/U)满足4x+y)=/(X)+式)，)，当XVO

时，Λx)>0,则函数HX)满足()

Ay(O)=O

B.y=7(x)是奇函数

C√U)在[〃?，川上有最大值人”)

D次x—1)>0的解集为｛木<1)

答案ABD

解析令x=y=0,则<0)=纨0),故<O)=0,选项A正确；

令y=—x,则J(O)=J(X)+X-X)=0,

即兀v)=-∕(-x)，

故函数/(x)为奇函数，选项B正确；

设XlVX2,则Xl—X2V0,

由题意可得，∕x∣-X2)>0,

即兀ω+火一及)=兀ω一次及)>o,

即危|)>78),故函数犬尤)为R上的减函数，

在［加,w］上的最大值为为")，选项C错误;

—D>o等价于y(x-i)N∕(θ),

又y(x)为R上的减函数，故X—ιvo,

解得XV1,选项D正确.故选ABD.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

L如图是张大爷晨练时离家距离U)与行走时间(X)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大

爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()

答案D

解析由y与X的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意.

2.下列所给图象是函数图象的个数为()

C.3D.4

答案B

解析图象①关于X轴对称，QO时，每一个X对应2个),图象②中Xo对应2个>,所以

①②均不是函数图象；图象③④是函数图象.

X—2,χ⅛10,

3.(2020・长沙检测)设兀V)=二/iλ则八5)的值为()

Jlf(x+6)],Λ<10,

A.10B.11

C.12D.13

答案B

X—2,x≥10,

解析,.,Λx)=.,.∕5)=ΛΛIɪ)J=/9)=ΛA15)j=Λ13)=11.

j↑f(X+6)],x<10,

4.(2021•青岛二中月考)若函数,∕U)=x+log2(χ-α)的定义域为(1,+∞),则√(3α)=()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析..√(x)=x+log2(χ-α)的定义域为(1,+∞),.∙.α=l,Λ,Λ3t7)=3+log22=4.

5.(2020・陕西师大附中质检)已知函数/U)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=:(J二];的定

义域是()

A.[0,I]B.(0,I)

C.[0,1)D.(0,1]

答案B

解析由函数段)的定义域为[—1,1],

令一l<2χ-l≤l,解得OWxWl,

又由1—x>0且1—xr1,解得XCl且x/0,

所以函数g(x)的定义域为(0,1).

6.(2021•成都七中检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”

的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设XWR,用国表示不超过X的最大整数，则y

=31称为高斯函数.例如：[―0.5]=-1,[I.5]=l.已知函数X%)=∣×4v-3×2x+4(0<r<2),

则函数y=[∕(x)]的值域为()

A[T1)B.{-l,O,1)

c.{-l,0,1,2}D.{0,1,2}

答案B

解析令f=2*y(l,4),

则可设式x)=g(r)=52-3r+4,f∈(l,4),

由二次函数性质，-gwg(f)<∣.

因此[g(f)]G{-1，0,1}.

则函数y=[∕(x)]的值域为{-1,0,1).

`''若实数。满足7(α)=7(α—1),则45)=()

lx,x≥0.w

A.2B.4

C.6D.8

答案D

解析由./(X)的定义域，知α>0.

当O<α<l时，由.穴α)=∕3-l),即24=√Z,

解得α=:,贝IL娟=m)=8,

当时，由√(4)=Λα-1),得2a=2(“一1),无解.

综上可知，∙∕Q)=8.

J^2"J”

^.'1'若ɑ[ʌɑ)-ʌ-")]>0,则实数a的取值范围为()

{—3x,x<0,

A.(l,+∞)B,(2,+∞)

C.(-∞,-1)U(I,+∞)D.(-∞,-2)U(2,+∞)

答案D

解析当4=0时，显然不成立.

当α>0时，不等式α[∕(α)一4一α)]>0等价于宗一20X),解得α>2.

当“<0时，不等式α[∕(Q)-∕(-α)]>0等价于一“2—2”<0,解得a<一2.

综上所述，实数。的取值范围为(-8,-2)U(2,+∞).

二、填空题

9.函数於)=ln(l+j+)l—X2的定义域为.

答案(0，1]

解析要使函数火X)有意义，

(1

l+~>0,XV—1或x>0,

贝人工会0=<x≠0,=>0<x≤1.

J-√≥O〔-IWXWl

.∙√(x)的定义域为(0,1].

10.已知函数式X)满足70)+%—x)=2∙r(xW0),则./(—2)=.

姣案Z

口采2

解析令x=2,可得yQ)+3—2)=4,①

令X=T可得人—2)—2„=—1,②

7

联立①②解得共-2)=Ε.

2*-5,χ≤2

Ii.函数yU)=(的值域为.

答案(一5,3]

解析当xW2时，40=2，-5单调递增，则一5勺(X)W-1；

当x>2时，sinx∈[-l,1],则«x)=3SinX∈[-3,3].

故KX)的值域是(-5,3].

x+2-3,x21,

12.已知函数<x)=JX则须-3))=,凡r)的最小值是.

.lg(%2÷1).x<l,

答案O2小一3

解析由题意知|-3)=IgK—3>+1J=IglO=1,

所以川(-3)]=/U)=0,

当XNl时，兀t)=x+嚏一3226一3,当且仅当x=√i时，取等号，此时段扃=2也一3<0；

当X<l时，<x)=lg(χ2+l)Nlg1=0,当且仅当X=O时，取等号，此时贝X)min=θ.

.∙√(x)的最小值为2√2-3.

B级能力提升

13.(2021・济南检测)如下折线图统计了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全国(不

含湖北)新冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数，记2020年2月27日至2020年3月H日

的日期为BeN*),，的取值如下表，

日期2.272.282.293.013.023.033.043.053.063.073.083.093.103.11

t1234567891011121314

新增确诊人数记为./W，新增疑似人数记为g(f),则下列结论正确的是()

A√ω与g(r)的值域相同

B次9)>g(10)

C.3⅛∈N*,使五fo)=g(fo)

D.∀f∈N∖yω<g(t)

答案D

解析由题图纵轴可知./W与g(f)的值域不相同；19)=3OCg(10)；函数,笊)的图象在函数g⑺

图象的下方，所以不存在foWN*,使式fo)=g(fo);由题图可以看出Vf∈N*,√(f)<g(f).

x

2^fχW0,

1'’则满足yu+i)<√(2x)的X的取值范围是()

{1,x>0.

A.(—8,—1]B.(0,+∞)

C.(-l,0)D.(-8,0)

答案D

解析当XWO时，函数兀r)=2r是减函数，则J/χ)为(O)=L

ΓΛ+1<0,

作出凡r)的大致图象如图所示，结合图象知，要使yU+l)<K2x),当且仅当，x<0,或

{2x<x+l

x+120,

解得XC一1或一1≤x<0,即x<0.

,2r<0,

15.函数y=z~(二］二(Ql)的值域为.

答案［2√6÷4,÷o°)

解析令x—1=∕>0,.*.x=z+l.

..y=-----------------------=--------=r+γ+4≥2√6+4,当且仅当，=7,即/=班时

等号成立.・・・函数的值域为［2加+4,+∞).

(1—2a)x÷3a,x<l,

16.已知函数40=、的值域为R,则实数。的取值范围是________.

12xl,x≥l

答案0.

解析当时，40=2厂121,

(1—2a)x+3α,XV1,

・・・函数TU)=、的值域为R,

2xl,Xel

1—2a>0

当x<l时,(l-2α)x+3α必须取遍(一8,1)内的所有实数，则19解得OWaV

1—2。+3〃31,

第2节函数的单调性与最值

考纲要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象

分析函数的性质.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

L函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数段)的定义域为/：如果对于定义域/内某个区间D上的任

意两个自变量的值XI,X2

定义当Xia2时，都有心ι)>∕te),

当X∣<X2时，都有ZUI)<"2)，那么就说函

那么就说函数Ar)在区间。上

数兀V)在区间。上是增函数

是减函数

图象

-ʊl~5

描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=∕(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=Λx)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间D叫做函数y=∕(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=∕U)的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意x∈∕,都有∕U)WM;(3)对于任意x∈∕,都有∕U)NM;

条件

(2)存在Λ⅛W∕,使得式XO)=M(4)存在xo∈∕,使得yu>)=M

结论M为最大值M为最小值

常用结论与微点提醒

1.若y(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则氏v)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.

2.函数y=∕U)(∕(X)>0或7U)<0)在公共定义域内与y=-J(x),'=/•()的单调性相反.

3.“对勾函数"),=》+*4>0)的单调增区间为(一8,—g),(6,+8);单调减区间是［一&,

0),(0,y［cι］.

诊断自测

►■思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)对于函数y(x),X∈D,若对任意不，尬6。，且X∣≠X2有(XLX2)伏汨)一段2)］>0,则函数yω

在区间。上是增函数.()

(2)函数y=(的单调递减区间是(一8,0)U(0,÷∞).()

⑶对于函数y=∕(x),若川)勺⑶，则危)为增函数.()

(4)函数y=Λx)在［1,+8)上是增函数，则函数的单调递增区间是［1,+∞).()

答案(I)J(2)×(3)×(4)X

解析(2)此单调区间不能用“U”连接，故单调递减区间为(一8,0)和(0,+∞).

(3)应对任意的Xi<X2,y(xι)V,/(X2)成立才可以.

(4)若y(x)=x,在口，+8)上为增函数，但y=4χ)的单调递增区间是(一8,+∞).

〉教材衍化

2.下列函数中，在区间(0,+8)内单调递减的是()

A..y-~~xB.y=x2-x

C.y=lnχ-XD.y=ev

答案A

解析易知A中y-~~x在(0，+8)内是减函数，B,C中函数y=Λ2-X与y=lnχ-X在(0,

+8)内不单调，D中y=ev在(0,+8)内是增函数.

3.函数y=M在区间［2,3］上的最大值是.

答案2

解析函数)，=一彳=1+―^在［2,3］上递减，

X-IX-I

X2

当X=2时，y=一、取得最大值产τ=2.

χ-12-1

>考题体验

4.(2021・长沙检测)函数贝X)=Ina2—Zr—8)的单调递增区间是()

A.(—8,—2)B.(—8,1)

C.(l,+∞)D.(4,+∞)

答案D

解析由/—2x—8>0,得x>4或XC—2.设f=x2-2x—8,则y=lnf为增函数.要求函数4x)

的单调递增区间，即求r=√-2χ-8的单调递增区间.Y函数t=x2-2x-S的单调递增区间

为(4,+8),函数负㈤的单调递增区间为(4,+∞).

5.(2020•全国II卷)设函数7U)=x3—9，则兀v)()

A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增

B.是奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增

D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

答案A

解析函数Xx)的定义域为(一8,0)U(0,+∞),且<-x)=(-x)3_3=-^χ3+g=

∖X)

—fix),所以y(x)是奇函数.又因为y=Λ3在(0,+8)单调递增，所以丫=一9在(0,+8)也单

调递增，所以巩r)在(0,+8)单调递增.

6.(2020・郑州检测)函数∕X)=9X2+√7ΞT的最小值为.

答案9

解析,.：/(X)的定义域为［1,+o°),且y=9x2与四山-1在［1,+8)内均为增函数，；.式χ)

在［1,+8)上单调递增，故段)mta=y⑴=9.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一确定函数的单调性(区间)自主演练

1.(2019•北京卷)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

ɪ

A.y=χ2B.y=2~x

CJ=IOg/D√=-

2

答案A

解析由图象知，只有y=£在(0,+8)上单调递增.故选A.

2.函数y=logl(-χ2+χ+6)的单调递增区间为()

C.(-2,3)D.&+8)

答案A

22

解析由一Λ+χ+6>o,得一24<3,故函数的定义域为(-2,3),令t=-χ+x+69则y

=log上易知其为减函数.则本题等价于求函数/=一/+χ+6在(-2,3)上的单调递减区间.

2

利用二次函数的性质，得f=-∕+x+6在定义域(一2,3)上的单调递减区间为6,3),故选

A.

3.(2021•全国百校联考)下列函数的图象既关于直线x=l对称，又在区间［-1,0］上为增函数

的是()

A.y=sinπxB.y=∣χ-1|

C.y=cosπxDj=eλ+e”

答案C

解析A中，当X=I时，y=sin兀=0≠±l,所以y=sin也不关于直线X=I对称，则A错

∖χ-1,x≥l,

误.B中，y=∣χ-11=1在区间［―1,0］上为减函数，则B错误.D中，y=J(x)=

〔一X十1,XV1,

xxv

e+e~,则火0)=2,t∕(2)=e2+e一2,则贝0)壬/(2),所以y=σ+e*不关于直线X=I对称，

则D错误.

1,X>0,

4.设函数yu)=(o,χ=o,g(%)=x2/一1),则函数g。)的递减区间是.

「1,x<0,

答案［0,D

2

x9x>l,

解析由题意知g(χ)=<0,χ=l,

、一％2,x<l,

函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的递减区间是［O,1).

感悟升华1.函数单调性的判断方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性;

(4)导数法.

2.函数y=∕［g(x)］的单调性应根据外层函数y=/⑺和内层函数f=g(x)的单调性判断，遵循"同

增异减”的原则.

考点二求函数的最值师生共研

【例1】⑴函数於)=(£)Tog2(x+2)在区间LI,1］上的最大值为.

a,CIWlh

⑵对于任意实数0b,定义min{α,⅛}=*设函数y(x)=—x+3,g(x)=k>g2Λ,则

b,a>b.

函数∕2(x)=min伏x),g(x)}的最大值是.

答案(1)3(2)1

解析(1)由于y=(；)在R上单调递减，y=log2(x+2)在［―1,1］上单调递增，所以√(x)在

［-1,1］上单调递减，故加0在［-1,1］上的最大值为五-1)=3.

⑵法一在同一坐标系中，

作函数g(x)的图象，

√χ"*y=h(x)

依题意，〃(x)的图象如图所示的实线部分.

易知点A(2,1)为图象的最高点,

因此∕z(x)的最大值为∕ι(2)=l.

IogM,0<x≤2,

法二依题意，h(x)=∙

-x+3,x>2.

当(XxW2时，/!(X)=Iog2X是增函数，

当x>2时，∕J(X)=3-X是减函数，

因此∕ι(x)在x=2时取得最大值∕z(2)=l.

感悟升华1.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备''一正二定三相等”的条件后用基本不等式

求出最值.

2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【训练1】(1)已知1WXW5,则下列函数中，最小值为4的是()

14

A.y=4x+-B.y=x+干

C.γ=-Λ2÷2X÷3D.y=5÷lnχ-ɪ

Λ2,XW1,

(2)设函数>(x)=<6则Kr)的最小值是.

X十—6,x>l,

、X

答案(I)D(2)2√6-6

解析(1)函数y=4x+(在［1,5］上递增，所以4x+!25,A不符合题意；因为所以

44

丁=1+百［=工+1+R1—124-1=3(当且仅当X=I时取等号)，故其最小值不为4,B不

符合题意；y=-χ2+2x+3=-U-1)2+4,其最大值为4(当x=l时取得)，最小值是犬5)=

-12,C不符合题意.易知函数y=5+lnχ-在(0,+8)上递增，所以在区间［1,5］上也是

增函数，其最小值为<1)=5+ln1—；=4,D符合题意.

⑵当x≤l时,yU)=x2的最小值为0,当Ql时,危)=》+,—622加一6(当且仅当了=加时,

取“=”).由于2优一6<0,所以加)min=2#—6.

考点三函数单调性的应用多维探究

角度1利用单调性比较大小

【例2】(1)(2020•柳州模拟)已知函数/)=*γT若ɑ=/^),⅛=∕40∙7),c=∕(log38),

则”,b,C的大小关系为()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.a<b<c

(2)(2021•福州质检)已知定义域为R的函数y(x)满足人一x