高中数学必修2第四章复习课件

第四章圆与方程1圆的概念1．定义：平面内到定点的距离等于_____的点的集合叫做圆，其中定点叫_____，定长叫_____．2．确定圆的根本条件____和____可以确定一个圆．____确定圆的位置，_____确定圆的大小．定长圆心半径圆心半径圆心半径圆心半径24.1.1圆的标准方程31.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,那么圆的标准方程是_________________.

(x-a)2+(y-b)2=r24在坐标平面上，平面被圆分成三个局部：圆上的点，圆内的点及圆外的点，那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？判断方法是由两点间的距离公式,求出该点到圆心的距离,再与圆的半径比较大小即可.设点P(x0,y0)到圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心C的距离为d,那么

点与圆的位置关系(1)将所给的点P与圆心C的距离d跟半径r比较：假设|PC|＝r，那么点M在圆C上；假设|PC|＞r，那么点M在圆外；假设|PC|＜r，那么点M在圆内．(2)可利用圆的标准方程来确定．点P(m，n)在圆C上⇔___________________；点P(m，n)在圆C外⇔___________________；点P(m，n)在圆C内⇔___________________.(m－a)2＋(n－b)2＝r2(m－a)2＋(n－b)2＞r2(m－a)2＋(n－b)2＜r25下表归纳点与圆的位置关系及判断方法62.求圆的标准方程的常用方法(1)几何法利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程得结果.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:先设方程,再列式,后求解.7题型一求圆的标准方程例1:求满足以下条件的圆的标准方程(1)圆心在原点,半径为3;(2)圆心在点(-2,1),半径为(3)经过点P(5,1),圆心在点(8,-3).分析:(1)､(2)直接写圆的方程,(3)可根据两点间的距离公式求半径,再写出圆的标准方程.解:(1)∵圆心(0,0),半径为3,∴圆的方程为x2+y2=9.(2)∵圆心(-2,1),半径∴圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.(3)∵圆的半径又圆心为(8,-3),∴圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.8

规律技巧:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,只要求出a､b､r,这时圆的方程被确定,因此,确定圆的方程,需要三个独立条件.9题型二用待定系数法求圆的方程例2:求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程.分析:因为条件与圆心有直接关系,因此设圆的标准方程即可解决问题.∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.10解法2:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.11规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准､定参数”是解题的根本方法.其中,选标准是根据条件选恰当的圆的方程的形式,进而确定其中三个参数.12题型三点和圆的位置关系例3:圆心C(3,4),半径r=5,求此圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)在圆上､圆外还是圆内.解法1:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.∵点A(0,0)与圆心C(3,4)的距离d=5,而r=5,d=r,∴点A在圆上.点B(1,3)与圆心C(3,4)的距离 ∴点B在圆内.13规律技巧:判断点与圆的位置关系,通常用两种方法,一种是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判定.另一种方法是把点P(x0,y0)代入圆的方程.假设(x-x0)2+(y-y0)2>r2,那么点P在圆外,假设(x-x0)2+(y-y0)2=r2,那么点P在圆上;假设(x-x0)2+(y-y0)2<r2,那么点P在圆内.144.1.2圆的一般方程151.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)当________________时,方程表示一个点,该点的坐标为______________________;(2)当________________时,方程不表示任何图形;(3)当________________时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为________________,半径等于________________,上述方程称为圆的一般式方程.D2+E2-4F=0

D2+E2-4F<0

D2+E2-4F>0

162.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当二元二次方程具条件:(1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________;(2)没有xy项,即__________;(3)__________________时,它才表示圆.A=C≠0B=0D2+E2-4AF>0171.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2①明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0②(其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2).仅当D2+E2-4F>0时,方程②才表示一个圆.2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程,用一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单.18题型一圆的方程的判断例1:判断以下方程是否表示圆,假设是,化成标准方程.(1)x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+2ay-1=0;(3)x2+y2+20x+121=0;(4)x2+y2+2ax=0.分析:先将方程配方,化成圆的标准形式,然后再作出判断.19解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.(2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为的圆,标准方程为x2+(y+a)2=(3)原方程可化为:(x+10)2+y2=-21<0,故方程不表示任何曲线,故不能表示圆.(4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2.①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆;②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a)2+y2=a2.20

规律技巧:对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆;也可以由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.21题型二求圆的一般方程例2:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上.分析:先求过A､B､C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看是否成立即可.22解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A､B､C三点的坐标分别代入圆的方程得∴过A､B､C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3)代入方程,适合.故A､B､C､D四点在同一圆上.23

规律技巧:求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:①根据题意,选择标准方程或一般方程;②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.24变式训练2:求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将A､B､C三点坐标代入整理得∴所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.25圆的标准方程与一般方程的特点比照

26求动点的轨迹方程27求轨迹方程的五个步骤(1)设点：建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标(x，y)；(2)列式：写出点M适合的条件；(3)代换：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)验证：验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．28例3:等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.29解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得:|AC|=|AB|,由两点间距离公式得,平方整理得,(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,但A､B､C为三角形的顶点,∴A､B､C三点不共线.当B与C重合时,C(3,5),当BC为直径时,C(5,-1),30∴端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(3x+y-14≠0). 故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但要除去(3,5)和(5,-1)两点.如以下图所示.31

规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是三角形的一个顶点,故A､B､C不能共线,这一点容易造成失误,应引起高度重视.324.2.1直线与圆的位置关系331、直线与圆有三种位置关系:(1)直线与圆________,有两个公共点.(2)直线与圆________,有一个公共点.(3)直线与圆________,没有公共点.相交相切相离

2、判断直线与圆的位置关系的两种方法(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断:d<r⇔相交,d=r⇔相切,d>r⇔相离.(2)联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,利用判别式“Δ”进行判断: Δ>0⇔相交,Δ=0⇔相切,Δ<0⇔相离.34直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位置关系及判断两一零35363、有关直线与圆相交所得的弦长问题一般地,求直线与圆相交所得的弦长,可结合垂径定理与勾股定理(几何法)来处理;也可利用韦达定理(代数法)来处理.373.求圆的切线方程的常用方法(1)假设点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切=代入点斜式方程可得.也可以利用结论:①假设点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,那么过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②假设点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,那么过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.38(2)假设点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k.假设k仅有一值,那么另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.39题型一直线与圆的位置关系例1:直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相切､相离还是相交?消去y,并整理可得,x2-6x+9=0.40Δ=(-6)2-4×9=0,∴直线与圆相切.方法2:将圆配方得(x-2)2+(y+1)2=2,∴圆心(2,-1)到直线的距离∴故直线与圆相切.41规律技巧:判断圆与直线的位置关系有以下两种方法:(1)把圆C的圆心C(a,b)到直线l的距离d与圆的半径r作比较,即圆C与直线l相离⇔d>r;圆C与直线l相切⇔d=r;圆C与直线l相交⇔d<r.(2)用圆C和直线l的公共点的个数来判定,一般需通过解方程组进行消元,然后用判别式来判断,这种方法计算量大一点,但具有较普遍的意义.42题型二切线问题例2:圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.分析:只要求出切线的斜率即可.解:如右图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1.因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是43当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.44

规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.45题型三弦长问题例3:直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长为求l的方程.分析:假设直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长得方程求k.46解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于A(x1,y1)\,B(x2,y2),4748两边平方,整理得2k2-5k+2=0.解得或k=2.代入(1)知,Δ>0.故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.49解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径,AH是弦长AB的一半,在Rt△AHO中,OA=5,50

规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法,即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长､弦心距､半径组成直角三角形,利用直角三角形求解.本例说明几何法比代数法简便.51

变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.消去y得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,∴y1=3,y2=0.∴两交点坐标A(1,3),B(2,0),∴弦长524.2.2圆与圆的位置关系

531．圆与圆的位置关系542.圆与圆位置关系的判定几何方法：设两圆半径分别为r1，r2，圆心距离为d，那么d＞r1＋r255d＝r1＋r2|r2－r1|＜d＜r1＋r256d＝|r2－r1|d＜|r1－r2|57

一般地,设圆C1和C2的方程分别为(x-x1)2+(y-y1)2=r21,(x-x2)2+(y-y2)2=r22.圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距d=|C1C2|=那么,当d>r1+r2时,两圆________.当d=r1+r2时,两圆________.当|r1-r2|<d<r1+r2时,两圆________.当d=|r1-r2|时,两圆________.当0≤d<|r1-r2|时,两圆________.外离外切相交内切内含58

1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤(1)判断两圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r,C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r位置关系的常用方法:两圆C1､C2外离⇔|C1C2|>r1+r2;两圆C1、C2外切⇔|C1C2|=r1+r2;两圆C1､C2相交⇔|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2;两圆C1、C2内切⇔|C1C2|=|r1-r2|; 圆C1内含于圆C2⇔0≤|C1C2|<|r2-r1|,其中|C1C2|=0时,两圆同心.59(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤:第一步:将两圆的方程化为标准方程;第二步:依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1、r2及圆心距d(即|C1C2|);第三步:根据d与r1、r2之间的关系,判断两圆的位置关系.602.判断两圆的位置关系为什么不用代数法跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大,较为麻烦,而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论,不如直接运用几何法简便.61题型一圆与圆的位置关系例1:a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1)外切;(2)内切.分析:把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距,再作比较.62题型三与两圆公共弦有关的问题例3:圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项､y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.63解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),那么A､B两点坐标是方程组①-②得3x-4y+6=0.∵A､B两点坐标都满足此方程,∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.6465

规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将表示圆的两个方程相减即可得到.求圆的弦长用几何法简单.66易错探究例4:求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1)且半径长为1的圆的方程.错解:设所求圆的圆心C(a,b),那么由①②解得a=5,b=-1.∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.67错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况,造成错解. 正解:设所求圆的圆心C(a,b),那么①(1)当两圆外切时,有 ②由①②解得a=5,b=-1.∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.68(2)假设两圆内切,那么有③由①③解得a=3,b=-1.∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上所述,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.694.2.3直线与圆的方程的应用

701.掌握直线方程､圆的方程,进一步提高知识运用能力.2.掌握用坐标法研究几何问题的根本思想及其解题过程.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”71在掌握直线方程与圆方程的根底上,进一步提高知识运用能力,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:第一步:______________________,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.第二步:通过__________,解决代数问题.第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 注意:______________方法的灵活运用.

建立适当的直角坐标系代数运算数形结合思想721.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适当,