3.2.1 双曲线及其标准方程（精讲）（原卷版）

3.2.1双曲线及其标准方程（精讲）考点一双曲线的定义及应用【例1-1】（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线【例1-2】（2023黑龙江）双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A．1或21 B．14或36 C．2 D．21【例1-3】（2023·四川达州）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（

）A．5 B．6 C．8 D．12【一隅三反】1．（2023春·云南曲靖）（多选）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（

）A．当时，点的轨迹为一直线B．当时，点的轨迹为一射线C．当时，点的轨迹不存在D．当时，点的轨迹是双曲线2．（2023秋·高二课时练习）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（）A．2 B．4 C．8 D．123．（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（

）A． B． C．或 D．或4（2022秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点二焦点三角形周长及面积【例2-1】（2023春·内蒙古赤峰）已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则，的面积为．【一隅三反】1．（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（

）A．8 B． C．10 D．2．（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B．15 C．12 D．303．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为．考点三双曲线上的点到定点距离的最值【例3-1】（2022秋·内蒙古赤峰）已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为.【例3-2】（2022·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为．【例3-3】（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（

）A．16 B．18 C． D．【一隅三反】1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．112．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为.3．（2023春·宁夏银川）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为．4．（2023·全国·高三专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．5（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．7 D．8考点四双曲线的标准方程【例4-1】（2023·贵州毕节·高二统考阶段练习）若方程表示双曲线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023秋·湖南邵阳·高二统考期末）（）多选已知曲线（

）A．表示两条直线 B．表示圆C．表示焦点在轴上的双曲线 D．表示焦点在轴上的椭圆【例4-3】（2023广东湛江）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；(2)焦点在轴上，经过点和点．(3)经过点和．已知与椭圆共焦点的双曲线过点【一隅三反】1．（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·新疆克拉玛依）（多选）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（

）A．曲线可能是圆B．若为椭圆，则C．当时曲线是焦点在轴上的椭圆D．当时曲线不是椭圆3．（2023·海南海口）求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1）焦点在轴上，，经过点；（2）经过、两点．(3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.考点五与双曲线有关的轨迹方程【例5】（2022秋·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：(1)与圆和圆都内切；(2)与圆内切，且与圆外切；(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.【一隅三反】1．（2023·高二课时练习）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是．2．（2023湖南）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为．3．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知圆与圆，动圆同时与圆及