第4课（A基础）数学归纳法（解析版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第4课：数学归纳法教学目标1、掌握数学归纳法证明的一般步骤；2、能应用归纳——猜想——论证的解题思路，解决相应的数学问题重点1、数学归纳法证明的一般步骤；2、数学归纳法证明的应用难点1、数学归纳法证明的一般步骤；2、数学归纳法证明的应用（一）数学归纳法知识梳理归纳法：由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法；备注：归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律，这种归纳得到的结论需要证明！2、数学归纳法：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）(归纳奠基)证明当取第一个值(为正整数)时，命题成立；（2）(归纳递推)假设(为正整数)时命题成立，证明当时命题也成立.那么，命题对于从开始的所有正整数都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.备注：①注意命题中取满足题意中最小的第一个值，不一定是1.=2\*GB3②应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法.=3\*GB3③由k到k+1的证明，实际问题中由k到k+1的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k到k+1的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k+1)的差异与联系。利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从P(k+1)从分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡.例题精讲【例1】用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A． B． C． D．【难度】★★【答案】B【解析】因为，故数学归纳法应验证的情况，即.故选：B.【例2】用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为（）A． B．， C．， D．，【难度】★★【答案】D【解析】解：当，，时，显然不等式不成立，当时，不等式成立，故用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为，，故选：.【例3】用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（）A． B．C． D．【难度】★★★【答案】B【解析】由题意，，，所以.故选：B.【例4】用数学归纳法证明不等式：（，），在证明这一步时，需要证明的不等式是（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】D【解析】当时，那不等式左边的式子中的都换成，得到．【例5】用数学归纳法证明．【难度】★★【答案】证明见解析.【解析】证明：（1）当时，左边，右边，左边=右边，等式成立.（2）假设当时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式成立，由（1）（2）可知，对一切等式成立.【例6】证明：不等式，恒成立.【难度】★★★【答案】见解析【解析】解：当时，成立假设时，不等式成立那么时，，，即时，该不等式也成立综上：不等式，恒成立.巩固训练1、用数学归纳法证明对任意，（，）的自然数都成立，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】当时，，，，不等式不成立；当时，，，，不等式不成立；当时，，，，不等式成立；当时，，，，不等式成立，所以满足题意的的最小值为3．故选：C．2、用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.【答案】k＋1【解析】f(k)＝1＋，f(k＋1)＝1＋，∴f(k＋1)－f(k)＝＝k＋1，∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．故答案为：k＋1.3、已知关于自然数的命题，由成立可以推出成立，若不成立，则下面结论正确的是（）A．一定不成立 B．可能成立C．一定不成立 D．不一定成立【答案】C【解析】解：对不成立，无法判断当时，是否成立，故错误；假设对成立，则根据推理关系，得对成立，与条件对不成立矛盾，假设不成立，故错误；同理可得，当时，一定不成立，故错误，正确；故选：．4、用数学归纳法证明：【难度】★★【答案】证明略声明：试（二）数学归纳法的应用知识梳理归纳——猜想——论证“归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个的值，寻找一般的规律，先考虑一些特例，进行归纳，形成猜想，然后再去证明所得猜想的结论正确与否”的解题方法．备注：理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力．例题精讲【例7】观察下列式子：，…，由此可以通过归纳，猜想一个成立的等式为________.【难度】★★★【答案】【解析】解：观察等式左边发现，第一项左边是，共有项，第二项左边从开始一直加到，共项，第三项左边是从开始相加一直加到，共有5项，以此类推，第项左边从开始相加一直加到，共有项.等式右边第一项为，第二项为，第三项为，依次类推，第项为，因此可以得到如下结论：.故答案为：.【例8】设，且，则______.【难度】★★★【答案】【解析】解：，，，，，猜想，用数学归纳法证明如下：时，结论显然成立；假设时，，时，，此示时，结论成立，综合以上有，，故答案为：【例9】已知数列中，，前n项和满足条件，计算，，，然后猜想出的表达式，并用数学归纳法证明你的结论，某学生的解答如下：当时，，即，∵，∴，，．由此猜想（）．①当时，即．结论成立．②假设当（）时结论成立，即成立，则当时，∵，∴，又．∴是首项为3，公比为的等比数列．由此得，这表明，当时结论也成立．由①②可知，猜想对任意都成立．请判断学生的解答是否正确？【难度】★★【答案】答案见解析【解析】根据数学归纳法的流程知，学生的解答是错误的，正确解答如下：由，，求得，当时，，即．把代入，得，，由此猜想（）．下面用数学归纳法证明猜想成立．①当时，即，猜想成立．②假设当（）时结论成立，即成立，则当时，∵，∴，这表明，当时结论也成立．由①②可知，猜想对任意都成立．【例10】已知.（1）求，，的值.（2）用数学归纳法证明.【难度】★★★【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）.（2）由（1）知，当时，不等式成立.假设当（）时，不等式成立，即，当时，.综上所述，对任意，成立.【例11】是否存在常数a，b，c，使等式N+都成立，并证明你的结论.【难度】★★★【答案】见解析【解析】令n=1得①，令n=2得②，令n=3得③，解①、②、③得a=3，b=11，c=10，记原式的左边为Sn，用数学归纳法证明猜想下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n＝1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n＝k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2（3k2+11k+10），那么当n＝k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2（3k2+5k+12k+24）[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n＝k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时题设的等式对于一切正整数n都成立．【例12】设.（1）比较和的大小，直接写出结论，不必证明；当时，；当时，；当时，；（2）比较和的大小，其中e是自然对数的底数，并说明理由.【难度】★★★【答案】（1）；或4；，；（2）时，；理由见解析.【解析】解：（1）当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则，……，故为：；或4；，；（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.先证时，.由数学归纳法证明.当时，，，则成立；假设时，.当时，，即时，，不等式成立.所以时，.又时，.所以时，.综上可得，时，.【例13】己知数列是非零数列.（1）若，求；（2）若，证明：是等差数列；【难度】★★★【答案】（1）2；（2）证明见解析；【解析】（1）解：，（2）证法一：猜测.用数学归纳法证明：①时，结论显然成立；②假设时结论成立，即成立，当时，，所以，即时结论成立，由①②得：时，所以是等差数列.证法二：，所以，，所以，整理得到：，即，于是数列是常值数列，所以，即，所以是等差数列.巩固训练1、观察下列等式第一个式子第二个式子第三个式子第四个式子照此规律下去……（Ⅰ）写出第5个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【解析】（Ⅰ）第5个等式：．（Ⅱ）猜测第个等式为：．下面证明：①当时，左边，右边，所以等式成立；②假设（，）时等式成立，即有，那么当时，左边，右边，这就是说时等式也成立．根据①②知，等式对任何都成立．2、已知.（1）写出，，的值；（2）归纳的值，并用数学归纳法加以证明.【答案】（1），，；（2），证明见解析.【解析】(1)由题意可得：f(1)=1，，，.，，.(2)由(1)猜想g(n)=n(n⩾2).下面利用数学归纳法证明：①当n=2时，猜想成立；②假设当时，g(k)=k.即，∴f(1)+f(2)+…+f(k−1)=kf(k)−k，则当n=k+1时，=k+1，因此当n=k+1时，命题g(k+1)=k+1成立.综上可得：，g(n)=n(n⩾2)成立.3、设正项数列满足，且，求，，的值，并猜想数列的通项公式；用数学归纳法证明你的猜想．【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】（1）由，，可得，，，猜想．（2）下面用数学归纳法证明．当时，，猜想成立；假设当时，猜想成立，即；则当时，，即当时，猜想也成立，所以数列的通项公式为．4、已知数列中，是的前项和且是与的等差中项，其中是不为的常数.（1）求.（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）；；（2）猜想：；证明见解析【解析】解：（1）由题意知：即，当时，，解得.当时，，解得.当时，，解得.（2）猜想：证明：①当时，由（1）知等式成立.②假设当时等式成立，即，则当时，又则，，∴，即所以，即当时，等式成立.结合①②得对任意均成立.实战演练实战演练一、填空题1、用数学归纳法证明，第一步可以取到的自然数_______.【答案】3【解析】由于要证明的是，所以第一步，满足.故答案为：2、从，概括出第个式子为___________．【答案】；【解析】；；；；…；所以猜想:，故答案为:.3、设，，，…，，希望证明，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从到应添的项是______.【答案】【解析】当时，,当时，,通过对比可以发现，第二步从到应添的项是.故答案为：4、已知，，，，则概括出第个式子为___________．【答案】【解析】由，，可知第一项为第二项为第三项为以此类推第项为，故选C.5、已知对一切正整数都成立，则的值为__________【答案】66、用数学归纳法证明的过程中，从到时，比共增加了___________项.【答案】2k【解析】∵，∴共2k项，则共2k+1项，∴比共增加了2k+1﹣2k＝2k项，故答案为：2k．二、选择题7、用数学归纳法证明对任意，（，）的自然数都成立，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】当时，，，，不等式不成立；当时，，，，不等式不成立；当时，，，，不等式成立；当时，，，，不等式成立，所以满足题意的的最小值为3．故选：C．8、用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，当时，左边，故选：C9、用数学归纳法证明：，从到，若设，则等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，则，故选：B.10、用数学归纳法证明：时，由到等号左边需要添加的项是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：时，等号左边最后一项为，当时，等号左边最后一项为，