2023年贵州考研数学三试题及答案（真题）

2023年贵州考研数学三试题及答案

一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1.已知函数/（乂丁）=缶（尹|高”|）,则（）.

A.ɪ不存在，ɪ存在BW存在，或不存在

OX（OJ）②（0.1）dX(0.1)②((M)

C.ɪ存在，笠存在D.g不存在，ɪ不存在

Gx（0,1）8（0,1）dX(0,1)②(OJ)

【答案】A.

【解析】由已知/(x,y)=ln(y+1xsiny∣),则

/(x,l)=ln(l+∣xsinl∣)，f(0,y)=lny.

,

当x>0时，/(%,l)=ln(l+xsinl),爪，d∕α,D=sinl;

∂x

A=O

af(χ,i)

当x<0时，/(x,l)=ln(l-xsinl),=-sinl;

OXdx

(0,1)A-O

所以不存在.

又中(χ,y)df(O,y)

=1,ffi∙

(0.1)ʤ7

>-1

故选A.

I,j,,,X≤0

2.函数/O)=Ji77的一个原函数为().

I(Λ+1)COSX,X>0

In(+x2-xj,x≤O

A.F(x)=<

(X+1)cosx-sinɪ,ɪ>0

In(71+ʃ2-X)+Lx≤O

B.F(X)=

(x+1)cosX-SinMX>0

ln[ʌ/l+^2-x),x≤0

C.F(x)=]∖/

(x+1)sinx+cos%,x>0

In(Jl+X?+xj+l,x<O

D.尸(X)=,

(x+I)Sinx+cosx,x>0

【答案】D.

【解析】由已知Iim/(x)=Iimf(x)=/(0)=l,BP∕(x)连续.

Λ→0+x→0~

所以F(X)在X=O处连续且可导，排除A,C.

又工>0时，[(x÷1)cosX-sinx↑=cosx-(x÷1)sinx-cosx=-(x+1)sinxl

排除B.

故选D.

3.若y"+αy'+Λy=O的通解在(F,+∞)上有界，则().

A.aV0,b>0B.α>0,⅛>0

C.a=O,b<OD.a=O,b>O

【答案】D.

【解析】微分方程y"+ay'+by=O的特征方程为r2+ar+b=O.

C--X∖∣4-hcΓJ4b一〃

①若,则通解为v

/-4b<0y(x)=e2'(C∣cos^^x+C2sin2x);

(aɪ'j4b-a2)(a∖∣4b-a2)

②若/一,则通解为2i22

4b>oy(χ)=cj2+C2JJ;

a

③若/一4人=0,则通解为y(x)=(C,+C2x)e~^'.

由于y(x)在(-8,M)上有界，若-∙∣>0,则①②③中X→E时通解无界，若-5<0，

则①②③中x→-∞时通解无界，故α=0.

α=0时，若。>0,贝!J/2=〃/，通解为MX）=（GCoS石X+C?sinGx）,在（一∞,+oo）

上有界.

α=O时，若b<O,则％=，通解为VO）=Ge而+Qe-疯，在（-∞,+∞）上无界

综上可彳导α=O,b>0.

CCCC8CC

4.设q,<么，且»>“与收敛，绝对收敛是»“绝对收敛的（）.

〃=1n=lW=In=1

A,充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件

【解析】由已知条件可知£3“-4）为收敛的正项级数，进而£s,-«„）绝对收敛.

〃=1π=l

设绝对收敛，则由同=W-4+4闫么一%|+|%|与比较判别法,得∑bn

M=I/1=1

绝对收玫；

设绝对收敛，则由㈤=|见-2+勿区四-q|+同与比较判别法，得Sa.绝

n=l

对收敛.故选A.

（AE∖

5.A,B为可逆矩阵，E为单位阵，AT为M的伴随矩阵，则=

I。B）

‹∖A∖Bt-B*A*Λ"∖B∖At

Λ.B.

kO∣B∣A*;、O∖A∖B∖

(\B\X^∖A∖B,-AB、

C.D.

、O∖MB)kO∖B∖A∖

【答案】B-

【解析】由于

7EVAEY_AE(E

BOβ[θ

、0)[B)O0∖A∖∖B∖^

故

7E1*jAEY'Γ∣A∣∣β∣0、

、OB)=[θB)[O∖A∖∖B∖^

JAT-A-lβ-'V∣A∣∣β∣O、

=、0B'J〔OIAIlBL

_r∖A∖ATl∖B∖-∣A∣A-1∣β∣β^p

一、OB-'∣A∣∣B∣,

(A^∖B∖-ABy

=、OB*∖A∖γ'

故选B..

2

6./(x1,¾,x3)=(x1+x2)+(x1+F)2-4(%2-*3)2的规范形为

2222

A.Ji+货B.γl-y[C.γl+¥-4y；D.y∣+y1-y]

【答案】B

22

【解析】/(x1,x2,x3)=(x1+X2)+(X1+X3)-4(X2-X3)

2-3%2-+8xx,

=2XI+2ΛIΛ2+2X1X323

211

二次型的矩阵为A1-34

14

-3√

2-2112-210

∖A-λE∖=1-3-Λ4=(∕l+7)1—3—Λ1

14—3—Λ14-1

2-λ10

=(4+7)21-20=-2(2+7)(2-3)=0,

14-1

4=3,4=-7,4=0,故规范形为A-,故选B.

T

7.已知向量组α∣=2,4,若/既可由四,4线性表示，

B,

又可由以血线性表示，则V=()

'3、

B.k5,k£R

2

r-P

C.k1，kGR

J,

【答案】D.

[解析】设y=Kal+k2a2=kiβi+k4β2,则klai+k2a2-kiβi-k4β2=O,对关于

kl,k2,%,h的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形,

"12-2-Γ'1003、

A=(ai,a2,-βi,-β2)=21-50→010-1

(31-9-1；、0°11>

ττττ

解得(⅛1Λ2,¼Λ4)=C(-3,l,-l,l)+(3,-l,l,0)=(3-3C,-l+C,l-C,C),故

"I-C[

《

γ-⅛α+ka=(3—3C)a+(C-l)a=5(1-C)=5∖,k≡R.

l122l2.8(1-C)J[s)

8.设X服从参数为1的泊松分布，则E(∖X-E(X)I)=().

【答案】C.

【解析】方法一：由已知可得，P{X=k}=^-(k=0,1,2,),E(X)=I,故

k∖

E(IX-E(X)D=E(IX-H)==e-∣

k=ok!A=O%!

2

=2e^'+fi(X-l)=-.

e

故选c.

x

方法二：由于e'=£匚e-Y-I

于是

Mk!X

OOk

kx-'X(x-l)ev+l

=Y

ΣX2

A=I(4+1)!U⅛(Z+1)!

由已知可得，P{X=k}=^-(k=0,∖,2,),E(X)=I,故

k∖

Hk

E(IX-E(X)I)=E(IX-11)=e-∣+e-七(-D---=eJ+e"ιy--------

k=lk∖金伏+1)!

v

-1-1U-l)e+ll

=e+e2—e-'+e'=—

X1e

E(IX-E(X)I)=E(Iy∣)=[e-1+E(Y)]=e^l+E(X)-I=e^'.

故选C.

9.设X∣,X2,,X,,为来自总体N(M,/)的简单随机样本，匕包,，匕,为来自总体

一1〃_1"J

9〃2,2/)的简单随机样本，且两样本相互独立，记乂=∙12乂­γ=-tγil

〃Z=I机/=I

1___1相_

Si不―F(E则()

S2

A.或F(n,m)B.-⅛-F(π-l,m-l)

2

S2

2S22V2

C.1F(n,m)D.—5-F(n-l,m-l)

邑

【答案】D.

-DSj匕(加一1»2匚相互独立，且

【解析】由两样本相互独立可得

2

σ^2σ

…r(rt-i),⅛t-z‰-D,

σ^2σ~

(n-l)S.2L八

ɔ5-1)2s,2

因此7-3c7√7——=UR(〃一1,，”一1)，故选D.

(加_“邑ɪ)S

((2

2σ2)

10.已知总体X服从正态分布N(μ,4),其中b>O为未知参数，x∣,X2为来自总体X

的简单随机样本，记S=α∣X∣-X2∣，若石。)=6,则α=().

A五B叵C.aD.Æ

22

【答案】A.

【解析】由与％,X?为来自总体X的简单随机样本，X1,X?相互独立，且

2

X1NQId),X2N(μ,σ),

因而屈一乂2~以0,2"),令丫=乂「乂2,所以丫的概率密度为

•e2∙2σ2

所以

郎W)=U3T⅛TEdy=2//产dy=居，

由E(G)=αE(∣X∣-X2∣)=σ,即

aE(∖Y∖)=a-=σ

y∣π

解得α=g,故选A.

2

二.填空题：1∏6小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

11.求极限IimX212-XSinL-COSU=____________

“eIxxJ

【答案】j2.

Csinz

2---------cost

X=-

【解析】Iimx*22-%Sinl-CoSjIl-Llim

XXr→0,2

1---s-i-n--r---------1〃2

.1-cosr.t.2V-sinr

I1im----∑------1FIim-∑—=Ii1m——+Iim-------

z→0产z→0产∕→0/∕→0r'

11

—I——

26

2

3-

12.已知函数/(Q)满足d∕(x,y)=γ,且加1)得，则八"3)=

TT

【答案】-

【解析】由已知竽=K27*⅛7，则

-yλXzx

/(χ,y)=J97dr=-arctan-+φ(y),

厂+yy

所以))•=—；,孑+夕'(y),即/(y)=(),0(y)=C,

∂yX2+y

XTTTT

从而"”)=-arctan丁C,又“1)二，解得C=5,故

/(x,y)二工一arctan'，/(ʌ/ɜ,3)=--arctan—=—

2y233

OO2n

B.y—

6(2〃)!

x

AΛ4-Q~

［答案］一

【解析】令S(X)=，则S(O)=I,且

to(2n)!

co2w-l

S3=自/'S'⑼=O，

QO2∕ι-2co2n

sa，='.-2)!=、西=S(X)'

从而可得微分方程S"(x)-S(X)=O,解得S(X)=Ce'，

又S(O)=i,s,(θ)=o,解得G=G=；，故

8Y2〃X,

SS氤子

14.某公司在r时刻的资产为/Q),则从0时刻到r时刻的平均资产等于四-，，假设

/«)连续且/(0)=(),贝U/Q)=

【答案】2(e,-r-l).

∖'fWf(t)r/2

【解析】由已知可得虫------=--r,整理变形Jo/⑺出=ʃ(r)-t2,

等式两边求导/(f)=∕'(f)-2r,gp,rω-∕ω=2r,解得一阶线性微分方程通解为

∕ω=-2(f+l)+Ce,,

又/(0)=0,解得C=2,故/S=2(e'-f-1).

0r1+x3=1,

a01

x∣+g+占=0,

15.IJ3八有解，其中。涉为常数，若1a1=4,则

x+2X+以3=0，

l212a

axλ+bx2=2

1a1

12a

ab0

【答案】8

a011

1a1a01

1a10

【解析】方程组有解，则IAl=12a+21a10,故

12a0

h012

ab02

1a1

12a=8.

abO

16.设随机变量X与丫相互独立，且X3(l,p),y8(2,〃)，p∈(O,l)则X+Y

与X-丫的相关系数为.

【答案】二

3

【解析】由题意可得，r>(X)=p(l-p),。(丫)=2爪1一〃)，又由X与Y相互独立可

知，D(X+Y)=D(X)+D(Y),故

CoV(X+匕X-丫)_________D(X)-D(Y)________

Pgf-S(X+Y)∙JD(X-Y)-dD(X)+D(Y)yD(X)+D(Y5

=D(X)"(Y)=p(l-p)-2p(l-p)=」

—D(X)+D(Y)—p(l-p)+2p(l-p)一^3

三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

已知函数y=y(x)满足cze'+γ2+y-ln(l+x)CoSy+。=0,且y(0)=0,/(0)=0.

(1)求α,6的值;

(2)判断X=O是否为函数y=y(x)的极值点.

【解】(1)将y(0)=0代入oe'+V+y—ln(l+X)CoSy+b=0得a+/?=。.

方程ɑe*+V+y-]n(l+X)cosy+b=0两边对X求导得

aex+2yy'+y'----!—cosy+ln(l+x)sinʃ∙y,=0,

1+x

将V(O)=O代入上式得。一1=0,解得α=l,0=T.

⑵由(1)知e'+2y∕+y'——!一cosy+ln(l+x)Siny∙y'=0,上式两边再对X求导得

1+x

e'+N疗+2W+>"+而严S"=Sg"'+----siny+ln(l+x)cosy∙y,y'+ln(l+x)siny∙y

1+x

将XO)=0,y'(0)=0代入上式得)，〃(0)=-2,所以X=0是函数y=y(x)的极大值点.

18.(本题满分12分)

1

已知平面区域。=<(χ,y)∣0≤y≤,无≥1》,

xj∖+χ2

(1)求平面区域D的面积S.

⑵求平面区域D绕X一周所形成得旋转体的体积

,any/∖cΓ+°o1f^∑SCCtfτ1

［解］⑴S=I­,----1dx=---------d1/=~I

Jlx√l+x2j4tanZsecr匕sιnf

π∙.π1

=∫J^-ηdt=-p---------ηdCoSt

*4sintjT4!-cost

1cCOoSs"r-11211√2+l

—1In-------=—In—7=——

2cost+1π2√2-l'

4

∣∙+XI

(2)V=π∖------∑-dx=

Jlx2(l+x2)

19.(本题满分12分)

已知。={(刈。-+》金},求

31)22JJQd+y2-ildχdy.

D

【解】令则

2={(x,y)|(x-l)2+y2≤l,χ2+y2≤l},

∫∫∣7χ2÷/-Iklvdy

D

D-DiDI

222

+y-IjCUdy+2∫∫ɑ-λ∕x+yjdrdy

2cθ夕七加。-乃+*百+32-7万

=∫o"β2∫2'COSJɪ"d°de=

~9~

2J3

20.(本题满分12分)

设函数f(x)在«］上有二阶连续导数.

(1)证明：若/(())=。，存在J∈(一α,a),使得/"C)=4"(α)+∕(-。)］；

a

(2)若/(%)在(-a,a)上存在极值，证明：存在”(-α,α),使得

∣Γ(7)I≥A∣∕(Λ)-∕(-Λ)I∙

2a

【证明】(D将/U)在％=0处展开为

〃加八。)+，侬+等=〃。).+誓,

其中5介于0与X之间.

分别令x=-α和x=4,则

/(F)=F(O)(F)+V2,-a<ξ,<0,

/(.)=尸(0)(幻+/”孝2,Q<ξ2<a,

两式相加可得

〃j”、Γ(⅞)+m)

f(-a)+f(a)=zaγ2------Lʒ------=-,

又函数/(x)在［~a,a］上有二阶连续导数，由介值定理知存在⅞∈［⅞,⅞2］<=(-α,“)，使得

f④)9

即，C)=-I"(-。)+./W

a~

⑵设/G)在可处取得极值，则/'(%)=0.

将/(X)在Λo处展开为

())

/(X)=/(⅞)+/'(Xo)(XTo)+)"弋一XOy=/(X)+rJ^~X°2,

0

其中5介于.％与X之间.

分别令X=-。和X=α,则

2

t..e..f"(ηi)(a+x0)

/(-«)=/(⅞)+-———~~—,~a<ηλ<X0,

2

((、、f∖η2)(a-x0)

f(a)=f(x0)+------——,x0<η2<a,

两式相减可得

_〃一G=f”(%)(a-XOY_/Si-"+--

八)八一22'

所以

22

I/(«)-/(-«)I=∕¾)^-⅞)-Γ(7I)(^+⅞)

./"(7)∣(α+x°)2I""(%)∣(α-χo)2

22

22ff

≤[(«+⅞)+(«-⅞)Kl∕(7)I=max(∣Γ(71)∣JΓ(½)∣))

≤^^⅛3+x°)+(α—/)]2=2/"〃(〃)|,

gpI∏7)l≥⅛I/(«)-/(-«)I-

2a

21.(本题满分12分)

X1+X2+X3、

设矩阵A满足对任意的均有A

x1,x2,X34=2x1-x2+x3.

//

⑴求A

(2)求可逆矩阵尸与对角阵力,使得PTAP=4.

xi+x2+Xi、

【解】(DffiA⅞2X1-X2+ɪɜ,得

¾-⅞，

111、

Ax22-11

01-1

、77

111、Xl(\

即方程组A-2-11

0对任意的xi,x2,%3均成立，故A=2

-3

01-I7,0