2023年湖南省衡阳市普通高校对口单招数学自考模拟考试(含答案)

2023年湖南省衡阳市普通高校对口单招数

学自考模拟考试(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(10题)

1.若Sina与COSa同号，则a属于()

A.第一象限角B.第二象限角C.第一、二象限角D.第一、三象限角

2.下列函数中，既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()

A.f(x)=l∕χ2

B.f(x)=x2+1

C.f(x)=x3

D.f(x)-2x

3.若a<b<0,则下列结论正确的是()

A.a2<b2

B.a3<b<b3<∕b

C∙∣a∣<∣b∣

D.a∕b<l

4.函数/(χ)=-3÷αx-不2在3)上单调递增，则a的取值范围是0

A.a>6B.a<6C.a>6D.-8

5.已知集合Jf(X)=育,则/"(X)=(X+D等于<)

X

A-I-X

ɪ

B一；

x+1

x-1

D-

6.已知a=(l2)，则2a=()

A.(l,2)B.(2,4)C.(2,1)D.(4,2)

7若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的他视图不可能是0

*----

A.

8.若直线χ-y+ι=θ与圆(χ-a)2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是<>

A.[—3,-1]B.[-L3]C.[-3∙1]D.(-oo∙­3]u[l+oo)

9.过点M(2-1)的宣线与X轴交与P点，与y轴交与交与Q点，且IMPl=IMQ则此直线方程为()

A.x-2y+3=0B.2x-y-3=0C.2x+y-5=0D.x+2y-4=0

已知A是锐角，贝!12A是().

10A.第T限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.小于180°的正角

二、填空题(io题)

11.方程扩4X-3×2X-4=0的根为.

3

12若Sine-，lan。V0.则cos。一

13.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是广

14.某校有老师200名，男学生1200名，女学生1000名，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则从女

生中抽取的人数为

15.

某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的“的最大值为

I6.(3a-2b)的展开式的倒数第4项的二项式系数是

174=(1,斑=(币+】怎1)则a∙b夹角为.

18.双曲线χ2∕4-y2∕3=1的虚轴长为.

19.101g2=√

ω

20.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x2-x∙则f=

三、计篦题(5题)

∖-χ

己知函f(x)=Ioga-------,(a>0且a≠)

21.1+x

(1)求函数f(χ)的定义域；

(2)判断函数f(χ)的奇偶性，并说明理由。

1_

22.已知函数f(x)的定义域为{x∣xHO},且满足f(x)+3f)-x∙.

(1)求函数f(χ)的解析式；

(2)判断函数f(χ)的奇偶性，并简单说明理由.

23.从含有2件次品的7件产品中，任取2件产品，求以下事件的概率.

(D恰有2件次品的概率P］：

(2)恰有1件次品的概率pɔ

24.有四个数，前三个数成等差数列，公差为10,后三个数成等比数列，公比为3,求这四个数.

25.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并

分别垛置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计io。吨生活垃圾，数据统计

如下(单位：吨)：

“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

厨余垃圾24412

可回收垃圾41923

有害垃圾^^

22141

其他垃圾15313

（1）试估计“可回收垃圾，，投放正确的概率;

（2）试估计生活垃圾投放错误的概率。

四、简答题（10题）

26.求到两定点A（-2,0）（1，0）的距离比等于2的点的轨迹方程

27.如图，四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD，AB∕∕CD∙AD=CD=1∙BAD=I20。，PA=④，ACB=90。。

⑴求证：BCL平面PAC

（2）求点B到平面PCD的距离。

28.在三棱锥P-ABC中，已知PA-LBC，PA=a∙EC=b∙PA-BC的公垂线EF=Ir求三棱锥的体积

29.在1，2,3三个数字组成无束复数字的所有三位数中，随机抽取一个数，求:

（1）此三位数是偶数的概率;

（2）此三位数中奇数相邻的概率,

30.点A是BCD所在平面外的一点，且AB=AOBAC=BCD=90°，BDC=60°，平面ABC∙l平面BCD

（1）求证平面ABD■L平面ACD;

D

31.已知函数：’*2*求X的取值范围。

32.四棱锥S-ABCD中,底面ABoD为平行四边形，侧而SBCL底面ABCD

（］）证明：SA-LBC

33.某中学试验班有同学50名，其中女生30人，男生20人，现在从中选取2人取参加校际活动，求

（1）选出的2人都是女生的概率。

(2)选出的2人是1男1女的概率。

34.某商场经销某种商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买，根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6,求3为顾

客中至少有1为采用一次性付款的概率。

35.求k为何值时，二次函数/(x)=√-(2*∙-l)x+(A∙-I)j的图像与X轴

(])有2个不同的交点

(2)只有1个交点

(3)没有交点

五、解答题(io题)

-Sina-Sin£

口MeFtan<9=-------------------

36.J知sin(θ+α)=sin(θ+β),求证：cosa-cosβ

Til

37.已知椭圆χ2∕a2+y2∕b2=l(a>b>0)的离心率为j，右焦点为(9、']，0)，斜率为ι的直线L与椭圆G交于A,B两

点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3,2).

(1)求椭圆G的方程：

(2)求^PAB的面积.

38.已知｛a｝为等差数列，且％=6,a=0.

n36r

(1)求｛a｝的通项公式:

nJ

⑵若等比数列｛b｝满足b,=8bc=a,+a”aj求｛b｝的前n项和公式.

n12123n

39.已知圆X2+y2=5与直线2x-y-m=0相交于不同的A`B两点，O为坐标原点.

(D求m的取值范围；

(2)若OA1OB*求实数m的值.

己知数列｛4｝的首项/=1,4=3",τ+2n2-6n+3(n=2*3,…)

数列｛b,J的通项公式>=，“+!?：

(1)证明数列｛bj是等比数列.

40.(2)求数列｛b,J的前n项和S11.

41.已知椭圆Cκ2∕a2+y2∕b2=l(a>b>0)的离心率为、W，在C上；

(])求C的方程：

(2)直线L不过原点O且不平行于坐标轴，L与C有两个交点A，B∙线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线L的斜

率的乘积为定值.

42.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+l.

(D求函数f(x)的单调区间.

(2)若f(x)-2a+l≥0对Vxe[-2,4]恒成立，求实数a的取值范围.

2T√2

43.已知A，B分别是椭园的左右两个焦点，O为坐标的原点，点p（一］,~-）在椭阅上，线段PB与y轴的

焦点M为线段PB的中心点，求椭圆的标准方程

√3

44.已知椭圆的中心为原点，焦点在X轴上，离心率为W，且经过点M（4，］），直线1：y=χ+m交椭圆于异于M的不同两点

A，B直线MA，MB与X轴分别交于点E，F.

（1）求椭圆的标准方程:

（2）求m的取值范围.

45.

设数列｛4｝的前〃项和，=2all-al,且al,a2+Iai成等差数列。

（1）求数列仿」的通项公式;

（2）记数歹八一｝的前〃项和7；,求得使17；—11<成立的〃的最小值。

aI（XX）

六、单选题（0题）

46.Iog39=

A.lB.2C.3D.4

参考答案

1.D

各三角函数在各象限的符号分布的口诀为：

一全正，二正弦，三正切，四余弦

所以一、三象限正弦，余弦的符号相同

2.A

函数的奇偶性，单调性.因为:y=χ2在(・8,0)上是单调递减的，故y=l∕χ2在(-8,0)上是单调递增的，又y=ι∕χ2为偶函数，故A

对：y=x2+l在(-8,0)上是单调递减的，故B借：y=χ3为奇函数，故C错；y=2-x为非奇非偶函数，故D错.

3.B

√a<b<()f

：.α2>62,α3<δ3,∣α∣>∣6∣,J>l.

综上所述，只有选项/，正确。

故选∕3∙

4.A

由题意可得：函数/(力)为二次函数，其图像抛

物线开口向下，对称轴方程为：X="

..弓23时满足题意，

.∖a›G

5.B

由函数的换算性质可知,f-l(X)=.l∕χ.

6.B

平面向量的线性运算.2；=2(1,2)=(2,4).

7.C

几何体的三视图.由题意知，俯视图的长度和宽度相等，故C不可能.

8.C

直线与圆的公共点.圆（x-a）2+y2=2的圆心C（a，0）到x-y+l=O

的距离为〃，则U≤r=√∑=ɪɪAɪ≤含㈡

√2

∣fl+l∣≤24=>-3≤α≤l.故选C.

9.D

10.D

11.2解方程,原方程即为（2x）32x4=0,解得2x=4或2x=l（舍去），解得x=2.

12.-4/5

13.

双曲线3/—/=3的标准形式为

2y21

3

其渐近线方程是①2-1∙=0,

整理得y=±，3公

y=±gx,故答案为g=±，3公

14.100分层抽样方法.各层之比为200:1200:1000=1:6:5推出从女生中抽取的人数240x5/12=100.

15.45

16.56

17.45o,

.二向量i(1,⑸，b=(j3+ι,λ∣3^-i),

.∙∣α∣=Jl+3=2,IbI=J(巧+1产+(后—1)2=2后

,∙,ɑβ6=l×([3÷1)+>∣3(ʧɜ-l)=4

ΛTT

：若W、W的夹角为。，贝IkosO=旦三=VF=

∣ɑ∣∙∣δ∣2×2J2

∙.'6>∈[00∙y

I8,2√3双曲线的定义.b2=3,.所以b=√?.所以2b=2∕f.

19.IglO24

101g2=lgl024

20..3.函数的奇偶性的应用.Yf(X)是定义在只上的奇函数，且XgO时，f(x)-2x2-x,f(1)==-f(-ɪ)=-2x(-1)2+(-1)=-3.

I-Y

解：(1)由题意可知：>O,解得：-1<.v<l»

l÷x

函数/(X)的定义域为Xe(T,1)

⑵函数/(x)是奇函数，理由如下：

//\11—(一χ)1i+χ1I-X//、

/(-X)=Iog^7—=噫：—=-lθg--=-/。)，

fll+(-x)1-xa1+x

・・・函数/(x)为奇函数

22.

(1)依题意有

/(x)+3/(1)=x

X

∕d)+3∕(x)=1

XX

解方程组可得：

(2)函数/(X)为奇函数

∙,∙函数/(X)的定义域为｛x∣XH0｝关于原点对称，且

，函数/(X)为奇函数

.解：7件产品中有2件次品，5件合格品

(I)恰有2件次品的概率为

=-T-=一

(2)恰有1件次品的概率为

pGeio

心二b五

解：设前三个数分别为b-10,b,b+10,因为b,b+10成等比数列且公比为3

6+10C

.∙.------=3

b

.,.b+10=3b,b=5

所以四个数为-5,5,15,45.

25.

解：⑴依题意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28(吨)

其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19吨

19_19

所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为：19+4+2+3—28

(2)据数据统计，总共抽取了IOO吨生活垃圾，其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正确的数量分别为24吨，19吨，14吨，13吨。故生活垃圾投放正

确的数量为24+19+14+13=70吨，所以，生活拉场投放错误的总量为IOO-70=30吨，

100-(19+24+14+13)_3

所以生活垃圾投放错误的概率：-----ioδ-------=Io

26.

设中点P(X.y)由题意得

以1=2

I冏,又A(-2,O),B(1,0)

<x+2>+∕τ

,J(X+1)2+/

得χ2-4x+y2=0或(χ-2)2+y2=4

27.证明：(DPAJ•底面ABCD

PAɪBC又NACB=90。，BCɪAC则BC,平面PAC

(2)设点B到平面PCD的距离为h

AB〃CDAB〃平面PCD

又NBAD=1200∕ADC=60。

又AD=CD=I

则4ADC为等边三角形，且AC=]

PA=0PD=PC=2

理狂鸟出=姮

445

28.

解、连接BECE

VPA±BC,PALEF

工PAJL平面BCE

+=,

则“∕>τ血、=ypτBEC^A→BEC§Si^CE,P七+§SAeeEAE

又∙.∙PA=Q,∙BC=b,EF=h，"P~MSC=—Qbh

6

29.1，2,3三个数字组成无重复数字的所有三位数共有J=6个

P-2」

（1）其中偶数有‘g=2个'故所求概率为/一6-4

（2）其中奇数相邻的三位数有2名=4个

J二

故所求概率为P2=W=H

30.分析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法。

（1）推导出CD,AB，AB1AC-由此能证明平面ABD，平面ACD

（2）取BC中点O,以O为原点，过O作CD的平行线为X轴，OC为y轴，OA为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能

求出二面角A-BD-C的正切值。

解答:

证明：(I)'∙•面ABej∙底面BCD，zBCD=90o∙面ABCn而BCD=Bo

Z

•*CDɪ平面ABC，∙∙∙CD工AB，

vzBAC=90θjΛAB1AC*

YACPICD=O

•••平面ABDJ•平面ACD

解：(∏)取BC中点0，•••面ABC∙l底面BCD，NBAC=90。，AB=AO

•••AO'BC，,AC),平面BDO

以o为原点，过°作CD的平行线为X轴，OC为y轴，OA为Z轴，建立空间百•角坐标系，

A(O,O,√2α),B(O,-√2a,O),D√2a,0),

3

AB=(O,-√2α,-√2α),AP=,√2α,-√2a),

O

设平面ABD的法向量m=(x,y,z),

∙AB=-χ∕2ay—∖∕2az=OTL

则_yr.,取y=1,得n=(-√6,1,-1),

∙AD—八、+∖∕2ay—∖∕2az=O

平面BDC的法向量布=(00,1),

设二面角A-BD-C的平面角为θ,

∖m∙^n∖1I12√VL

贝(leoseɪɪʒ-------=——,sinθ=4/1—(—-：)=——rtanθ=χ∕7.

∣m∣∙∣7ι∣2√2V2√22√2

.∙.二面角A-BD-C的正切值为0.

31.

3x-4>0

解，由题意得"一一4>0

3X-4<X2-X-4

X>4

32.证明：作SO」-BO垂足为O,连接Ao

侧面SB，底面ABCD

••SO~L底而ABCD

7SA=SBAOA=OB

又∙∙∙ABC=45"∙AOB是等腰直角三角形

则OA,OB得SA'BC

33.(1)2人都是女生的概率P=C(2,30)∕C(2,50)=30*29/(50*49)=0.35510

(2)2人都是男生的概率P=C(2,20)∕C(2,50)=20*19/(50*49)=0.15510

选出的一男一女的概率P=C(1,20)*C(1,30)∕C(2,50)=20*30/((50*49)/2)=0.4897

34.

P=I-(1-0,6)3≈l-0.064=0.936

35.-∆=[-(2⅛-Df-4(λ-l)a=4JP-4⅛+l-4⅛j+8*-4≡4⅛-3

(1)当△>()时，又两个不同交点

（2）当A=O时,只有一个交点

(3)当△<()时，没有交点

36.

证明：*."sin(θ+α)=sinθcosa+cosθsina

sin(θ+β)=sinθcosβ+cosəsinβ

,.,sin(θ+a)=sin(θ+β)

sinθeosɑ+cosθsi∏a=sinθcosβ+cosəsinβ

Sinθ(cosa-cosβ)=cosθ(sinβ-sina)

sin/7-sina

.,.tanθ=------------------

COSa-Cos，

37.

<∙-2√?.

<ι>rt∣d*w<(々∙flu=2√?.又A'

7"T'

a*-c,-4所以扁鼻6的方/力［+1-1.

〈2)应口畿，的方程为y-，+»..由

y≡χ÷ιwt

x,ytl⅛4τ,÷6mτ÷3m,-12=0(1)iS

［124l∙

A.B的金标分别为《八.6"上,.““—〈，,).

AH中鼎为浮.

Z4

yβ-x.÷m-：WAAB是等Ii三南形△尸AB

的底边.所以PE_LA8.所以PE的斜率A=

m

29~T

--------⅛-≡≡-lWWm-2.此时方程(1)为4/

-3÷⅞

+12J∙得r∣≡-3∙Λ,I―0所以“≡-l∙,y∣

一2,所以IAB：3√2.此时点P(一3.2)到直线

AB,*-,+2-0的物寓</■!二］蓝十2」—

ʃ.0rUΔPABMHms-ɪAB-rf-ɪ.

∣α.+2d——6

38.(1)设等差数列｛a｝的公差为d因为％=-6,a==0,所以[八.；，一解得a∣=-10,d=2所以an=-10+(n-l)x2=2n-

n3jlI

12.

⑵设等比数列伽｝的公比为q.因为％=2严2+23=-24,b]=-8,所以-8q=-24,q=3.所以数列｛b∕的前n项和公式为

snɪbɪ(1-qn)∕l-q=4(1-3n)

39.

(“©!1・・・--J-)C∙√><O.O)

Ra线21

4∙S∣9-3v∙V5∙M所4的僮■为《S∙

Ih

(2)曲(M±<W町材ΔΛ<>n为等Bld禽三防

V.HMiaABIMA⅜y<M×√T-

*•・淌⅛k鲁”…孚

40.

(1)依题意得：

圆C的圆心坐标为C(Lo)

半径1=√32-l=2√2

.∙.圆C泊勺方程为：

22

(X-I)+V=8

在椭圆D中，焦点在X轴上，

〃=4,c=3

2222

∙.a=y]h+c=√4+3=Λ∕25=5

，椭圆。的方程为：

X2V2

—÷-=1

2516

(2)由⑴可知椭圆的方程为：⅛+=l

则铲=16—空

25

在椭圆。上任取一点P(工V)

则圆C的圆心r(L0)到〃点的距离为

il=y∣(χ-∖)2+J2=I16-

.∙.圆C的圆心与椭圆D上任意一点的距离大于圆C的半径。

41.

<1)由・厦々

1m-S,6,-4ItElCUZrH>⅛+⅞-l.

04

《2》世直埃3,U+EA≠0>(Λ≠0),Λ<Λ..

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I∙y-lt⅜(24,I1)JΓ,IU6JTI2⅛j-8-O

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故…—------Hyit,一・

πΛ-r千是AfI(IM的斜--"-ɪ.

:所以0线(加的斜率与直MU

侑物率的♦出力小侦.

42.

(1)令/(1)=3工'-6工一9>0,解不等

式御ɪ<—1或J∙>3・令fix)≡3Λ∙,一6工一9

V0