2023年高考数学一轮复习讲义：第十二章系列4选讲

第十二章系列4选讲

§12.1坐标系

【考试要求】L了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情

况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角

坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.伸缩变换

[x'~λ∙Xf%>0,

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ-.,C的作用下，点

Iy=〃少，〃>0

P(x,y)对应到点P'(x',y'),称夕为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点0,自点。引一条射线Ox,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常

取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点。称为极点，射线

Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度P和从射线Ox到射线OM的

角度6来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对S，。)称为点M的极坐标."称为点M

的极径,6称为点M的圾鱼」一般认为当极角6的取值范围是[0,2昉时，平面上的点(除

去极点)就与极坐标S，O)S=。)建立对应的关系.特别地，极点。的坐标为(0,6∙)((9∈R).

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内任意一点，它的直角坐标为(x,y),极坐标为S，θ).由图可知下面关系式成

立：

ρ2=x2÷y2,

x=pcosθ,

J=PSin。或y这就是极坐标与直角坐标的互化公式.

tan9=2(x≠0),

3.常见曲线的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆O=Ho</2π)

0=2rcosθ

圆心为(r,0),半径为『的圆(生词

^⅛!r

圆心为(，，野，半径为r的圆

0=2rsinO(OW0<π)

OX

过极点，倾斜角为α的直线θ=a(f)∈R)或θ=π+a(p∈R)

I

过点Q0),与极轴垂直的直线pcose=<-2<〃<51

。∣(α,0)X

IS阴

过点(。，宫，与极轴平行的直线I

IOsine="(0v依沅)

Ot------------X

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若点P的直角坐标为(1,-√3),则点P的一个极坐标是(2,—2.(√)

(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.(√)

(3)极坐标方程e=πS>O)表示的曲线是一条直线.(X)

TT

(4)tan9=1与。=W表示同一条曲线.(×)

【教材改编题］

1.在极坐标系中，圆p=-2sin8的圆心的极坐标是()

C.(1,0)D.(1,π)

答案B

解析方法一由〃=-2sin8,

得p2=-2〃Sin0,

化成直角坐标方程为x2+∕=-2γ,

化成标准方程为f+U+l)2=l,

圆心坐标为(0,-1),

其对应的极坐标为(1,-f).

方法二由"=-2Sino=2cos(θ+?,知圆心的极坐标为(1,一；),故选B.

2.在极坐标系中，已知点'2,1),则过点P且平行于极轴的直线方程是()

A.psinθ=∖B.PSine=小

C."cos。=1D.PCGSe=小

答案A

解析先将极坐标化成直角坐标表示，P(2,袁)转化为直角坐标为x="cos9=2cos季=小，y

=PSine=2sin5=1,EP(√3,1),过点(小，1)且平行于无轴的直线为y=1,再化为极坐标为

,SinΘ=1.

3.在极坐标系中，直线〃COSe+〃sin。=4(〃>0)与圆p=2cos。相切，则。=.

答案∣+√2

"COSθ=x,

解析由VPSinθ=y,可将直线PCOS夕+psinθ=a化为x+y-a=0,

.P2=X2+/

将p=2cosθ,

即p2=2pcosθ化为Λ2+)2=2X,

整理成标准方程为1)2+)2=I.

又・・,直线与圆相切，

,二圆心(1,0)到直线1+y—〃=0的距离d==1,

解得a=l±∖∣29

Vtz>O,Λiz=l÷√2.

■探究核心题型

题型一极坐标与直角坐标的互化

例1(1)极坐标方程/cose—P=O转化成直角坐标方程为()

A.x2+y2=0或),=1B.x=l

C.x2+γ2=0或X=ID.y=I

答案C

解析∕⅛os0-ρ=0np=y∣x2+y2=0或PCoS或=1,即JC2+)2=0或X=L

(2)点M的直角坐标是(一1,小)，则点M的极坐标为()

A(2,§B.(2,一§

C(2,引D(2,2E+纵∈Z)

答案C

解析,∙>=√(-l)2+(√3)2=2,

tan6=当=一√i

又点M在第二象限，二。=专，

点M的极坐标为(2,芝).

【教师备选】

在直角坐标系xθy中，以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1:

l

Psin(呜)=乎，。2：r=3-4sin2^

⑴求曲线C∣,C2的直角坐标方程；

(2)曲线C∣,Cz的交点为M,N,求以MN为直径的圆与)，轴的交点坐标.

解(1)由PSinb+?=乎，得

P(SinGcos今+cosOSin点)=坐，

fρsinθ=y,

将八.代入上式得x+y=l,

Ipcosθ=x

即C∣的直角坐标方程为x+)LI=0,

同理，由/=+而，可得3f—V=I,

.∙.C2的直角坐标方程为3『一V=].

(2)设Ma],y↑)9Na2,”)，

[3Λ2-γ2=l,

由Jll得3/—(1—x)2=l,

[x+y=1

即x2+χ-I=0,

X]+M=-1,

X\X2=—1,

则MN的中点坐标为(一/ŋ,

由弦长公式，可得IMM=√l+(-l)⅛-X2∣=√2×√l-4×(-I)=√10.

以MN为直径的圆为1+,2+Q—=Q里>=,.

令X=0,得;+()Ll)2=最

即O《，

.∙.y=0或y=3,

以MN为直径的圆与y轴的交点坐标为

(0,0)或(0,3).

思维升华(1)直南坐标方程化为极坐标方程时，将X=PCOSo及)，=PSin。直接代入并化简即

可.

(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如PCoSapsinθ,小的形式，再进

行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以如及方程两边同时平方是常用的变形方法.但对

方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检脸.

跟踪训练1已知曲线G的方程为(χ-l)2+y2=l,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点

且斜率大于0的直线.

(1)以直角坐标系原点。为极点，X轴正方向为极轴建立极坐标系，求Cl与C2的极坐标方程；

⑵若G与G的一个公共点为&异于点。)，C2与C3的一个公共点为B,当IOAl+两=4历

时，求C3的直角坐标方程.

解(1)曲线G的方程为(χ-l)2+)2=ι,

整理得『+)2—2x=0,转换为极坐标方程为p=2cos6.

曲线C2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为PCOSe+psin8—3=0.

(2)因为曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线，

则极坐标方程为e=α(θ<α<g),

由于Cl与C3的一个公共点为4异于点O),

ρ=2cosθ,

故<所以QAl=2cosα,

9=a,

C2与C3的一个公共点为B,

IPCOSθ+psinθ=3,

所以召

[θ=a9

3

所以IOB∖-1..

cos«+sina

3__

由于I。41+[0]=*\/T5>

所以2cosa÷cosa÷sina=Λ∕Tθ,

即3cosa+sina=y[∖∂9

ɪeos^ɪsinɑ=!,

故曲线C3的直角坐标方程为y=∣x.

题型二求曲线的极坐标方程

例2(2022.梧州模拟)在极坐标系中，已知三点A(2,0),B(2,y),C小，刑

(1)若A,B,C三点共线，求P的值；

(2)求过O,A,8三点的圆的极坐标方程.(。为极点)

解以极点为坐标原点，以极轴为X轴正半轴，建立平面直角坐标系X0)，，

⑴因为A,8两点的极坐标分别为4(2,0),B[2,y),所以其直角坐标分别为A(2,0),8(0,

-2),

即直线AB的方程为y=x-2,

因为C点的极坐标为2，

所以其直角坐标为瞎“ɪə,

代入直线AB的方程，

可得%=多一2,

解得〃=2(√5+l).

(2)因为OALOB,

所以AB的中点(1,一1)即为圆心,

半径r=√l2+(-1)2=√2,

所以圆的标准方程为(X-I)2+(y+l)2=2,

即/+j2-2Λ+2y=0,

因为x2+y2="2,X=PCOSay="sin仇

所以圆的极坐标方程为/—2。COS0+2psinθ=0,

即p=2cos0—2Sinθ.

【教师备选】

已知曲线Cl的直角坐标方程为f+y2-8χ-10y+16=0,以坐标原点为极点，X轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sinθ.

(1)把C1的直角坐标方程化为极坐标方程；

⑵求C1与C2交点的极坐标S20,0<*2π).

X=OCOSθ,

解⑴将

j=psιnθ

代入x2+y2-8χ-10γ+16=0,

得律一8PCoSθ~IOpsin。+16=0,

所以G的极坐标方程为"一8PCoSIOpsin6»+16=0.

⑵C2的直角坐标方程为f+V—2y=0.

∫X2+√-8X-IOy+16=0,

.x2+y2-2y=0,

IX=1,IX=0,

解得I或C

ly=ιly=2,

所以CI与C2交点的极坐标分别为(6，g,0,9

思维升华求曲线的极坐标方程的步骤

(1)将已知条件转化到直角坐标系中.

(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程.

⑶将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程.

跟踪训练2(2019・全国II)在极坐标系中，O为极点，点MS0，仇在曲线C：

p=4sinθ上，直线/过点4(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

⑴当仇=削寸，求PO及/的极坐标方程;

⑵当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

解(1)因为MS0,a)在C上，

当为=1时，PO=4sin5=2小.

Tr

由已知得I。Pl=IOAlCoS1=2.

设QS，®)为/上除P的任意一点，连接。Q,

在Rt△(?PQ中，PCOSb—鼻)=IoPl=2.

经检验，点P(2,号在曲线PCoSM-§=2上.

所以/的极坐标方程为0cos(6—§=2.

⑵设P(∕J,θ),在Rt△OAP中，IoPl=|。AlCoS6=4CoSθ,即p=4cosθ.

πTT

因为P在线段OM上，且APLOM,故。的取值范围是∣J,2-

所以P点轨迹的极坐标方程为

Γππ^

p=4cosθ,2-

题型三极坐标方程的应用

例3(2018・全国1)在直角坐标系xθy中，曲线Cl的方程为y=⅛W+2.以坐标原点为极点，X

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+20cos6-3=O.

(1)求C2的直角坐标方程；

⑵若G与C2有且仅有三个公共点，求Cl的方程.

解(1)由X=PCOSay=∕>sin。得C2的直角坐标方程为(x+1/+)2=4.

⑵由⑴知C2是圆心为4-1,0),半径为2的圆.

由题设知，Cl是过点8(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记)，轴右边的射线为A,y轴左边的

射线为Z2.

由于点B在圆C2的外面，故G与C2有且仅有三个公共点等价于∕∣与C2只有一个公共点且

/2与C2有两个公共点，或/2与C2只有一个公共点且Zl与C2有两个公共点.

当∕∣与C2只有一个公共点时，点A到∕∣所在直线的距离为2,

I—⅛+2∣4

所以/团=2,故k=一可或k=0.

y］lc+↑ɔ

经检验，当&=0时，/］与。2没有公共点；

4.

当％=一1时，/1与。2只有一个公共点，，2与。2有两个公共点.

当/2与。2只有一个公共点时，点A到/2所在直线的距离为2,

所以故A=O或Z=*

7%+ɪɔ

经检验，当Z=O时，/］与C2没有公共点；

4

当Z=W时，,2与。2没有公共点.

4

综上，所求G的方程为y=-∕∣+2.

【教师备选】

在直角坐标系Xo)，中，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐

标方程为PCOS0=4.

(I)M为曲线Cl上的动点，点P在线段OM上，且满足IOM∙QP∣=16,求点P的轨迹C2的直

角坐标方程；

⑵设点A的极坐标为(2,号，点B在曲线C2上，求aOAB面积的最大值.

解(1)设点P的极坐标为S，θ)(p>O),

点M的极坐标为Si,θ)(pi>O).

4

由题意知∣0P∣=",IoM="ι=cos)

由∣0M∣∙∣0P∣=16,得C2的极坐标方程为p=4cos8(p>0).

因此C2的直角坐标方程为

(X—2)2+y2=4(x≠0).

(2)设点5的极坐标为(p6,a)(pβ>O).

由题设知∣0A∣=2,pβ=4cosa,

于是AOAB的面积5=⅛0Λ∣∙pβ∙sinZA0B

=4cosajsin(α^-|

—2卜in(2a-§-坐卜2+9.

当°1=一盍时，S取得最大值2+小，

所以AOAB面积的最大值为2+√I

思维升华极坐标方程及其应用的解题策略

(1)求点到直线的距离.先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐

标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解.

(2)求线段的长度.先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐

标、曲线方程，然后再求线段的长度.

[x=9+y∣3t

跟踪训练3在直角坐标系Xoy中，直线/的参数方程为<f。为参数).以坐标原

点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2=1+；：丁汨

(1)求C和/的直角坐标方程；

(2)已知P为曲线C上的一个动点，求线段OP的中点M到直线/的最大距离.

解(1)由P?=[+3sin?夕得p2+3p2sin?。=16,

则曲线。的直角坐标方程为f+4),2=16,

g⅛+4=1∙

直线I的直角坐标方程为χ-√3>-9=0.

[JV=4COSQ,

(2)可知曲线C的参数方程为°.仅为参数),

ly=2sma

设P(4cosα,2sina),cc∈[0,2π),

则M(2cosa9sinα)到直线/：

χ一√5y—9=0的距离为

∣2COSc—[5sina-9||巾sin(J-a)-9∣

d=2=2

<9+2/2

、2'

所以线段OP的中点M到直线/的最大距离为号N

课时精练

1.在直角坐标系XOy中，以。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标

方程为夕8$。一习=1(0・兴2兀)，M,N分别为曲线C与X轴、)，轴的交点.

(1)写出C的直角坐标方程，并求历，N的极坐标；

(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.

解(1)由∕xx>s(e-4=∣得

从而曲线C的直角坐标方程为坐y=1,

即x+yβy-2.

当J=O时,p=2,所以M(2,0).

当9=5时，0=43，

所以M呼，习.

(2)加点的直角坐标为(2,0),

N点的直角坐标为(0,韦.

所以P点的直角坐标为(1,用，

则尸点的极坐标为铮，"，

所以直线OP的极坐标方程为。弋S∈R).

2.在直角坐标系XOy中，以原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的

圆心的极坐标为(√∑半径r=√∑点P的极坐标为(2,π),过P作直线/交圆C于A,

B两点.

(1)求圆C的直角坐标方程；

⑵求解∣∙∣PB∣的值.

解(1)；圆C的圆心的极坐标为(啦，；)，

.".y-y∕2sin1,X=也CoS^=1,

即圆心的直角坐标为(1,1),

...圆C的直角坐标方程为

(χ-l)2+(y-l)2=2.

(2)点尸的极坐标为(2,π),

化为直角坐标为P(-2,0).

当直线/与圆C相切于点D时，

则IP。|2=IPcI2一户

=(-2-l)2+(0-l)2-(√2)2-8,

由切割线定理得照∣∙∣P8∣=∣PD∣2=8.

3.(2022・洛阳模拟)在平面直角坐标系XO)，中，曲线Cl的方程为(x—2)2+。-2)2=1,直线

C2的方程为y=√5x.以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

⑴求曲线Ci和直线C2的极坐标方程；

⑵若直线C2与曲线Cl交于A,8两点，求血+苏.

解(1)曲线Cl的方程为(尤一2)2+。-2)2=1,

整理得』+y2—4x—4y+7=0,

转换为极坐标方程为p2-4pcos夕一4PSin0+7=0.

由于直线C2过原点，且倾斜角为去

故其极坐标方程为^=∣(p∈R).

—-4PCOS4psin8+7=0,

⑵由Lπ

得"2—(2小+2%+7=0,

设A,8对应的极径分别为p∣,p2,

则"1+P2=2Λ∕5+2,pιp2=1,

.1,ɪJOA∖+∖OB∖

"'∖OA∖t∖OB∖~∖OA∖∖OB∖

p∣÷Z>22Λ∕3+2

―PlP2—7,

4.(2019・全国In)如图，在极坐标系OX中，A(2,0),B(√L：),c(√2,朗，D(2,π),弧AB,

BC,CO所在圆的圆心分别是(1,0),(1,D，(1,π),曲线Ml是弧AB,曲线必是弧BC,

曲线诚是弧C。.

(1)分别写出M∣,M2,例3的极坐标方程；

(2)曲线M由M∣,Mi,Mi构成，若点尸在M上，且IoPl=小，求P的极坐标.

解(1)由题设可得，AB,BC,C。所在圆的极坐标方程分别为0=2CoS&p=2sin仇0

=—2cosθ,

所以Ml的极坐标方程为夕=2COS40WoWB),M2的极坐标方程为p=2Sin册WGW苧)，

M⅞的极坐标方程为P=-2COS。序≤6≤π).

(2)设PS，。)，由题设及(1)知

若0≤e<,则2COS6=√5,解得9=和

若TWeW竽，贝∣j2sinθ=y5,解得O=T或6=尊

若竽W6Wτt,则一2COSo=小，解得0=∙.

综上，P的极坐标为(小，目或(小，»或(小，引或(小，引.

5.(2022•鹰潭模拟)在平面直角坐标系xθy中，曲线Ci的方程为。+小产+。+1尸=4.以。

为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2,C3的极坐标方程分别为p=2sin0,p

=2CoS(O+5).

(1)若曲线C2,C3相交于异于极点的点。，求点。的直角坐标；

(2)若直线/：9=αSGR)与G，C2相交于异于极点的A,B两点，求IABl的最大值.

解(1)由p=2sind,得/=ZygsinO,

将jx=ρcos6*,代入，可得C2的直角坐标方程为/+V=2y;

ly=psinθ

*=小COS9—sinθ,

得p2=y∣3ρcosθ-ρsin

222

(x+y=ρf

将卜=PcoS仇代入，

Iy=PSinΘ

可得C3的直角坐标方程为∙r2+y2=√lr—y.

(x1+y2=2y,

联立jχ2+y2=小X-∙y,

∖x~2'x=0,

解得<或C

ɪV=O,

所以点Q的直角坐标为

(2)由(x+小>+。+1)2=4,

可得W+j2+2√5x+2y=0,

χ2+y2=P2,

X=PCOS仇代入,

J=PSinΘ

可得G的极坐标方程为

p2+2√3pcos夕+2〃Sin夕=0,

贝IJ/)=—2√3cos9一2Sin0.

设ASA，。)，BSB,«)»

则PA=-2Λ∫3COS«—2sinα,〃B=2Sin«,

所以∣A6∣=∣p8-pd=∣4Sina+2∖∣3cosa∖

=2y∣7J宕Sinct+^cosa=2由∣sin(α+mI(Sin4=僚，COS

因为∣sin(α+为∣≤1,

所以∣A8∣=2由ISin(α+S)∣≤2√i

故H8∣的最大值为2√7.

§12.2参数方程

【考试要求】1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参

数方程.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方

程得到普通方程.

(2)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X,y都是某个变数t的函数

∖x=j[t),

并且对于，的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么

ly=g⑺，

此方程就叫做这条曲线的参数方程.

2.常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹普通方程参数方程

y-yo=tanα∙（χ-Xo）（α考）IX=XO+tcosa,

直线},.。为参数）

Iy=yo十fsma

jx=rcosθ,

圆f+y2=r2（。为参数）

y=rsιnθ

x=acosg

椭圆示+力=l（a>b>0）（φ为参数）

y=加Inφ

{x=2pt1,

抛物线=2PX（P>0）C。为参数）

ly=2pt

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)参数方程:中的X,y都是参数，的函数.(√)

[y=g(t)

[x=2cosθ,

⑵方程S为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.(√)

Iy=1÷ι2sinθ

fx=2cost,π

(3)已知椭圆的参数方程Q为参数)，点M在椭圆上，对应参数t=1点。为原

Q,=4sintɔ

点，则直线OM的斜率为√5.（X）

[x=2cosarπ^

（4）参数方程（。为参数且9∈0,5）表示的曲线为椭圆.（X）

lγ=5sinθL/」

【教材改编题1

x=2÷sin¾,

1.将参数方程[θ为参数）化为普通方程为（)

,>∙=sin26>

A.y-x~2

B.y—x+2

C.>∙=χ-2(2≤x≤3)

D.y=x+2(0WyWl)

答案C

解析代入法，将方程化为y=χ-2,但x∈[2,3],y∈[0,l].

IX=­1+cos优

2.曲线八（。为参数）的对称中心（）

[γ=2+ιsιnθ

A.在直线y=2x上

B.在直线y=-2x上

C.在直线y=χ-l上

D.在直线y=x+l上

答案B

∖x=—1÷cosθ,[cosθ=χ-∖-1,

解析由—好•〃得.〃—ɔ

Iy—2十SInΘISln夕一y一2.

所以（x+l）2+0—2）2=1.

曲线是以（一1,2）为圆心，1为半径的圆，

所以对称中心坐标为（-1,2）,在直线y=-2Λ上.

X=Zcosa,

3.已知直线/的参数方程是.Q为参数），若/与圆f+y—4χ+3=o交于A,B

y=tsιna

两点，⅛AB∣=√3）则直线/的斜率为.

答案士喏

fx=zcosα,

解析由.。为参数），

Iy=ZSlna

得y=Jrtana,

设Z=tanα,得直线的方程为y=fcx,

由f+y2-4x+3=0,得（L2）2+y2=3圆心坐标为（2。），半径为1,

.∙.圆心到直线y=fcc的距离为

■探究核心题型

题型一参数方程与普通方程的互化

例1(2021.全国乙卷)在直角坐标系Xoy中，OC的圆心为C(2,l),半径为L

(1)写出。C的一个参数方程；

(2)过点F(4,l)作。C的两条切线，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求

这两条切线的极坐标方程.

[x=2÷cosθ,

解(1)因为。C的圆心为(2,1),半径为1,所以。C的参数方程为(。为参数).

[γ=l+ιsιnθ

(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x=4,此时圆心到直线距离为2>r,舍去；

当直线斜率存在时，设切线为4)+1,即日一y-4k+l=0,

故'需+"=I,即网=户，

4⅛2=l+⅛2,解得k=Q革\

故直线方程为y=坐(x—4)+1或y=一坐(冗一4)+1.

故两条切线的极坐标方程为

psin0=ɜpeos0—1或

.A√34组31

PSln6——§PCOSσ÷ɜ÷I.

即PSin(6+知)=2—半或PSin(8+袭)=2+坐.

【教师备选】

卜=一小+乎f,

在平面直角坐标系Xoy中，直线/的参数方程为〈~Q为参数)，以0为极

y=√5+^Z

点，无轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P=

4cosθ.

(1)求曲线C的直角坐标方程及直线/的普通方程；

(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的全再将所得到的曲线向左平移1个单位长度,

得到曲线C1,求曲线G上的点到直线/的距离的最小值.

解(1)曲线C的直角坐标方程为Λ2+y=4x,

即(L2)2+γ2=4.

直线/的普通方程为Λ-y+2√5≈0.

(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的宏

得(2x—2)2+J2=4,

即(x—1尸+；=1,

再将所得曲线向左平移1个单位长度，

得曲线G：x2+'^=l,

X=COS仇

则曲线G的参数方程为C.八(。为参数).

y=2sιnθ

设曲线G上任一点P(CoS仇2sin9),

则点P到直线/的距离

ICOS夕一2Sin<9+2小|

d=√2

|2小一小sin(e+p)∣

=√2

其中3满足sin8=—乎，COS9=邛

由三角函数知，

当sin(e+s)=l时，d取最小值杏

所以点P到直线/的距离的最小值为手.

思维升华消去方程中的参数一般有三种方法

(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.

(2)利用三角恒等式消去参数.

(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数.

\x=a―21,

跟踪训练1已知直线I的参数方程为(Z为参数)，圆C的参数方程为

X=4COS6,

(6为参数).

j=4sinθ

(1)求直线/和圆C的普通方程；

(2)若直线/与圆C有公共点，求实数”的取值范围.

解(1)直线/的普通方程为2x—y—24=0,

圆C的普通方程为Λ2+y2=∣6.

(2)因为直线/与圆C有公共点，

故圆C的圆心到直线/的距离J=⅛1≤4,

巾

解得一2小W4W2√5.

即实数4的取值范围为[-2小，2√5].

题型二参数方程的应用

X=2CoS仇

例2在直角坐标系Xo)，中，曲线C的参数方程为(。为参数)，直线/的参数方

.y=4sιnθ

X=1÷∕cosa,

程为,(f为参数).

j=2+/sina

⑴求C和/的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率.

x=2cosQy

解(1)由曲线C的参数方程US为参数)'

八χ

cosθ=y

得1

sin夕=；,

所以⑨2+e>=ι,即?+s=ι,

所以曲线C的直角坐标方程为，+泉=1.

当cosa≠0时，I的直角坐标方程为y=tanα∙x÷2-tan«,

当COSa=O时，/的直角坐标方程为X=L

(2)将/的参数方程代入。的直角坐标方程，

整理得关于t的方程(1÷3cos2a)z2+4(2cosa÷sinα)L8=0.①

因为曲线C截直线/所得线段的中点(1,2)在。内，

所以①有两个解，设为人,攵，则h+∕2=0∙

4(2COSα+sinC)

又由①得t∖+t=

2I+3cos2a

故2cosα+sina=0,

于是直线/的斜率⅛=tan。=—2.

【教师备选】

_IX=啦CoSθ,

（2022・安阳模拟）在平面直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为<（6为参数）,

Iy=Sinθ

直线/过点M（l,0）且倾斜角为ɑ.

（1）求出直线/的参数方程和曲线C的普通方程；

（2）若直线/与曲线C交于A,B两点，且/嗅慨“=尊求COSa的值.

!IMAI—∣M∏∣∣3

fx=√2cos。，V2

解⑴曲线C的参数方程V（0为参数），转换为普通方程为⅞1+y2=l;

[γ=sinθ/

[x=l+rcosa,

直线/过点M（1,0）且倾斜角为。，则参数方程为Q为参数）.

[y=rsιna

x=l÷fcosa,2

（2）把直线/的参数方程.。为参数）代入与r+y2=l.

j=rsιna乙

得到（1+sin%）∕2+2∕COS«—1=0,

心”.2cosa

所以]+'2--[+sin%'

t∖tι=-1+i^in2α（ħ和t2分别为4和B对应的参数），

tιt2<O,则小f2异号,IlMAI—IMBII=I∣H-∣t2∣l=M+t2∣,

∖MA∖-∖MB∖^√3

tl∖∖MA∖~∖MB∖∖^~3'

整理得加+初=-ι⅛ζ=√3k∣⅛ι=ι+^n2ɑ.

解得CoSα=±'g.

思维升华（1）解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直

线与曲线的位置关系来解决.

x=xo+at,

（2）对于形如,（f为参数），当q2+∕wι时，应先化为标准形式后才能利用，的几

y=yo+bt

何意义解题.

跟踪训练2在平面直角坐标系XOy中，已知直线/的参数方程为1=2+/。为参数）.以

坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为"+p2sin20=2,

直线/与曲线C交于43两点.

（1）求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点P的极坐标为停，；)，求解产用的值.

解(1)/的普通方程为x+y-l=0.

^.'ρ2÷∕>2siιr0=2,

.∙.√+∕+y2=2,

即曲线C的直角坐标方程为，+γ2=L

(2)方法一P，在直线/上，

1

X_-

一2-

直线/的参数方程为1(r、

--

y2+-

代入曲线C的直角坐标方程得《一阴)2+2(∣+2f，卜2=0,

35

即2-=O

?+-4

设A,B两点对应的参数分别为f'2,则

∣M∣∙∣PB∣=|?,∣∙∣f2∣=∣J/2∣=∣∙

方法二由9fy+=2l-尸χ,2,

消去y,得3A2—4x=0,

4

解得Xl=O,X2=]∙

不妨设A(O,1),B停,一§,

又给,9,

则解∣=[(θ-£)2+(1-坐

题型三极坐标方程和参数方程的综合应用

例3(2021.全国甲卷)在直角坐标系xθy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线C的极坐标方程为p=2√5cos”

(I)WC的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点尸满足崩=也病，写出尸的轨迹Cl的

参数方程，并判断C与G是否有公共点.

解(1)I⅛p-2∖f2cosθ,得p2=2吸PeOs。,

即√+∕=2√2x,

整理得(χ-√i)2+y=2.

(2)设P的坐标为(x,y),

则Q=(X-1,y),因为力=也就,

所以俞=停X-乎，坐y),

所以—坐+1,坐J,

因为M为C上的动点，

所以净-坐+1—啦)+惇y>=2,

化简得(x+√5-3)2+y2=4,

2

即P点的轨迹C1的方程为(x+/-3)2+y=4,

化成参数方程为

fx=3÷2cost-y∣2,

ɔ.Q为参数)，

Iy=2smt

圆心G(3-√5,0),r∣=2,

C(y∣2,0),r=y∣2,

因为|3-也一小|<2—巾，所以C与Cl没有公共点.

【教师备选】

(2022.郑州模拟)在直角坐标系Xo)，中，以坐标原点为极点，以X轴正半轴为极轴，建立极坐

标系，直线/的极坐标方程为PCoS[+£)=乎，曲线C的极坐标方程为p2(l+3sin2®)=4.

(1)写出直线/和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点A(l,0),若直线/与曲线C交于P,Q两点，PQ的中点为M,求依;震」的值.

解(1)因为直线/：0CoSM+?=乎，

故PCOSθ~psinθ-1=0,

即直线/的直角坐标方程为x-y—1=0,

因为曲线C：p2(l+3sin¾)=4,

则曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4,

即2=1.

⑵点A（1,O）在直线/上,

设直线/的参数方程为1L”为参数）,

代入曲线C的直角坐标方程得

5户+25-6=0.

设P,。对应的参数分别为fl,打,

6,2由

则πιl用2=一5，∕∣+⅛=--5,

思维升华参数方程和极坐标的综合应用

涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程

后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

跟踪训练3（2022・石嘴山模拟）在平面直角坐标系XOy中，曲线C1的参数方程为

JX=I÷cosα>

Ij=sina

（a为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线Cl上的动

点，点B在线段OA的延长线上且满足IOAM。用=8,点B的轨迹为C2.

⑴求曲线G,C2的极坐标方程；

（2）设点M的极坐标为（2,y）,求44面积的最小值.

{x=1÷cosa,

解（1）由曲线Cl的参数方程.（a为参数），

Iy=Sma

消去参数，可得普通方程为（X—1）2+V=1,即χ2+y2-2χ=o,

又由X=PCOSθ,.y=psinθ,

代入可得曲线G的极坐标方程为p=2cos0,

设点8的极坐标为S，。），点4点的极坐标为S0，W），

则∣OB∣=ρ,∣OA∣=po,po=2cos%,J=%,

因为IoAHoBl=8,

所以p∙po=8,

Q

≡P-=2cosθ,≡P/cos6=4,

所以曲线C2的极坐标方程为0cos6=4.

(2)由题意，可得IoM=2,

则SΔΛBM=SAOBM—SΔOAM=^OM∖∙∣Xβ-%AI=∣×2×∣4-2COS20∣=∣4-2COS20∣,

即SAABM=4—2CoS2仇

当COS2。=1时，可得S的最小值为2.

课时精练

ɪ2_t_^2

1.(2020•全国ΠI)在直角坐标系XOy中，曲线C的参数方程为一,；«为参数且样1),

y=2~3t+t^

C与坐标轴交于A,B两点.

⑴求∣AB∣；

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

解(1)令X=0,则z2+r-2=0,

解得t——2或f=1(舍去)，

则y=2+6+4=12,即A(0,12).

令y=0,则户―3f+2=0,

解得t=2或f=1(舍去)，

则％=2—2—4=-4,

即B(—4,0).

Λ∣AB∣=√(0+4)2+(12-0)2=4√Iδ.

i12-0

(2)由l(1)可知CB=Or_町=3'

则直线AB的方程为y=3(x+4),

即3x—y+12=0