《古典概型》教案、导学案、课后作业

《10.1.3古典概型》教案【教材分析】古典概型是继事件的关系与运算的后续部分,本节课主要讲解了古典概型的特征及如何求古典概型的概率.本节内容在教材上起到承上启下的作用，即使对前面内容的进一步应用，又为后续概率的性质做好铺垫.【教学目标与核心素养】课程目标1．理解古典概型的特征和计算公式，会判断古典概型．2．会求古典概型中事件的概率．数学学科素养1.数学抽象：古典概型的概念．2.逻辑推理：古典概型的判断.3.数学运算：求古典概型.4.数学建模：通过实际问题抽象出数学模型.【教学重点和难点】重点：理解古典概型的特征和计算公式．难点：求古典概型中事件的概率.【教学过程】一、情景导入在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验．它们的共同特征有哪些？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本233-238页，思考并完成以下问题1、古典概型的特征是？2、古典概型概率公式？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示．2.古典概型（1）古典概型考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，简称古典概型．（2）概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．四、典例分析、举一反三题型一简单古典概型的计算例1抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；B=“两个点数相等”；C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.【答案】（1），是古典概型（2）;;【解析】（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与II号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示I号骰子出现的点数是m，数字n表示II号骰子出现的点数是n，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.（2）因为，所以，从而；因为，所以，从而；因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}，所以，从而；解题技巧（求古典概型的一般步骤）(1) 明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）；(2) 根据实际问题情景判断样本点的等可能性；(3) 计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率.跟踪训练一1.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【答案】(1)见解析．(2)eq\f(2,5).【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的样本空间为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的样本空间为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).题型二较复杂的古典概型的计算例2从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人.分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.【答案】（1）详见解析（2）;;【解析】设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.（1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间，，，不放回简单随机抽样的样本空间，，，按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间（2）设事件A=“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，，因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此.对于不放回简单随机抽样，，因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以，因此.解题技巧(“有放回”与“无放回”的区别)“有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1.这两种情况下基本事件总数是不同的．跟踪训练二1．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)【答案】C．【解析】从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种，故概率为eq\f(2,3)，选C.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计10.10.1.3古典概型1.概率例1例22.古典概型特征公式七、作业课本238页练习，243页习题10.1的6、7、8题.【教学反思】由于概率的抽象性，所以求古典概型概率主要写出事件所有的样本空间，既满足某特定条件的所有样本空间，然后套公式即可，需注意的是写样本空间时需保证不重不落.《10.1.3古典概型》导学案【学习目标】知识目标1．理解古典概型的特征和计算公式，会判断古典概型．2．会求古典概型中事件的概率．核心素养1.数学抽象：古典概型的概念．2.逻辑推理：古典概型的判断.3.数学运算：求古典概型.4.数学建模：通过实际问题抽象出数学模型.【学习重点】：理解古典概型的特征和计算公式．【学习难点】：求古典概型中事件的概率.【学习过程】一、预习导入阅读课本233-238页，填写。1.概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示．2.古典概型（1）古典概型考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：①有限性：样本空间的样本点只有______个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，简称古典概型．（2）概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．小试牛刀1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是()A．3B．4C．5D．62．下列试验中是古典概型的是()A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环3．若书架上放有数学，物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,2)4．在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期．从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是________．【自主探究】题型一简单古典概型的计算例1抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；B=“两个点数相等”；C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.跟踪训练一1.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．题型二较复杂的古典概型的计算例2从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人.分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.跟踪训练二1．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)【达标检测】1．抛掷一枚骰子，出现偶数的基本事件个数为()A．1B．2C．3D．42．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆内的概率为（）A． B． C． D．3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A． B．C． D．4．从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率=．5．某小组共有五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(Ⅰ)从该小组身高低于的同学中任选人，求选到的人身高都在以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选人，求选到的人的身高都在以上且体重指标都在中的概率.答案小试牛刀1.D2．B.3．B.4.eq\f(1,10)自主探究例1【答案】（1），是古典概型（2）;;【解析】（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与II号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示I号骰子出现的点数是m，数字n表示II号骰子出现的点数是n，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.（2）因为，所以，从而；因为，所以，从而；因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}，所以，从而；跟踪训练一1.【答案】(1)见解析．(2)eq\f(2,5).【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的样本点为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的样本点为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).例2【答案】（1）详见解析（2）;;【解析】设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.（1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间，，，不放回简单随机抽样的样本空间，，，按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间（2）设事件A=“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，，因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此.对于不放回简单随机抽样，，因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以，因此.跟踪训练二1．【答案】C．【解析】从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种，故概率为eq\f(2,3)，选C.当堂检测 1-3.CDB4.15.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，其一切可能的结果的样本点有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．选到的2人身高都在1．78以下的样本空间有：（A，B），（A，C），（B，C），共3个，因此选到的2人身高都在1．78以下的概率为；从该小组同学中任选2人其一切可能的结果的样本点：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的样本点有：（C，D），（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的概率为．《10.1.3古典概型》课后作业基础巩固1．从集合的所有子集中，任取一个，这个集合恰是集合子集的概率是（）A． B． C． D．2．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．13．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A． B． C． D．4．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．5．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为.现从中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A． B． C． D．6．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是___.7．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．8．某工厂的,,三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测:车间数量50150100(1)求这6件样品中来自,,各车间产品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件产品来自相同车间的概率.能力提升9．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A． B． C． D．10．现有7名数理化成绩优秀者，分别用，，，，，，表示，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则和不全被选中的概率为____________.11．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A1，但不包括B1的概率．素养达成12.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．《10.1.3古典概型》课后作业答案解析基础巩固1．从集合的所有子集中，任取一个，这个集合恰是集合子集的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合的子集个数为，集合的子集个数为，因此，所求概率为，故选：C。2．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【答案】B【解析】件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．4．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；5．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为.现从中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为.从中任取两个数字的所有样本点有，，，共种，而其中数字之和为的样本点有，共种，所以所求概率.故选.6．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是___.【答案】【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．7．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．【答案】【解析】据题意，所有可能的客车通过顺序的样本点为（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、下、上），（下，中，上），（下，上，中），共6种；其中该人可以乘上上等车的样本点有（中、上、下），（中、下、上），（下，上，中），共3种；则其概率为；故答案为8．某工厂的,,三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测:车间数量50150100(1)求这6件样品中来自,,各车间产品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件产品来自相同车间的概率.【答案】(1)1,2,3;(2).【解析】(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,所以车间产品被选取的件数为,车间产品被选取的件数为,车间产品被选取的件数为.(2)设6件自､､三个车间的样品分别为:;,,;,.则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有样本点为:,,,,,,,,,,,,,,,共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.记事件:“抽取的这2件产品来自相同车间”,则事件包含的样本点有:,,,,共4个所以.所以这2件商品来自相同车间的概率为.能力提升9．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐