新版高中数学北师大版必修1习题第三章指数函数和对数函数3.5.3

5.3对数函数的图像和性质课时过关·能力提升1若log3a<0,13b>1,则(A.a>1,b>0 B.0<a<1,b>0C.a>1,b<0 D.0<a<1,b<0解析:由函数y=log3x,y=13x的图像知,0<a<1,b<答案:D2已知a=log23+log23,b=log29log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是()A.a=b<c B.a=b>cC.a<b<c D.a>b>c解析:a=log23+log23=log233,b=log29log23=log233,因此a=b,而log233>log22=1,log32<log33=1,所以a=b>c,故选B.答案:B3已知a>0,a≠1,若函数f(x)=ax是定义域为R的增函数,则函数f(x)=loga(x+1)的图像大致是()解析:由f(x)=ax=1ax是R上的增函数,可知1a>1,故0故f(x)=loga(x+1)的图像可看作由对数函数f(x)=logax(0<a<1)的图像向左平移一个单位长度得到.故选D.答案:D4已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<A.(0,1) B.0C.17,1解析:∵由题意知f(x)=logax(x≥1)在定义域上是减少的,∴0<a<1且f(1)=0.又由题意知f(x)=(3a1)x+4a(x<1)在定义域上是减少的,∴3a1<0.∴a<13又f(x)=(3a-1)x+4a,∴(3a1)×1+4a≥0.∴a≥17∴a∈17答案:C5已知y=loga(2ax)在[0,1]上是关于x的减函数,则a的取值范围是()A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2) D.[2,+∞)解析:令u=2ax,∵a>0,且a≠1,∴u=2ax在[0,1]上是关于x的减函数.又y=loga(2ax)在[0,1]上是关于x的减函数,∴函数y=logau是关于u的增函数,且对x∈[0,1]时,u=2ax恒为正数.∴a>1,且x∈[0,1]时,umin=2a>0.∴1<a<2.答案:B6若函数f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a等于()A.13 B.2C.22 D.解析:因为函数f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],所以0≤x≤1,1≤x+1≤2.①当a>1时,0=loga1≤loga(x+1)≤loga2=1,所以a=2;②当0<a<1时,loga2≤loga(x+1)≤loga1=0,与值域是[0,1]矛盾.综上所述,a=2.答案:D7函数y=log3(3x+1)的值域为.

解析:因为3x+1>0对任意x∈R都成立,所以y=log3(3x+1)的定义域为R,令u=3x+1,则u∈(1,+∞).又y=log3u在(1,+∞)上为增函数,所以y∈(0,+∞).答案:(0,+∞)8函数y=log3(x22x)的递减区间是.

解析:令u=x22x(x>2或x<0),则y=log3u,且y=log3u是增函数,u=x22x(x>2或x<0)的递减区间是(∞,0),故y=log3(x22x)的递减区间是(∞,0).答案:(∞,0)9已知a>0,a≠1,指数函数y=1ax,当x∈(0,+∞)时,有y>1,解关于x的不等式loga(x1)≤loga(x2+x6)解:∵y=1ax在x∈(0,+∞)时,有∴1a>1,故0<a<1于是由loga(x1)≤loga(x2+x6),得x解得2<x≤5,故原不等式的解集为{x|2<x≤5}.10已知实数x满足4x10·2x+16≤0,求函数y=(log3x)2log3x+2的值域.解:不等式4x10·2x+16≤0可化为(2x)210·2x+16≤0,即(2x2)(2x8)≤0.从而有2≤2x≤8,即1≤x≤3.所以0≤log3x≤1.因为函数y=(log3x)2log3x+2可化为y=(log3x)212log3x+2=log3x11已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1+kx),其中a>0且a≠1.(1)当k=2时,求函数h(x)=f(x)+g(x)的定义域;(2)若函数H(x)=f(x)g(x)是奇函数(不为常函数),求实数k的值.解:(1)当k=2时,g(x)=loga(12x),则由题意知1+解得1<x<12所以当k=2时,函数h(x)=f(x)+g(x)的定义域为-1(2)H(x)=f(x)g(x)=loga(1+x)loga(1+kx),其中a>0且a≠1.因为H(x)为奇函数,所以H(x)+H(x)=0,即loga(1+x)loga(1+kx)+loga(1x)loga(1kx)=0,即loga(1x2)=loga(1k2x2),所以1x2=1k2x2,所以k=±1