第5.3.2讲函数的极值（第1课时）-新高一数学宝典（人教A版2019选修第二册）

第四章导数及其应用第5.3.2讲函数的极值（第1课时）班级_______姓名_______组号_______了解函数的极值、极值点的概念．2.借助函数的图象，理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．3.会利用导数求函数的极值．1、求函数的极值(点)2、含参数的函数的极值3、由极值求参数的值或取值范围知识点一函数的极值点与极值1．极小值点与极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，eq\o(□,\s\up2(1))f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧eq\o(□,\s\up2(2))f′(x)<0，右侧eq\o(□,\s\up2(3))f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧eq\o(□,\s\up2(4))f′(x)>0，右侧eq\o(□,\s\up2(5))f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点和极大值点统称为eq\o(□,\s\up2(6))极值点，极大值和极小值统称为eq\o(□,\s\up2(7))极值．eq\a\vs4\al()(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的．(2)若f(x)在某区间内有极值，则f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(3)函数的极值可以不止一个，函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．知识点二求函数y＝f(x)的极值方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是eq\o(□,\s\up2(8))极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是eq\o(□,\s\up2(9))极小值．题型1、求函数的极值(点)1．已知函数，则的极小值为（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】B【分析】利用导数求极值.【详解】函数的定义域为.导函数.令，解得：.列表得：10+单减极小值1单增所以的极小值为1.故选：B2．函数的极大值为（

）A．2 B．2 C． D．不存在【答案】A【分析】求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义得答案.【详解】＝1－＝．令得或（舍）．由于，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.故函数在处取得极大值．故选：A3．已知函数，则（

）A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值C．函数的极大值点为，无极小值点 D．函数的极小值点为，无极大值点【答案】A【分析】利用导数判断出正确答案.【详解】的定义域为，，所以在区间递增；在区间递减.所以是的极大值，无极小值.极大值点为，无极小值点.故选：A4．函数的极大值点为（

）A． B．C． D．不存在【答案】B【分析】求导，令导数等于0，然后判断导数符号可得，或者根据对勾函数图象可解.【详解】令，得，因为时，，时，，所以时有极大值；当时，，时，，所以时有极小值.故选：B5．函数在上的极大值点为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的极大值点.【详解】函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得极大值的的值为.故选：C.题型2、含参数的函数的极值6．若函数在处取得极值1，则（

）A．4 B．3 C．2 D．2【答案】D【分析】通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值.【详解】由题意，，在中，，在处取得极值1，∴，解得：，经经验满足题意，∴，故选：D.7．已知函数在处有极值2，则的极小值点为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得，从而可求得，所以，，令求出极值点，再判断出极小值点即可【详解】解：由，得，因为函数在处有极值2，所以，即，解得，所以，则，由，得，解得或，因为当或时，，当时，，所以的极小值点为，故选：B8．已知函数，且满足，则（

）A．函数在处有极大值B．函数在区间上是减函数C．函数有两个极值点D．函数在区间上是增函数【答案】D【分析】先由求出，然后利用导数求出函数的单调区间和极值，再分析判断即可【详解】的定义域为，由，得，因为，所以，得，所以，，由，得或，由，得或，所以在和上递增，在和上递减，所以在时取得极大值，在时取得极小值，所以AB错误，令，则（），当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，无极值点，所以C错误，D正确，故选：D9．已知函数的图象与轴相切于点，则的（

）A．极小值0，极大值 B．极小值，极大值0C．极小值0，极大值 D．极小值，极大值0【答案】C【分析】求得，由题意列出方程组求得解得的值，得到且，结合导数求得函数的单调性，进而求得函数的极值.【详解】由函数，可得，因为函数的图形与轴相切与点，可得，解得，即且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当，函数取得极大值，极大值为，当，函数取得极小值，极小值为.故选：C.10．已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（

）A． B． C．b D．4【答案】D【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解，再求函数的极小值.【详解】，，，所以，解得：，，所以，得，时，，，，所以是函数的极小值点，.故选：D题型3、由极值求参数的值或取值范围11．若函数与函数有相等的极小值，则实数（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由对勾函数可知：的极小值，对求导，利用导数判断的单调性和极值，运算求解即可.【详解】由对勾函数可知：在时取到极小值，对于，则有：当时，在定义域内单调递减，无极值，不合题意；当时，，令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，解得.故选：B.12．已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，由求解即得.【详解】由，得，∵在，上为增函数；上为减函数,∴两根分别位于和中，得，即，解得.故选：B13．已知函数的极小值为，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】先求导数，利用极小值可求答案.【详解】因为，所以；当时，，为减函数，没有极值.当时，由得；时，，为增函数；时，，为减函数；时，，为增函数；所以当时，有极小值，，解得.故选：C.14．若函数在内有极大值，在内有极小值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可得，从而可求出实数的取值范围.【详解】由，得，因为在内有极大值，在内有极小值，所以，解得．故选：C．15．已知函数在处取得极值0，则（

）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据极值点的意义，列式求解.【详解】，有，得，所以.故选：B一、单选题1．函数的极小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据函数求极小值的过程求解：先求的解，再判断在两侧的单调性，确定极值.【详解】因为，所以.令得，当时，，当时，.故的单调递增区间为和，单调递减区间为.则当时，取得极小值，且极小值为.故选：C2．函数在[0，3]上的最大值为（

）A．－2 B． C．－1 D．1【答案】B【分析】求导，由导函数求出单调性，从而确定极大值，再求出端点值，比较得到最大值.【详解】，令得：或，令得：，故在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值，，又，故在[0，3]上的最大值为.故选：B3．已知函数，则的极大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.【详解】函数的定义域为，,令，解得或，故单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的极大值为，故选：B.4．已知函数，则（

）A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值C．函数的极大值为0，无极小值 D．函数的极小值为0，无极大值【答案】A【分析】利用导数来求得的极值.【详解】的定义域为，，在递增；在递减，所以的极大值为，没有极小值.故选：A5．已知函数在处有极值，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0.【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意，故选：A6．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（

）A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)【答案】C【分析】求导得，再解不等式即得解.【详解】由得，根据题意得，解得．故选：C7．若函数不存在极值点，则实数m的取值范围是（

）A．（，+∞） B．（－∞，）C．[，+∞） D．（－∞，]【答案】C【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立不等式，即可求解作答.【详解】函数不存在极值点,s由函数求导得：，因函数是R上的单调函数，而抛物线开口向上，因此有，恒成立，于是得，解得，所以实数m的取值范围是.故选：C.8．若函数在处有极值，则（

）A． B．C． D．a不存在【答案】B【分析】函数在处有极值，即，求解导数，代入即可求解.【详解】解：因为函数，故又函数在处有极值，故，解得.经检验满足题意故选：B.9．已知函数在处有极小值，则常数的值为（

）A．1 B．2或6 C．2 D．6【答案】C【分析】求导，利用求出或6，检验后得到答案.【详解】，由题意得，即，解得或6，当时，，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故函数在处有极小值，满足要求，当时，，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故函数在处有极大值，不合要求，故常数的值为2.故选：C10．若函数在处有极值，则实数（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】利用极值的定义得到，从而求得，再代回检验即可得解.【详解】因为，所以，又在处有极值，所以，所以，得，当时，，当或时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减，函数在处有极小值，满足题意.故选：A.二、多选题11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，的图象位于轴下方B．有且仅有一个极值点C．有且仅有两个极值点D．存在，使得【答案】AB【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可.【详解】当时，，，所以，故A正确；由题意知，，令，在恒成立，所以在上单调递减，又，，所以，使得，即，所以当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以有且仅有一个极值点.故B正确，C错误；所以，故D错误，故选:AB.12．设函数，若为函数的一个极值点，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】对求导，再根据极值点的定义，整理等式即可得到结果.【详解】为函数的一个极值点,即：；若，，若，，不合题意；若，令，恒正或恒负，函数无极值点，不合题意；所以，的关系无法确定.故选：BD.三、填空题13．若函数在处取得极值2，则．【答案】【分析】求导，根据处的极值为2，列方程解方程得到，，即可得到．【详解】由，则，又函数在处取得极值2，则有，且，所以，，经检验满足要求，所以．故答案为：．14．已知函数在处取得极值，则实数的值为．【答案】1【分析】求导，由极值点得到方程，求出，再验证，得到答案.【详解】因为的定义域为，且，由已知得，所以，解得，当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以时，在处取得极小值．故答案为：1四、解答题15．已知函数，求此函数的极值．【详解】函数的定义域为，，当时，显然，函数在区间上均单调递增，此时函数无极值；当时，令，解得，当变化时，，的变化情况如下表：↗极大值↘↘极小值↗由上表可知，当时，函数取得极大值，当时，函取得极小值；综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值