4.1 指数（六大题型）（解析版）

4.1指数【题型归纳目录】题型一：由根式的意义求范围题型二：利用根式的性质化简或求值题型三：有限制条件的根式的化简题型四：根式与指数幂的互化题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值题型六：整体代换法求分数指数幂【知识点梳理】知识点一、整数指数幂的概念及运算性质1、整数指数幂的概念2、运算法则（1）；（2）；（3）；（4）．知识点二、根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．知识点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：知识点四、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．知识点诠释：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如；（3）幂指数不能随便约分．如．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．知识点五、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点六、实数指数幂的运算性质①．②．③．【典型例题】题型一：由根式的意义求范围例1．（2023·江苏·高一假期作业）若有意义，则的取值范围是（

）A． B．∪C． D．【答案】D【解析】因为，则，解得.故选：D.例2．（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由负分数指数幂的意义可知，，所以，即，因此的取值范围是．故选：C.例3．（2023·江苏·高一假期作业）若有意义，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可知，且，∴a的取值范围是且．故选：B．变式1．（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则x的取值范围是（

）A．x≥2 B．x≤3C．2≤x≤3 D．x∈R【答案】C【解析】由题意知，所以2≤x≤3.故选：C．变式2．（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则x的取值范围是（

）A．且 B． C． D．【答案】A【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.要使原式有意义，则解得且.故选：A.变式3．（2021·江苏·高一专题练习）若有意义，则x的取值范围是（

）A． B．且C． D．【答案】D【解析】，，得.故选:D.【方法技巧与总结】使根式有意义题型二：利用根式的性质化简或求值例4．（2023·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）若，则的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因为，所以.故选：C例5．（2023·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）下列各式中成立的一项是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，A错误；，B错误；，C正确；，D错误.故选：C例6．（2023·全国·高一专题练习）=__________.【答案】【解析】当时，；当时，.所以.故答案为：变式4．（2023·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）=0变式5．（2023·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）化简的结果是（

）A．0 B． C．0或 D．【答案】C【解析】．当时，原式；当是，原式．故选:C．【方法技巧与总结】此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．题型三：有限制条件的根式的化简例7．（2023·上海·高一专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围.【解析】，要使|成立，需解得a∈[-3，3]．例8．（2023·全国·高一专题练习）已知，化简：______．【答案】【解析】，因为，，所以，所以．故答案为：.例9．（2023·全国·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，，.故选：A.变式6．（2023·全国·高一专题练习）若满足关系+=+，则的值为_______________．【答案】21【解析】由题意得：，则，∴x＋y＝19，∴＋＝0，则3x＋5y−2−m＝0①，2x＋3y−m＝0②，①−②得：x＋2y−2＝0，∵x＝19－y，∴y＝−17，∴x＝36，∴，∴m＝21．故答案为：21．【方法技巧与总结】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可题型四：根式与指数幂的互化例10．（2023·江苏·高一专题练习）用分数指数幂表示下列各式：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）例11．（2023·江苏·高一专题练习）把下列根式化成分数指数幂的形式，其中．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.例12．（2023·上海·高一专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.变式7．（2023·江苏·高一专题练习）将下列根式化为分数指数幂的形式：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.变式8．（2023·全国·高一课堂例题）用分数指数幂的形式表示下列各式（）：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）；（2）（3）．变式9．（2023·全国·高一随堂练习）把下列各式中的写成负分数指数幂的形式：(1)；(2)；(3)．【解析】（1），；（2），；（3），．【方法技巧与总结】（1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂．题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值例13．（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式的值.(1)(2)(3)(4)；(5).(6)计算：；(7)（，）.【解析】（1）（2）（3）.（4）.（5）（6）.（7）.例14．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）化简与求值：(1)；(2)．【解析】（1）（2）例15．（2023·全国·高一专题练习）化简或计算下列各式：(1)(2)【解析】（1）；（2）.变式10．（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)(2)(3)【解析】（1）；（2）；（3）易知，所以变式11．（2023·全国·高一专题练习）化简().【解析】.变式12．（2023·江苏·高一专题练习）计算：(1)；(2)【解析】（1）原式（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，【方法技巧与总结】根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数．题型六：整体代换法求分数指数幂例16．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由可知：，，因此选项B正确；，因此选项A错误；，因为，所以，所以选项C正确；，所以D错误．故选：BC．例17．（多选题）（2021秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，因此A正确；，因此B不正确；，，解得，因此C正确；，因此D正确．故选：ACD．例18．（多选题）（2023·江苏·高一专题练习）已知，则下列选项中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，；，；故A正确，B错误；；，，故C正确，D错误．故选：AC．变式13．（2023·江苏·高一专题练习）已知，求的值．【解析】因为，则，可得，则，可得，且，所以.变式14．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，求的值．【解析】已知，有，，，，则.变式15．（2023·江苏·高一专题练习）已知，求的值．【解析】由，故可得，即；由，故可得，即，故.变式16．（2023·全国·高一专题练习）已知，求的值【解析】.【方法技巧与总结】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．【过关测试】一、单选题1．（2023·江苏扬州·高一江苏省高邮中学校联考阶段练习）下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A,,故A正确，对于B，，故B正确，对于C，，故C错误，对于D，由有意义可得，进而得，所以，故D正确，故选：ABD2．（2023·全国·高一专题练习）已知，，给出下列4个式子：①；②；③；④，其中无意义的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】A【解析】①中，所以有意义；②中5为奇数，所以有意义；③中，因此无意义；④9为奇数，所以有意义．故选：A．3．（2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D.4．（2023·全国·高一专题练习）计算的结果为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由题意可得，原式.故选：B5．（2023·全国·高一专题练习）下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.6．（2023·全国·高一专题练习）下列结论中，正确的是（

）A．设则 B．若，则C．若，则 D．【答案】B【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；对于B，，故，选项B正确；对于C，，，因为，所以，选项C错误；对于D，，选项D错误.故选：B．7．（2023·广东广州·高一广州市第九十七中学校考阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．10 B．12 C．18 D．24【答案】D【解析】，所以，因为a，b为正数，所以，当且仅当时，即，时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.8．（2023·江苏·高一专题练习）已知实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，，，，..又，，，.故选：D二、多选题9．（2023·江苏·高一专题练习）下列说法不正确的为（）A． B．若，则C． D．【答案】ACD【解析】A中，n为偶数时，，故不一定成立，故A错误；B中，，∴，故B正确；C中，显然不成立，如当时不成立，故C错误；D中，左侧为负，右侧为正，不相等，故错误．故选：ACD10．（2023·全国·高一专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对A，当时，，故A错误；对B，，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：BD11．（2023·广东江门·高一校考期中）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，，故A不正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.12．（2023·江苏·高一专题练习）已知，则下列选项中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，；，；故A正确，B错误；；，，故C正确，D错误．故选：AC．三、填空题13．（2023·上海·高一专题练习）化简：．【答案】1【解析】原式．故答案为：．14．（2023·上海·高一专题练习）化简：.【答案】/【解析】.故答案为：.15．（2023·全国·高一专题练习）（1）27的立方根是．（2）已知，则x＝．（3）若有意义，则实数x的取值范围为．【答案】3【解析】（1）根据题意，27的立方根是3；（2）因为，所以；（3）要使有意义，则需要，即，所以实数x的取值范围是．故答案为：（1）；（2）；（3）.16．（2023·全国·高一专题练习）若，则的值为.【答案】【解析】由，可得，即，又由.故答案为：.四、解答题17．（2023·江苏·高一专题练习）计算下列各式：(1)；(2).【解析】（1）（2）18．（2023·广东潮州·高一校考阶段练习）计算题(1)(2)先化简，再求值：其中【解析】（1）；（2）原式.将代入得原式．19．（2023·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）