广东省广州市六区部分普通高中2023届高三下学期综合测（二）数学含解析

2023年广州市部分普通高中毕业班综合测试(二)

数学试卷

本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用

2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.

不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

7+"iC.

-------=2-1

I.若。为实数，且3+i,则α=()

A.2B.1C.-1D.-2

答案：C

解析：由题意得，α=(2τ)(3+ι)-7=3—1,

ii

故选：C.

2.已知集合A={x∣x=3〃一2,"∈N"},则集合的元素个数为()

B={6,7,10,11},ACjS

A.1B.2C.3D.4

答案：B

解析：因为A=WX=3"-2,"∈N*},B={6,7,10,ll},则AB={7,10}

故集合AcB的元素个数为2.

故选：B.

3.已知两个非零向量α,人满足口=31,(a+/?)_!_〃，则COS〈a,B〉=()

1

A.ɪB.----C.一D._1

2233

答案：D

222

且R=50=∣QB∣,∣00[=40,所以忸q=50√2,∖θ'B'∖=y∣R-∖00'f=√50-40=30,进而可得

∣β,C,∣=30√2,

取BC的中点为N,过FC'的中点尸作PM_LON,连接PN,

所以IoM=Io'P∣=；忸'A∣=15√2,∖ON∖=^∖BA∖=25√Σ,故IMNI=IoNlTOM=Io应，

PM40/—9F)

在直角三角形PMV中，tanNPNM==石=2√2,故SinNPNM='一，

7M7Nj710τ√23

由于PN_LBCQNLSC,所以NPNM即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为逑，

B

6.已知椭圆C：与+[=1(a>b>0),过点(一4,0)且方向向量为“=(1,-1)的光线，经直线)，=—6

a~b-

反射后过C的右焦点，则C的离心率为()

32c34

A.—B.-C.—D.一

5345

答案：A

解析：设过点A(一α,O)且方向向量为"=(1,T)的光线，经直线y=—人的点为8,右焦点为C.

因为方向向量凡=(L-I)的直线斜率为-I,则Nc43=45，KB=T,又由反射光的性质可得心°=】，

故ABlBC,所以JWC为等腰直角三角形，且8到AC的距离为6,又AC=C+α,故α+c=2Z?,

cr+c2+2ac=4h2=4(-c2),则(3α-5c)(α+c)=0,故3Q=5C,离心率e=—=-.

v7a5

故选：A

7.已知函数/(x)=sin(2x+o),若"χ)W„恒成立，且/(可>/(：),则/(x)的单调递增区

间为（)

,兀，2兀,

A.kitτ—,kuH-----(A∈Z)B.⅛-p⅛π+-≡(JteZ)

_63_

f兀，π"l.2π,π

C.kit—,kτιH—(%∈Z)D.ku------,kτt——(%∈Z)

_36_36

答案：D

解析：因为/(x)≤卜亘成立,

,[2兀

所以/大=∕(χ)maχ=L即sinl-+‹z?=÷1,

∖j∕

”,,2兀π-,j2πJTt,一

所以---Vφ——F24兀或----∖-(p------F2kιι,A∈Z,

3232

所以夕=一四+2E或夕=」+2E,R∈Z,

66

JT

当9=一一+2⅛π,Z∈Z时，

6

'兀.(兀C7兀、.兀G

/(π)=sin(2π+2Zττ-^=Sin—+2kπ—=Sm—=——,

J(26)32

则/㈤</用

与题意矛盾,

当夕=---F2kιι,Z∈Z时,

6

(C25ππ5π乖)

π=SIn2Ti+2ZτιH-----=sin—+2kπ+—=COS一=----，

/()I6=5J-4(2662

符合题意，

5π

所以e=——+2kπ,kwZ,

(5兀

所以/(x)=sinl2x+-+2hr=sin

Tr5TiTr2τrJi

令----b2^π≤2x+-—≤—+2Aπ,得-----∖-kπ<x<-----tkιt,keZ,

26236

所以/(x)的单调递增区间为E-年,E-巳(ZeZ).

故选：D

8.已知偶函数/(x)与其导函数尸(X)的定义域均为R,且/'(力+/+元也是偶函数，若

/(2α-l)<∕(α+l),则实数。的取值范围是()

A.(-∞,2)B.(0,2)

C.(2,+∞)D.(-∞,0)∣_(2,+00)

答案：B

解析:因为/(X)为偶函数，则/(X)寸(T),等式两边求导可得r(x)=-/'(T),①

因为函数r(x)+e-*+x为偶函数,则r(x)+eT+x=∕'(-x)+e*-尤，②

联立①②可得∕,(x)=e，,~e'`-X,

令g(x)=∕'(x),则g'(x)=_]≥je`.e「_]=0,且g'(x)不恒为零,

所以，函数g(九)在R上为增函数，即函数/'(X)在R上为增函数，

故当x>0时∙，∕,(x)>∕,(0)=0,所以，函数/(x)在[0,+8)上为增函数，

由/(2a—l)<∕(α+l)可得/(∣2α-l∣)<∕(∣α+l∣),

所以，|2a—l∣<∣α+l∣,整理可得〃一2。<0,解得0<α<2.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O分.

9.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%,第2台加工的次品率为3%,第3台加工

的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的10%,

40%,50%,从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是()

A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08

B.该零件是次品的概率为0.03

C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98

D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为g

答案：BC

解析：记事件A：车床加工的零件为次品，记事件B,:第i台车床加工的零件，

则P(AI与)=8%,P(AlB2)=3%,P(A∣B3)=2%,P(B1)=10%,P(B2)=40%,P(B3)=50%,

对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(ABl)=P(Al耳)尸(耳)=8%χl0%=0∙008,

故A错误；

对于B，任取一个零件是次品的概率为

P(A)=P(ABJ+P(AB2)+P(AB.)=8%×10%+3%×40%+2%×50%=0.03,故B正确;

对于C,如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为

P(N耳)=1一P(AIB3)=1-2%=0.98,故C正确;

对于D，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为

P(AB3)_P(Al层)「(员)_]_2%X50%_2

故D错误.

P(A)-P(A)-0.03^3

故选：BC.

10.已知函数/(χ)=i-StL定义域是［4,可(“，匕∈Z),值域为［0』］,则满足条件的整数对(。力)

可以是()

A.(-2,0)B.(-1,1)

C.(0,2)D.(-1,2)

答案：ACD

要使值域为［0,1］，且”,^∈Z,

则a=—2,匕=0,1,2；a=τ,b=2↑a=0,b=2.

故选：ACD.

II.已知双曲线「：犬一y2=∕(a>o)的左，右焦点分别为耳、F2,过B的直线/与双曲线「的右支交

于点8、C,与双曲线厂的渐近线交于点A、D(A、B在第一象限，C、£>在第四象限)，。为坐标原

点，则下列结论正确的是（）

A.若JBCLX轴，则ABCK的周长为6。

B.若直线08交双曲线『的左支于点E,则Be7/EK

C.AAOD面积的最小值为4/

D.∣AB∣+忸周的取值范围为（3α,+8）

答案：BD

易知点耳卜J%,0）、玛（、&,0）,双曲线厂的渐近线方程为y=±χ.

对于A选项，当BeLX轴，直线BC的方程为χ=JL,

联立卜,=①,,可得卜=缶，此时，忸C∣=2α,

[x^-y=a-[y=±a

则忸用+∣CfJ=（忸用+2α）+（∣C闾+2α）=忸C∣+4a=64,

此时，Z∖5C4的周长为忸C∣+忸耳∣+∣CKl=8,,A错；

对于B选项，因为双曲线「关于原点对称，则点B关于原点。的对称点也在双曲线「上,

因为若直线。8交双曲线「的左支于点E，则点8、E关于原点对称，

即踮、耳弱的中点均为原点，故四边形巡为平行四边形，

所以，EFJIBF2,即EK〃BC,B对；

对于C选项，易知。4的方程为y=无，。。的方程为y=一无，所以，OA±OD,

因为直线/与双曲线「的右支交于点8、C,则直线/不与X轴重合，

设直线/的方程为x=∕ny+√∑α,设点5(%,y)、C(x2,y2),

联立/「？+y∕2a可得Ty2+2y∣2may+a2^0,

X-y-a

m2—1≠O

则<C….\9A)()八ζ解得λ∏W±l,

△=8nrcr-4(团一一1)Q-=4矿("+1)>O

由韦达定理可得X+%=—士坦见，X%=-4-<0,可得T<m<l,

rn^-1m--I

联立卜=吁缶可得二色，即点/户,卢、，

y=x∖-m(1一加1-wJ

∖X=my+-Jla岳y∣2aππ^n

联“，可得X=C—，ʃɪ--一，即点。

y=-x1+ml÷m

所以，31=衍Ml=言，∣⑺∣=M+(τ)2∙岛I肃,

j2。22。2

所以，SMg=不|。4卜|。。|=1F=IJ≥2∕,当且仅当m=O时，等号成立，C错；

21—加~∖-m

对于D选项，∣A3∣+忸耳I=IA@+怛E,∣+2α=∣A居∣+2α=拒了'立巴+2g=JΣɑ∙"加,-+2a

1-mV(l-7∕z)^

+m

=√∑ɑ∙Jɪ+2a=y∣2a-Jl+.二+Za，

V1+∕π^-2mV1+m-2m

当根=O时，∣A3∣+忸用=2Q+J5g,

当0<机<]时，+忸用=缶，1+]+；；：2m+2"&一I+12+2α

Y\—I-m—2

Ym

因为函数y=∖+加一2在(0』)上单调递减,

此时.回+怛用=缶.1+-ɪ-—+2a≡(2a+√2π,+∞)

\——ι-m-2

Ym

当一1Vmvθ时，因为函数y=-+m-2^E(-1,0)上单调递减,

m

所以NC=(—半,半,半)

设NP=大NC，则NP=(—殛九拽述；I)，

333

所以。P=ON+NP=(空-述九也+理九也+述*

333333

所以AP=(一也一在九也+还"述+述.

333333

利二(一也一述九一述+述九也+述;I),

333333

对于A：因为,吊=∣(2+8Λ+8Λ2+2+8Λ+8Λ2+8-16Λ+8Λ2)^^(2Γ+l),

∣βP∣2=^(2+8Λ+822+8-16Λ+8Λ2+2+8Λ+8Λ2)=∣(2Λ2+1),

所以„+BPl=^∣(222+1)+^(2Λ2+1)=华√222+1,

当4=0时，即CP=OV,PN=O,取得最小值生叵，故A错误；

3

对于B：若CP=3PN,则NP=LNC,

因为BA=(0,-0',忘)，BC=(-甩。诉,设平面ABC的一个法向量为%=(x,y,z),

-∖∕2y+y∣2z=Q

则｛LL，取X=1，则H1=(IJl),

-√2x+√2z=0

因为OP=n，

2-x

所以QPL平面ABC,即OPL平面ABC,故B正确；

对于C：若OP_L平面ABC,则NP=(—立,也,交)，即INPl=迈，

AN=T,当当)，即IAM=半

设平面ABO的一个法向量为n2=(x,y,z),因为。4=(艰,(),JΣ),OB=(近,6,0),

■Jlx+&z-0

则V--,取x=l,则?=(1,-1,—1)，

√l2Λ+√r2y=0

因为NP=—也〃，，

62

所以NPJ_平面ABO,则三棱锥P-ABC外接球的球心在直线NP上,

又因为点N为等边三角形A8。的重心,

所以点N为等边三角形AB。的外心，ABO外接圆半径为∣AN∣=ɪ，

设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

+g"得A=乎

则R?=(R-NP)?+AM,即/?2=(R一

27π

所以三棱锥P—ABC外接球的表面积为4兀代=——，故C选项正确;

2

对于D：因为点N的坐标为(2/,孝,孝)，点M的坐标为

所以MN=(O,-

设平面ACD的一个法向量为%=(x,y,Z),

因为。A=(√Σ,0,√Σ),OC=(0,√2,√2),

yjlx+∖∣2z=0

所以《Lr-，取X=I,则2=(1,1,—1)，

∖∣2y+√2z=0

因为M2V・%=0,且直线MNN平面AC。,

所以直线MV//平面ACD,

所以点N到平面ACD的距离就是直线MN到平面ACD的距离,

2√2

2√6,

则点N到平面ACD的距离d=亍

∣∏3∣垂＞9

即直线MN到平面ACQ的距离为亚，故D正确，

9

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某班有48名学生，一次考试的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N(80,(/),且成绩在［80,90］上

的学生人数为16,则成绩在90分以上的学生人数为.

答案：8

解析：由x(单位：分)服从正态分布N(80,O∙2),知正态密度曲线的对称轴为χ=80,成绩在［80,90］上

的学生人数为16,

由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为24-16=8.

故答案为：8

14.已知〃eN*,(X一4)的展开式中存在常数项，写出〃的一个值为.

答案：3(答案不唯一)

解析：二项式(X-Jr)的展开式的通项为

7；M=C：XiJJ］=(-l)r∙C>n-3∖r=0,l,2,,n,

∖xJ

因为二项式(X-Jy)的展开式中存在常数项，所以〃—3r=0有解，

即n=3r1可得n的一个值为3.

故答案为：3(答案不唯一)

15.在数列｛0,,｝中，α∣=2,am+n=anι+an,若％.%+ι=440,则正整数&=.

答案：10

解析：由q=2,am+n=am+an,令加=1,则α,-∣-勺=α∣=2,

所以数列｛4｝是以2为首项，2为公差的等差数列，即%=2+("-l)x2=2”,

又左为正整数，所以％4+∣=2Aχ2(A+l)=440,即Z(Z+1)=11O,解得女=10或攵=—11(舍去).

故答案为：10.

16.在平面直角坐标系XoV中，定义d(A3)=归一百+∣y-必|为A(Ai,X)，3(天,必)两点之间的“折

线距离已知点Q(l,0),动点P满足d(Q,P)=；,点M是曲线y=｝上任意一点，则点P的轨迹所围

成图形的面积为,d(P,M)的最小值为

3.■Ll***V

答案：①.ɪ1##0.5②.-23-l

21>

解析：设P(x,y),d(Q,P)=kT+∣y∣=g,

13

当121,y≥0时，则χ-i+y=/,即χ+y-]=o,

13

当XNI,y<0时，则X—l-y=—,即x—y—=0,

22

当x<l,y<0时，则I-X-ʃ=ɪ,即x+y-；=O

当x<l,y≥O时，则l-x+y=/,即x—y—5=0,

故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形ABCD的面积：

,,111,1

则rSn=_x_x_x4=_.

2222

如下图，设尸(XO,几)，M(XI,χ),显然x∣>%,y∣>X),

d(P,Λ∕)=归一⑷+回一%|=%-/+。一%=μ+。一(为+%),

求d(P,M)的最小值，即内+必的最小值，∙⅞+为的最大值，

3

又(Xo+%)mx=万，下面求％+M的最小值，

1,2d-2ɪ

令y=χ∣+y=玉+-y,y=l一一-=-ɪ1-=0,即X=2^

x∖玉玉1

令y'>o,解得：X>2；，令y'<o,解得：为<2；，

(ɪʌ(ɪ、

所以y在一上单调递减,在2∖÷∞上单调递增,

V√\/

Iɔ

所以时，y有最小值，且Win=F,

,23

/333，1)

所以4(尸，M)min==-5=523—1.

23221)

13「、

故答案为：万；—23—1.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

l,n

17.设S,,是数列｛4｝的前〃项和，已知为=0,an+i+(-l)Sll=2.

⑴求α∣,a2；

(2)令2=4+1+2%,求&+&+%++b2n.

答案：(1)q=l,α?=3

(2)22n+'-2

1.由α,,+ι+(-1)"S,,=2"得出一4=2,即。2=4+2,

2

a3+S2=2=4,即%+4+4=4,又见=。，所以4=1,%=3,

2.当〃=2左时，。2«+1+$2«=2",

2k

当〃=2%—1时，a2k~S2k_x=2~',

2k2kr2k2t

两式相加可得a2k+l+S2k+a2k-S2,.,=2+2-',得a2k+i+la2k=2+2^',

由于瓦=4+∣+2α,,,所以

b2+b4+bβ+--∙+b2n=(¾+2(22)+(a5+2a4)+(cz7+2α6)++(02,,+∣+2%)

=(22+2,)+(24+23)+(26+25)++(22n+22n^')

(22+24+26++22n)+(2l+*VX23+25++22Z,^')

4(1-4")ɪ2(1-4")22n+,ɔ

1-41-4

18.一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入X(单

位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入玉和每件产品成本

__ioɪ

y(i=l,2,3,,10)的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：X=6.8-亍=7(),∑-=3,

/=1xi

IO1IOv

余"6,Σ­=350.

八每件产品成本/元

250-

200-e

150-•

100-•

50-••...

02468^101214

年技术创新投入/千万元

(I)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与X的关系，试建立y关于X的回归方程；

X

V22v200

(2)已知该产品的年销售额加(单位:千万元)与每件产品成本y的关系为〃?=-金+管+:元+100.

该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技

术创新投入X为何值时，年利润的预报值最大？

(注：年利润=年销售额一年投入成本)

参考公式：对于一组数据(4,w)、(w2,v2),L、(〃〃,匕)，其回归直线y=α+A”的斜率和截距的最小

y

yjuivi-nuv

乘估计分别为：β=R------，a=v-βu

/=1

答案：(1)y=1。+`θθ

X

(2)当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值

1.解：令〃=’,则y关于"的线性回归方程为y=α+Z?”,

X

一〃__

Σ%yT°”350-21()

由题意可得β=号-----------=ɔʊnʊ=200,

∑√-ιo√1∙6^0∙9

/=I

2=y-∕3x=70-2∞×0.3=10,则V=1。+200",

2∩f)

所以，y关于X的回归方程为y=10+——.

X

200200

2.解：由E°+?可得X=.

2

广〒…1"1八V2y2001„„2001_

年利润M=m-x-lθ=-------------+—H---------------------FlOO------------IO

50025y—IOy—IO

ι9

=--------(y-20)-÷90.8,

500v7

200200“

当y=20时，年利润M取得最大值，此时X=--=--77=20'

y-1020-10

所以，当年技术创新投入为2()千万元时，年利润的预报值取最大值.

19.记-ABC的内角A、B-C的对边分别为“、b、c,已知Z?COSA-αcos5=b—c.

⑴求A；

(2)若点力在BC边上，且CD=2BD,cosfi=-,求柩〃N84D.

3

答案：(1)A=^

(2)tanZBAD=√3-√2

1.解：因为。COSA-4COs3=b-C,

由余弦定理可得b-b+d,-a∙"W*=b-c,

2bc2ac

j222I

化简可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得CoSA=：一。-=ɪ

J2bc2

7Γ

因为0<A<π,所以，A=y.

2.解：因为CoSJB=则8为锐角，所以，sinB=ʌ/l—cos2B

⑵骼

1.取BCl中点M,连接EM、MD,如图所示:

B

AB=AC,点。是BC中点，

.∙.AD±BC,

又∙.M是BG的中点，

:.DM//CCi,

又在直三棱柱中，有，平面

ABC-AgGA4∣∕/CG,A41A3C

.∙.DM∕∕AE,

.∙.DML平面ABC,

AO//平面8C∣E,且Az)U面AD例£，平面AOME'平面BaE=EM,

.∙.AD∕∕ME,

∙.∙CG∙L平面ABC,且Az)U平面ABC,

.∙.CC11AD,

又∙,CCicBC=C,且CG、BCU平面88CIC,

.∙.AT＞，平面GC,

又.ADHME,

.∙.ME,平面BBCC,

QMEU平面BC∣E,

；•面A3C1平面8月CC.

2.由⑴知MEJ_平面BBC0,则%.gE=g∙Sβ,g∙∣ME∣,

设3C=2α,则3Z)=α,AD=∖∣9-a2,S叫明=Jx2α∙3=3。，

a2

,lz_],cfa~~÷9-tz_9

∕>∣_*>cjβ3▼22

由基本不等式知，当且仅当α=屈下时等号成立，即三棱锥片-BGE的体积最大，

此时，“=逑

2

以。为坐标原点，ZM所在直线为X轴，所在直线为y轴，OW所在直线为Z轴建立空间直角坐标系,

设平面BCiE的一个法向量为n=(χ,,y