（初中数学）相似三角形（近五年中考真题复习附答案解析版汇编）

（初中数学）相似三角形（近五年中考真题专题复习附答案

解析版18页分项汇编）

一、单选题

1.（东营•中考真题）如图，点。为JABe边48上任一点，DE〃BC交AC于点、E,连接

BE、Co相交于点尸，则下列等式中不感芈的是（）

ADAEDEDFDEAEEFAE

I.—=—D.----=-----

DBEC~BC~~FC~BC~~ECBFAC

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A,根据相似三角形的性质即可判断B、C、

D.

【详解】解：^∖DE∕∕BC,

ΔΓ)AP

0—=—，SDEFS!BCBF,0AD£S0ABC,故A不符合题意;

BDEC

DEDFEFDEAE,lTg人g上附人口工上

0—==,,故B不付合题后，C符合题后、；

CL?CrorCoAC

pc,Λc,

回芸=哭，故D不符合题意；

BFAC

故选C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三

角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键.

2.（威海•中考真题）由12个有公共顶点。的直角三角形拼成如图所示的图形，ZAOH=

/80C=NCOZ）=…=∕LOM=30°.若SAAOB=L则图中与aAOB位似的三角形的面

积为（）

K

【答案】C

【分析】根据题意得出4、0、G在同一直线上，B、0、H在同一直线上，确定与幽08位

似的三角形为回Ga/,利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=1竿）X,再由相似三角

形的性质求解即可.

【详解】解：00Ao8=!38OC=l3COO=...=l3LOM=30°

EElAOG=180°,ElBo/7=180°,

财、0、G在同一直线上，B、0、〃在同一直线上，

团与0AOB位似的三角形为回GoH,

设OA=x,

团S.A08=1,

回=

S.G0Hl-I,

故选：c.

【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理

解题意，找出相应边的比值规律是解题关键.

3.（临沂•中考真题）如图，在.ΛBC中，DE//BC,空=］，若AC=6,则EC=（）

DB3

A

B乙----------⅛

612.1824

A.-B.—C,・—D.—

5555

【答案】C

【分析】由DE〃BC,第=0,可得条=；券出=2;再建立方程即可.

DD5DDLsC3

∆Γ）O

【详解】解：DE//BC,号=：，

、ADAE_2

~DB~~EC~^

AC=6,

\9二，

CE3

1Q

解得：CE=M.经检验符合题意

故选C

ΔΓ）∆pɔ

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明"黑=等=:是解本题的关键.

DBEC3

4.（淄博•中考真题）如图,A8,CO相交于点E,且AC〃所〃点C1,8在同一条直线

上.已知AC=P,EF=∕∙,D3=4,则，4，八之间满足的数量关系式是（）

D

j

CB

111112111112

A.-+—=B.—+-=—C.F-=-D.—+-=

rqPPrqPqrq/P

【答案】C

【分析】由题意易得45EFSaB4C,.CEFSCDB,则有g=M，M=*，然后可

ACBCBDBC

得B+W=ι，进而问题可求解•

ACBD

【详解】解：^ACHEFHDB,

出

ABEFSABAC,.CEF^>ACDB,

EFBFEFCF

0-----=-----，---=---，

ACBCBDBC

EFEFBFCF

团——十——=——+——=11,

ACBDBCBC

团AC=P,EF—r,DB—q,

rr111

0—+—=1,即

PqPqr

故选C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题

的关键.

二、填空题

5.（东营・中考真题）如图，在CABC中，点尸、G在BC上，点E、”分别在48、AC上,

四边形EFG"是矩形，E"=2EF,4）是，AfiC的高.BC=S,AD=6,那么E”的长为

24

【答案】M##4.8

【分析】通过四边形EFGH为矩形推出的〃鹿，因此0AE/7与0A8C两个三角形相似，将

AMEH

AM视为由的高,可得出G=正,再将数据代入即可得出答案.

【详解】团四边形EFG”是矩形,

QEH〃BC、

0AEFs,ABC,

^AM和AD分别是她£7/和0ΛδC的高,

国M_=里=EF

ADBC

^AM=AD-DM=AD-EF=6-EFf

EH=IEF,

代入可得：26-卢FF2EF

O~~8~

解得所=?12,

厂〃r1224

^∖EH=2×—=—

55

故答案为：M.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是

本题的关键.

6.（潍坊•中考真题）《墨子•天文志》记载：〃执规矩，以度天下之方圆.〃度方知圆，感悟数

学之美.如图，正方形ABCo的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图

形A?C。，若A9：Ab=2:l,则四边形ABCT）'的外接圆的周长为.

【答案】4√2π

【分析】根据正方形A8CD的面积为4,求出/4=2,根据位似比求出A8=4,周长即可

得出；

【详解】解：,正方形48CD的面积为4,

∙'∙AB=2,

,,

AB∖AB=2Λf

・•ΛfBf=4,

•∙AfCf=44?+42=45/2»

所求周长=40万;

故答案为：4夜π.

【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解

题关键求出正方形A8CD的边长.

7.（荷泽•中考真题）如图，在ABC中，A垂足为。，AD=5,BC=IO,四边形EF6〃

和四边形HGNM均为正方形，且点E、尸、G、H、N、M都在ABC的边上，那么AABW

与四边形BCME的面积比为.

【分析】先设四边形瓦G〃和四边形”GNM的边长为X,然后根据AAEM3乂BC可得

空=器，进而可求得AP=2.5,EM=5,然后分别求得SMEM=g，SZIABC=25,即可

ADBC4

75

求得S四边形BCME=SMBC-SMEM=—,由此可得答案.

【详解】解：团四边形EFGH和四边形"GMW均为正方形，

团设四边形EFGH和四边形HGNM的边长为JG

则EM=2x,EF=x,Ef0βC,HW0BC,

ΞΛD0BC,

国PD=EF=X,

勖。=5,

^AP=AD-PD=5-χ1

国EM//BC,

团二AETWEUA8C,

LAPEM

0——二——

ADBC

-5-x2x

团---=——

510

解得：x=2.5,

0AP=2.5,EM=S,

^∖SAEM=-EM∙AP=­

Δ24f

又团SABC=-BC-AD^25.

zI2

团S四边形BCME=S^ABC-SΔAEM

=25-空

4

75

一'

C2575

ElSdAEMBSP甲方形BCME=团—=1团3,

故答案为：103.

【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定

及性质是解决本题的关键.

8.（泰安・中考真题）如图，点片在直线/：y=gx上，点四的横坐标为2,过点用作隹_L/,

交X轴于点A，以A与为边，向右作正方形AA纥G,延长约G交X轴于点4；以右约为边，

向右作正方形48避夕2,延长4G交X轴于点4；以4纥为边，向右作正方形4B/4C3,

延长的BG交X轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形A,lB,,Bn+tCn的边长

为（结果用含正整数〃的代数式表示）.

【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正

方形的边长，然后再找规律得出第〃个正方形的边长.

【详解】解：•点用在直线/:y=gx上，点四的横坐标为2,

22

点与纵坐标为1..-.OB1=√2+l=√5,

分别过耳，G，…（4作X轴的垂线，分别交于RR,…,2,下图只显示一条;

NgOA=ZATBQ=90。,/BQD=NABQ,

BPOSRt4。与类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有

B、D_ɪ_8[A]_GA2=_di

,

~OD~2~~OB^~'C^~,~CnAft

不妨设笫1个至第〃个正方形的边长分别用：44,…/来表示，通过计算簿

上组=立，

'22

L

∕2=∕I+CΛ=^=-×-.

2''吃222

5+G4吟=冬图

,,<,31,,,√5(3Y,^'

/"=(,-I+CTA,==WX3

按照这个规律进行下去，则第“个正方形AMMmG的边长为手χ(gj',

故答案是：乎XC.

【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面儿

个正方形的边长，再从中去找计算第〃个正方形边长的方法与技巧.

9.(威海•中考真题)如图，点C在NΛOB的内部，ZOCA=NoCB,NOC4与NAo8互补，

若AC=I.5,BC=rI,则OC=.

H

【答案】√3

【分析】通过证明SIACO团团。CB,可得方=G，∏T⅛R∣∣10C.

ACOC

【详解】解：000CA=I30CB,0OCA与0AOB互补，

00OCA+0AOB=18Oo,EloCB+回AOB=I80°,

0ΘOCA+0COA+0OAC=180",0OCB+0OBC+0COB=180",

EEAOB=EICoA+∣3OAC,RIAoB=回OBC+RlCOB,

00AOC=13OBC,0COB=aθAC,

EBACOEBOCB,

OCBC

团---=---，

ACOC

ɔ3

0OC2=2×-=3,

2

EIOC=G,

故答案为：√3∙

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明SIACoa3。CB是本题的关键.

10∙（临沂•中考真题）如图，在ΛBC中，D,E为边AB的三等分点，EF//DG//AC,H

为AF与。G的交点.若AC=6,则£>〃=.

【分析】利用平行线分线段成比例得到EF=2,再利用中位线得到DH的长即可.

【详解】解:国D,E为边A8的三等分点，EFIIDGI/AC,

0EF:DG:AC=1:2:3

0AC=6,

团EF=2,

由中位线定理得到,在AAEF中,DH平行且等于;EF=I

故答案是：1

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用和中位线的性质,熟悉平行线之间的性

质是解题关键.

三、解答题

11.(枣庄•中考真题)已知0ABC中，SIACB=90。，AC=BC=4cm,点尸从点A出发，沿AB

方向以每秒也cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒Icm的

速度向终点C运动，设运动的时间为1秒.

(1)如图①，若PQSIBC,求f的值；

(2)如图②，将回尸QC沿BC翻折至回产QC,当f为何值时，四边形QPeP'为菱形？

【答案】⑴当f=2时,PQSBC

4

(2)当r的值为§时，四边形QPC产为菱形

【分析】(1)根据勾股定理求出A8,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

(2)作Pr)J_3C于。，LAC于E,证明出ΔABC为直角三角形，进一步得出ΔAPK和

ΔP3D为等腰直角三角形，再证明四边形PEC。为矩形，利用勾股定理在Rt4PCE∖RjPDQ

中，结合四边形QPC户为菱形，建立等式进行求解.

(1)

HsAeB=90°,AC=BC=4cm,

^B=AC2+BC2=√42+42=4√2(cm),

由题意得，AP=y∕itcm,8Q=fcm,

则BP=(4√2-√2/)cm,

田PgBC,

^PQB=90°f

团团PQB=0AC8,

^∖PQ∕/AC,

^ZBPQ=ZBAC

,∖ΛBQP=ΛBCA'

3PQSBAC,

BPBQ

El—=—,

BABC

ra4√2-√2rt

4√24

解得：f=2,

回当f=2时，PQSBC.

(2)

解：作P3L8C于£),PELAe于E,如图,

AP=⑤:,BQ=tcm,(0„t<4)

,ZC=90o,AC=BC=4cm»

∙∙∙ΔABC为直角三角形，

∖ZA=?B45?,

.∙.ΛAPE和APBD为等腰直角三角形，

:.PE=AE=®~AP=tcm,BD=PD,

2

.,.CE=AC-AE=(4-r)c∕n,

四边形PEa)为矩形，

,PD=EC=(4-,

,BD=(4τ)cfn,

：.QD=BD-BQ=(4-2t)cm,

在RtΔJ>CE中，PC'=PE'+CE1=z2+(4-/)2,

在RjPO。中，PQ2=PD2+DQ2=(4-r)2+(4-2f)2,

四边形QPCP'为菱形，

.-.PQ=PC,

.∙.r2+(4-r)2=(4-r)2+(4-2r)2,

4

'G=4(舍去)•

4

.•」的值为

【点睛】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂

直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

12.(荷泽•中考真题)如图，在R(ABC中，ZABC=90。，E是边AC上一点，且BE=BC,

过点4作BE的垂线，交BE的延长线于点。，求证：AAOEszXAfiC.

【答案】见解析

【分析】先根据等腰三角形的性质得自C=回BEC,又由对顶角相等可证得0AE。=团C,再由

0D=0ABC=9Oo,即可得出结论.

【详解】证明：⑦BE=BC

EBC=MEC,

WBEC=βAED,

SEAED=SC,

0AD0BD,

EBZ)=90°,

回NABC=90。，

WD=SABC,

0∆ADE∞∆ABC.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相

似三角形的判定定理是解题的关键.

13.(济南•中考真题)在等腰AABC中，AC=BC,-ADE是直角三角形，0DAE=9Oo,BADE

-∣0ACB,连接BQ,BE,点F是8。的中点，连接CE

（1）当EICAB=45。时.

①如图1,当顶点。在边AC上时，请直接写出回EAB与回CBA的数量关系是.线段

BE与线段CP的数量关系是；

②如图2,当顶点。在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；

学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰AABC底边上的高CM,并取BE的中点M再利用三角形全等或相似有关

知识来解决问题；

思路二：取。E的中点G,连接AG,CG,并把一CAG绕点C逆时针旋转90。，再利用旋转

性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题.

（2）当团C4B=30。时，如图3,当顶点。在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关

系，并说明理由.

【答案】（1）①NE4B=NABC,CF=^BE;②仍然成立，证明见解析；（2）BE=2√3CF,

理由见解析.

【分析】（1）①如图1中，连接BE,设OE交AB于T.首先证明4）=AE,即=3E,再利

用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可.②解法一：如图2-1中，取A8的中点M,

8E的中点M连接CM,MN.证明&CMF会一BMN（SAS）,可得结论.解法:：如图2-2

中，取Z）E的中点G,连接AG,CG,并把，C4G绕点C逆时针旋转90。得到,C8T,连接

DT,GT,BG.证明四边形BEGT是平行四边形，四边形OG87是平行四边形，可得结论.

（2）结论：BE=2√3CF.如图3中，取AB的中点T,连接CT,FT.证明，A4EsCTF,

可得结论.

【详解】解：（1）①如图1中，连接BE,设DE交AB于T.

D

∖^7

图1

0CA=CB,国CA8=45°,

团团CA8=0A8C=45°,

Ξ0ACβ=9Oo,

mDE=y0ACB=45o,0DAE=9Oo,

WADE=^AED=45°,

0AD=ΛE,

NDAE=90。,

.∙.NEAB=ZDAT=ZABC=45°,

^A7^DEfDT=ET,

助3垂直平分DE,

MD=BE,

幽BCO=90°,DF=FB,

^CF=BD,

0CF=I«E.

故答案为：^EAB=SABC,CF=；BE.

②结论不变.

解法一：如图2-1中，取A8的中点M,8E的中点N,连接CM,MN.

E

图2-1

o

0l2ACB=9O,CA=CB,AM=BMf

0CΛ∕0AB,CM=BM=AMf

由①得：AD=AE9

设AO=4E=y.FM=x,DM=a,

点F是30的中点，

则DF=FB=a+x,

^y+a=a+2χf

团y=2x,即AD=2FM,

^AM=BMfEN=BN,

^AE=2MN,MNBAE,

⑦MN=FM,团BMN=团EA3=90°,

mCMF=^BMN=9Qo,

⑦一丝

CMFBMN(SAS)f

出CF=BN,

团BE=2BN,

0CF=∣BE.

解法二：如图2-2中，取OE的中点G,连接AG,CG,并把aC4G绕点。逆时针旋转90。

得到,CBT,连接。7,GT,BG.

E

图2・1

^AD=AE,团E4O=90°,EG=DG,

[2AG0DE,0E4G=回QAG=45°,AG=DG=EG,

团团CA3=45°,

回回。G=90°,

EIAC0AG,

0ACI3DE,

0a4CB=0CBT=9Oo,

.∙.ACHBT,

0AC0β713DE,

SiAG=BT,

ELDG=BT=EG,

回四边形B