安徽省合肥市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案

安徽省合肥市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，则（）A．B．C．D．2．已知复数，则（）A．5B．4C．3D．23．给出下列四个命题：①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．其中正确的命题个数是（）A．0B．1C．2D．34．已知向量，且，则（）A．B．C．D．5．已知某平面图形的直观图如图所示，，若原平面图形的面积为12，则（）A．6B．4C．D．26．已知在平面四边形中，，若，则（）A．B．C．D．7．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中错误的是（）A．点直线B．与是共面直线C．D．与是异面直线8．已知水的密度为，冰的密度为，水平放置的圆柱形桶内有一个半径为的冰球，待冰球完全融化后测得桶内水面高为，则桶的底面半径为（）A．B．C．D．9．伯乐树是中国特有树种、国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙风”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁．一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度．他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪（高度忽略不计）进行测量，在点处测得树干底部在西偏北的方向上，沿直线向西前进后，在点处测得树干底部在西偏北的方向上，此时树干顶部的仰角为，则该伯乐树的高度为（）A．B．C．D．10．在中，点为边上靠近点的三等分点，点为边的中点，则（）A．B．C．D．11．已知在锐角中，内角的对边分别为，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知三棱锥的侧棱两两垂直，，若该三棱锥的外接球体积为，则该三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示的后母戊鼎是一件非常有名的青铜重器，是商王武丁之子祭祀母亲戊所铸，现藏于国家博物馆鼎身与四足为整体铸造，鼎耳则是在鼎身铸成之后再浇铸而成，鼎身大致为长方体形状的容器，长为，宽为，壁厚．若一堆祭祀物品在该容器内燃烧后形成的灰平铺且铺满容器底部，灰的高度为，则灰的体积为______．14．已知是关于的方程的一个根，则_________．15．已知半径为1的球在一个圆锥内部，该组合体的轴截面是一个正三角形与其内切圆，则圆锥的表面积为_________．16．已知在中内角的对边分别为，角，边，且，则_________．三、解答题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量．（Ⅰ）若，且，求的值；（Ⅱ）若与的夹角大小为，求的值．18．（12分）当实数满足什么条件时，在复平面内表示复数的点分别满足下列条件？（Ⅰ）位于第三象限；（Ⅱ）位于第二象限或第四象限；（Ⅲ）位于直线上．19．（12分）如图所示为一段环形跑道，中间的两段为直跑道，且，两端均为半径为的半圆形跑道，以四点为顶点的四边形是矩形．甲、乙两人同时从的中点处开始以的速率逆向跑步，甲、乙相对于初始位置点的位移分别用向量表示．（Ⅰ）当甲到达的中点处时，求；（Ⅱ）求后，的夹角的余弦值．注：的值取3．20．（12分）在四边形中，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）求的长．21．（12分）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点分别为上的点．（Ⅰ）在棱上是否存在点使得平面平面？请说明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求几何体的体积．22．（12分）已知在中，内角所对的边分别为，其中．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求的面积．参考答案一、选择题1．B2．A3．B4．C5．D6．B7．C8．A9．A10．D11．D12．C二、填空题13．328314．215．16．三、解答题17．命题意图本题考查向量的模的定义及向量夹角的定义．（Ⅰ）由题可知．，，解得．（Ⅱ）设与的夹角为．由题可知．．解得或．18．命题意图本题考查复数的几何意义．（Ⅰ）由题可知，即解得的取值范围为．（Ⅱ）由题可知或即或解得的取值范围为．（Ⅲ）由题可知，即，解得．19．命题意图本题考查向量的数量积及向量的夹角的余弦值．（Ⅰ）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系．当甲到达的中点处时，乙到达的中点处，设此时甲的位置为点，乙的位置为点，则，，．（Ⅱ）后甲、乙的路程均为的长度均为，后甲、乙分别到达点处．．设的夹角为，则．后的夹角的余弦值为．20．命题意图本题考查正、余弦定理的应用．（Ⅰ）在中，由余弦定理可得，因为，所以．（Ⅱ）因为，所以．在中，由正弦定理可得，即，解得，即．因为，所以．在中，由正弦定理可得，即，解得．21．命题意图本题考查面面平行的性质定理及几何体体积的计算．（Ⅰ）如图，连接交于点，连接．由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，∴点为的中点．∵平面平面，且平面平面，平面平面,，同理，，又，即为的中点，为的中点．（Ⅱ），，．22．命题意图本题考查正弦定理、三角